高考数学一轮复习 第六章 数列 第四节 数列求和课件 文.ppt

第四节数列求和 总纲目录 教材研读 1 求数列的前n项和的方法 考点突破 2 常见的裂项公式 考点二错位相减法求和 考点一分组转化求和 考点三裂位相消法求和 1 求数列的前n项和的方法 1 公式法 i 等差数列的前n项和公式sn na1 ii 等比数列的前n项和公式当q 1时 sn na1 教材研读 当q 1时 sn 2 分组转化法把数列的每一项转化成几项之和 使所求和转化为几个等差 等比数列之和 再求解 3 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和 正负相消剩下首尾若干项 4 倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加 倒序相加法是对等差数列求和公式的推导过程的推广 2 常见的裂项公式 1 2 3 2 数列1 3 5 7 2n 1 的前n项和sn的值等于 答案n2 1 解析sn 1 3 5 1 3 5 2n 1 n2 1 3 数列的前n项之和为 则n 99 答案99 解析由题意得 1 令 解得n 99 4 已知数列 an 的前n项和为sn 且an n 2n 则sn n 1 2n 1 2 答案 n 1 2n 1 2 解析sn 1 2 2 22 3 23 n 2n 所以2sn 1 22 2 23 3 24 n 2n 1 得 sn 2 22 23 2n n 2n 1 n 2n 1 所以sn n 1 2n 1 2 5 数列 an 的通项公式为an ncos 其前n项和为sn 则s2017 1008 答案1008 解析因为数列an ncos呈周期性变化 观察此数列规律如下 a1 0 a2 2 a3 0 a4 4 故s4 a1 a2 a3 a4 2 因此s2017 s2016 a2017 a1 a2 a3 a4 a2009 a2010 a2011 a2012 a2013 a2014 a2015 a2016 a2017 2 a1 1008 典例1已知数列 an 的前n项和sn满足sn 2an a1 且a1 a3 1 a4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足an bn 1 求数列 bn 的前n项和tn 考点一分组转化求和 考点突破 解析 1 数列 an 的前n项和sn 2an a1 当n 2时 an sn sn 1 2an 2an 1 an 2an 1 n 2 数列 an 是公比为2的等比数列 a1 a3 1 a4成等差数列 2 a3 1 a4 a1 2a3 2 2a3 a1 解得a1 2 an 2n 2 由 1 知 an 2n an bn 1 2n bn 2n 2 1 bn 2n tn b1 b2 b3 bn 2 22 23 2n 2n 1 3 规律总结分组转化法求和的常见类型 1 若an bn cn 且 bn cn 为等差或等比数列 可采用分组求和法求 an 的前n项和 2 通项公式为an 的数列 其中数列 bn cn 是等比数列或等差数列 可采用分组求和法求和 提醒 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差 从而求得原数列的和 注意在含有字母的数列中对字母的讨论 1 1已知数列 an 的通项公式是an 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 求其前n项和sn 典例2已知 an 为等差数列 其前n项和为sn n n bn 是首项为2的等比数列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 s11 11b4 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 a2nbn 的前n项和 n n 考点二错位相减法求和 易错警示错位相减法求和时的3个注意点 1 要善于识别题目类型 特别是等比数列公式为负数的情形 2 在写出 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 3 在应用错位相减法求和时 若等比数列的公式为参数 应分公比等于1和不等于1两种情况讨论 2 1设等差数列 an 的公差为d 前n项和为sn 等比数列 bn 的公比为q 已知b1 a1 b2 2 q d s10 100 1 求数列 an bn 的通项公式 2 当d 1时 记cn 求数列 cn 的前n项和tn 解析 1 由题意有 即解得或故或 2 由d 1 知an 2n 1 bn 2n 1 故cn 于是tn 1 tn 可得 tn 2 3 故tn 6 典例3 2017课标全国 17 12分 设数列 an 满足a1 3a2 2n 1 an 2n 1 求 an 的通项公式 2 求数列的前n项和 考点三裂项相消法求和 易错警示利用裂项相消法求和的注意事项 1 抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前面剩两项 后面也剩两项 2 将通项裂项后 有时需要调整前面的系数 使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等 如 若 an 是等差数列 则 同类练 2018广东惠州质检 等差数列 an 的各项均为正数 a1 1 前n项和为sn 数列 bn 为等比数列 b1 1 且b2s2 6 b2 s3 8 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 求 变式练已知函数f x x 的图象过点 4 2 令an n n 记数列 an 的前n项和为sn 则s2017 a 1b 1c 1d 1 c 答案c由f 4 2可得4 2 解得 则f x an s2017 a1 a2 a3 a2017 1 深化练正项数列 an 的前n项和sn满足 n2 n 1 sn n2 n 0 1 求数列 an 的通项公式 2 令bn 数列 bn 的前n项和为tn 证明 对于任意的n n 都有tn 解析 1 由 n2 n 1 sn n2 n 0 得 sn n2 n sn 1 0 由于 an