高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第八节 曲线与方程课件 理.ppt

第八节曲线与方程 总纲目录 教材研读 1 曲线与方程的定义 考点突破 2 求轨迹方程的基本步骤 考点二定义法求轨迹方程 考点一直接法求轨迹方程 考点三利用相关点法 代入法 求轨迹方程 教材研读 1 曲线与方程的定义一般地 在直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立如下的对应关系 那么 这个方程叫做 曲线的方程 这条曲线叫做 方程的曲线 2 求轨迹方程的基本步骤 1 方程 x y 2 xy 1 2 0表示的曲线是 a 一条直线和一条双曲线b 两条直线c 两个点d 4条直线 c 答案c由 x y 2 xy 1 2 0得 或即方程表示两个点 1 1 和 1 1 2 若m n为两个定点 且 mn 6 动点p满足 0 则p点的轨迹是 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线 a 答案a 0 pm pn 点p的轨迹是以线段mn为直径的圆 3 已知点f 直线l x 点b是l上的动点 若过点b垂直于y轴的直线与线段bf的垂直平分线交于点m 则点m的轨迹是 a 双曲线b 椭圆c 圆d 抛物线 d 答案d由题意知 mf mb 根据抛物线的定义知 点m的轨迹是以点f为焦点 直线l为准线的抛物线 4 已知 abc的顶点b 0 0 c 5 0 ab边上的中线长 cd 3 则顶点a的轨迹方程为 x 10 2 y2 36 y 0 答案 x 10 2 y2 36 y 0 解析设a x y y 0 则d cd 3 9 x 10 2 y2 36 y 0 5 过椭圆 1 a b 0 上任意一点m作x轴的垂线 垂足为n 则线段mn中点的轨迹方程是 1 答案 1 解析设mn的中点为p x y 则点m x 2y 又点m在椭圆上 1 即所求的轨迹方程为 1 考点一直接法求轨迹方程 考点突破 典例1设o为坐标原点 动点m在椭圆c y2 1上 过m作x轴的垂线 垂足为n 点p满足 1 求点p的轨迹方程 2 设点q在直线x 3上 且 1 证明 过点p且垂直于oq的直线l过c的左焦点f 解析 1 设p x y m x0 y0 则n x0 0 x x0 y 0 y0 由 得x0 x y0 y 因为m x0 y0 在c上 所以 1 因此点p的轨迹方程为x2 y2 2 2 证明 由题意知f 1 0 设q 3 t p m n 则 3 t 1 m n 3 3m tn m n 3 m t n 由 1得 3m m2 tn n2 1 又由 1 知m2 n2 2 故3 3m tn 0 所以 0 即 又过点p存在唯一直线垂直于oq 所以过点p且垂直于oq的直线l过c 的左焦点f 易错警示运用直接法应注意的问题 1 在用直接法求轨迹方程时 在化简的过程中 有时破坏了方程的同解性 此时就要补上遗漏的点或删除多余的点 这是不能忽视的 2 若方程的化简过程是恒等变形 则最后的验证可以省略 1 1设点a为圆 x 1 2 y2 1上的动点 pa是圆的切线 且 pa 1 则p点的轨迹方程为 a y2 2xb x 1 2 y2 4c y2 2xd x 1 2 y2 2 d 答案d如图 设p x y 圆心为m 1 0 连接ma pm 则ma pa 且 ma 1 又因为 pa 1 所以 pm 即 pm 2 2 所以 x 1 2 y2 2 典例2 2017北京海淀二模 18 已知动点m到点n 1 0 和直线l x 1的距离相等 1 求动点m的轨迹e的方程 2 已知不与l垂直的直线l 与曲线e有唯一公共点a 且与直线l的交点为p 以ap为直径作圆c 判断点n和圆c的位置关系 并证明你的结论 考点二定义法求轨迹方程 解析 1 由抛物线的定义可知动点m的轨迹e是以n 1 0 为焦点 直线l x 1为准线的抛物线 所以 1 即p 2 所以轨迹e的方程为y2 4x x 0 2 点n在以ap为直径的圆c上 证法一 由题意可设直线l x my n m 0 令x 1 得p 由可得y2 4my 4n 0 因为直线l 与曲线e有唯一公共点a 所以 16m2 16n 0 即n m2 所以 可化简为y2 4my 4m2 0 所以a m2 2m 因为n m2 所以 m2 1 2m 2m2 2 2 2n 0 所以na np 所以点n在以ap为直径的圆c上 证法二 依题意可设直线l y kx b k 0 由可得k2x2 2 bk 2 x b2 0 因为直线l 与曲线e有唯一公共点a 所以即 所以 m2 1 2m 2m2 2 2 2n 0 所以na np 所以点n在以ap为直径的圆c上 证法二 依题意可设直线l y kx b k 0 由可得k2x2 2 bk 2 x b2 0 因为直线l 与曲线e有唯一公共点a 所以即 所以 可化简为k2x2 2x 0 所以a 令x 1 得p 所以 2 2 0 所以na np 所以点n在以ap为直径的圆c上 方法技巧定义法求曲线方程的常用策略 1 运用圆锥曲线的定义求轨迹方程 可从曲线定义出发直接写出方程 或从曲线定义出发建立关系式 从而求出方程 2 定义法和待定系数法适用于轨迹类型已知的曲线 利用条件把待定系数求出来 使问题得解 2 1已知圆c1 x 3 2 y2 1和圆c2 x 3 2 y2 9 动圆m同时与圆c1及圆c2相外切 求动圆圆心m的轨迹方程 解析如图所示 设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和点b 根据两圆外切得 mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb 因为 ma mb 所以 mc2 mc1 bc2 ac1 3 1 2 这表明动点m到两定点c2 c1的距离的差是常数2 根据双曲线的定义 知动点m的轨迹为双曲线的左支 点m到c2的距离大 到c1的距离小 且a 1 c 3 则b2 8 则圆心m的轨迹方程为x2 1 x 1 典例3如图 已知p是椭圆 y2 1上一点 pm x轴于m 若 1 求n点的轨迹方程 2 当n点的轨迹为圆时 求 的值 考点三利用相关点法 代入法 求轨迹方程 解析 1 设点p n的坐标分别为p x1 y1 n x y 则m的坐标为 x1 0 且x x1 x x1 y y1 0 y y1 x1 x y 0 y 由 得 0 y y1 0 y y y1 y 即y1 1 y p x1 y1 在椭圆 y2 1上 1 1 2y2 1 1 2y2 1即为所求的n点的轨迹方程 2 要使点n的轨迹为圆 则 1 2 解得 或 当 或 时 n点的轨迹是圆 方法技巧 相关点法 求轨迹方程的基本步骤 1 设点 设被动点坐标为 x y 主动点坐标为 x1 y1 2 求关系式 求出两个动点坐标之间的关系式 3 代换 将上述关系式代入已知曲线方程 便可得