【志鸿全优设计】高中数学 第一章1.2 导数的计算讲解与例题 新人教A版选修22.doc

1.2导数的计算问题导学一、利用公式求导数活动与探究1求下列函数的导数：(1)y；(2)ylog3x；(3)y；(4)y2sin；(5)y3ln xln迁移与应用1(2013福建厦门模拟)已知f(x)，则f(1)等于()a1 b1 c3 d32给出下列命题：yln 2，则y；y，则y|x3；y2x，则y2xln 2；ylog2x，则y其中正确命题的数目为()a1 b2 c3 d4(1)应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法(2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程二、导数运算法则的应用活动与探究2求下列函数的导数：(1)ycos xx；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)y；(4)y44；(5)y；(6)yxln迁移与应用1函数ysin xcos x的导数是()acos2xsin2x bcos 2xcsin 2x dcos xsin x2求下列函数的导数：(1)f(x)；(2)f(x)x2sincos；(3)f(x)(2)(1)运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数yf(x)的结构和特征，若直接求导很繁琐，一定要先进行合理的化简变形，再选择恰当的求导法则和导数公式求导(2)若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简，整理，然后再套用公式求导三、求复合函数的导数活动与探究3求下列函数的导数：(1)f(x)(2x1)2；(2)f(x)ln(4x1)；(3)f(x)23x2；(4)f(x)；(5)f(x)sin；(6)f(x)cos2x迁移与应用1若f(x)cos2，则f_2求下列函数的导数：(1)yln；(2)y求复合函数的导数时要注意以下三点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量；(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的导数如(sin 2x)2cos 2x，而(sin 2x)cos 2x；(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求ysin的导数，设ysin u，u2x，则yxyuux2cos u2cos四、导数运算的应用活动与探究4已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积迁移与应用1曲线yex在(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()ae2 b2e2 ce2 d2在曲线yx3x1上求一点p，使过点p的切线与直线y4x7平行(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点p处的切线方程和求曲线过点p的切线方程在点p处的切线，一定是以点p为切点，过点p的切线，点p不一定是切点(2)求过点p的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为(x0，y0)，然后写出切线方程yy0f(x0)(xx0)，最后代入点p的坐标，求出(x0，y0)答案：课前预习导学【预习导引】1(1)0(2)1(3)2x(4)(5)2(1)0(2)x1(3)cos x(4)sin x(5)axln a(6)ex(7)(8)预习交流1(1)提示：这两个求导结果皆错中函数y3x是指数函数，其导数应为(3x)3xln 3；中函数yx4是幂函数，其导数为(x4)4x3(2)提示：f(x)；f(x)0；f(x)03(1)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)预习交流2提示：能推广容易证明：f1(x)f2(x)fn(x)f1(x)f2(x)fn(x)4(1)f(g(x)(2)yuux预习交流2提示：复合函数求导的主要步骤是：(1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量；(2)求每一层基本初等函数的导数；(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：利用导数公式，必要时进行合理变形、化简，再求导解：(1)y(x4)4x5(2)y(log3x)log3e(3)y()()(4)y2sin2sin2sincossin x，y(sin x)cos x(5)y3ln xlnln x3lnln x，y(ln x)迁移与应用1d解析：f(x)x3，f(x)3x4f(1)32c解析：中yln 2为常数，故y0，因此错，其余均正确活动与探究2思路分析：对于较为复杂，不宜直接套用导数公式和导数运算法则的函数，可先对函数进行适当的变形与化简，然后，再运用相关的公式和法则求导解：(1)ysin xxln(2)方法1：y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)x23x23x212x11；方法2：(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6，y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11(3)方法1：y；方法2：y1，y(4)y22sin2cos21sin21cos x，ysin x(5)ycos xsin x，y(cos xsin x)sin xcos x(6)yxlnxln x，y(x)ln xx(ln x)ln x迁移与应用1b解析：y(sin x)cos xsin x(cos x)cos2xsin2xcos 2x2解：(1)f(x)；(2)f(x)2xcos x；(3)f(x)活动与探究3思路分析：抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则解：(1)设yu2，u2x1，则yyuux2u(2)4(2x1)8x4(2)设yln u，u4x1，则yyuux4(3)设y2u，u3x2，则yyuux2uln 233ln 223x2(4)设y，u5x4，则yyuux5(5)设ysin u，u3x，则yyuuxcos u33cos(6)方法1：设yu2，ucos x，则yyuux2u(sin x)2cos xsin xsin 2x；方法2：因为f(x)cos2xcos 2x，所以f(x)0(sin 2x)2sin 2x迁移与应用10解析：由于f(x)cos2cos，f(x)sin63sin，于是f3sin3sin 202(1)解法一：设u，yln u，则yxyuuxx解法二：ylnln x，则y(ln x)(2)解：设u12x2，yu，则yxyuux(4x)(4x)活动与探究4思路分析：本题主要考查导数的几何意义以及直线方程，三角形面积等知识，解决此题的关键是利用两直线垂直的条件，求出直线l2的斜率和切点，进而求出方程要求所围成三角形的面积，需求出l1与l2的交点和l1，l2在x轴上的截距解：(1)y2x1，f(1)3，直线l1的方程为y3(x1)，即y3x3设直线l2过曲线yx2x2上的点b(b，b2b2)，则直线l2的方程为y(b2b2)(2b1)(xb)，即y(2b1)xb22l1l2，3(2b1)1，b直线l2的方程为yx(2)解方程组得又直线l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，所求三角形的面积为s迁移与应用1d解析：yex，y|x2e2切线方程为ye2e2(x2)，即ye2xe2当x0时，ye2；当y0时，x1，s1|e2|2解：y3x21，根据导数的几何意义，曲线在点p(x0，y0)处的切线的斜率ky|xx0，即3x14x01，当x01时，y01，此时切线为y14(x1)，即y4x3与y4x7平行点p坐标为(1,1)当x01时，y03，此时切线为y34(x1)，即y4x1也满足条件点p坐标为(1，3)综上可知，切点坐标为(1,1)，(1，3)当堂检测1若f(x)，则f(x)为()a bc0 d答案：c解析：f(x)，故f(x)02若f(x)xln x，且f(x0)2，则x0()ae2 bec dln 2答案：b解析：f(x)xln x，f(x)ln x1，由已知得ln x012，即ln x01，解得x0e3曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_答案：2xy10解析：由yx3x3得y3x21，切线的斜率ky|x131212，切线方程为y32(x1)，即2xy104已知函数f(x)ax33x2