【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第八章立体几何8．6空间向量及其运算教学案 新人教B版.doc

8.6空间向量及其运算1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直1空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得_(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得_其中，a，b，c叫做空间的一个_推论：设o，a，b，c是不共面的四点，则对空间任一点p，都存在唯一的一个有序实数组x，y，z，使_.2两个向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点o，作a，b，则_叫做向量a，b的夹角，记作a，b通常规定_a，b_.若a，b_，则称向量a，b互相垂直，记作ab.(2)两向量的数量积两个非零向量a，b的数量积ab_.(3)向量的数量积的性质(e是单位向量)：ae|a|_；abab_；|a|2aa_；|ab|_|a|b|.(4)向量的数量积满足如下运算律：(a)b(ab)；ab_(交换律)；a(bc)_(分配律)3空间向量的坐标运算(1)设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab_；a_(r)；ab_；aba1b1a2b2a3b3_；aba1b1，a2b2，a3b3(r)；|a|2aa|a|(向量模与向量之间的转化)；cosa，b.(2)设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)，|.1在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是()a0 b1 c2 d32已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值为()a1 b c d3已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是()a2， b，c3,2 d2,24已知四边形abcd为平行四边形，且a(4,1,3)，b(2，5,1)，c(3,7，5)，则点d的坐标为_5已知a(1,2，2)，b(0,2,4)，则a，b的夹角的余弦值为_一、空间向量的线性运算【例11】如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，设a，b，c，m，n，p分别是aa1，bc，c1d1的中点，试用a，b，c分别表示以下各向量：(1)；(2)；(3).【例12】已知o是空间中任意一点，a，b，c，d四点满足任意三点不共线，但四点共面，且2x3y4z，则2x3y4z_.方法提炼空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的，要用类比的思想去掌握在空间向量的加、减、数乘等线性运算中，要选择适当的向量为基底，用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算，同时还要以相应的图形为指导请做演练巩固提升1二、空间向量的数量积【例2】已知空间中三点a(2,0,2)，b(1,1,2)，c(3,0,4)，设a，b，(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(3)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值方法提炼1两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，这是与空间向量的加、减、数乘等线性运算最大的区别2利用两空间向量的数量积运算公式，可以求向量的模、求两个向量的夹角、证明两个向量垂直等请做演练巩固提升3三、空间向量的坐标运算【例31】 已知：a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求：(1)a，b，c；(2)ac与bc所成角的余弦值【例32】如图，在直三棱柱abca1b1c1的底面abc中，cacb1，bca90，棱aa12，m，n分别是a1b1，aa1的中点(1)求|；(2)求cos，的值；(3)求证：a1bc1m.方法提炼空间向量的坐标运算使向量的运算摆脱了形的制约，可以将空间元素的位置关系转化成数量关系，将逻辑推理转化成数量计算，可以化繁为简，因此是处理空间问题的一种重要工具和方法请做演练巩固提升2正确构建空间直角坐标系【典例】 (12分)如图所示，在空间直角坐标系中，bc2，原点o是bc的中点，点a的坐标是，点d在平面yoz内，且bdc90，dcb30.(1)求的坐标；(2)设和的夹角为，求cos 的值规范解答：(1)如图所示，过d作debc，垂足为e.在rtbdc中，由bdc90，dcb30，bc2，得bd1，cd.decdsin 30.oeobbdcos 601.d点坐标为，即的坐标为.(6分)(2)依题意，(0，1,0)，(0,1,0)，(0,2,0)(8分)由和的夹角为，得cos .cos .(12分)答题指导：解答空间向量的计算问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误；(2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化另外，平时要重视运算的训练，强化计算速度及准确度的训练以及熟练掌握向量运算的方法1如图，已知空间四边形oabc，其对角线为ob，ac，m，n分别是对边oa，bc的中点，点g在线段mn上，且分mn所成的比为2，现用基向量，表示向量，设xyz，则x，y，z的值分别是()ax，y，zbx，y，zcx，y，zdx，y，z2已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为()a2 b c d23如图，在30的二面角l的棱上有两点a，b，点c，d分别在，内，且acab，bdab，acbdab1，则cd的长度为_4已知o(0,0,0)，a(1,2,3)，b(2,1,2)，p(1,1,2)，点q在直线op上运动，当取最小值时，点q的坐标是_5如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，以顶点a为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求ac1的长；(2)求bd1与ac夹角的余弦值参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)ab(2)pxayb(3)pxaybzc基底xyz2(1)aob0(2)|a|b|cosa，b(3)cosa，e0a2(4)baabac3(1)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a3b30基础自测1a解析：错，向量a，b所在的直线可能重合；错，向量a，b可以平行移动到同一平面内；错，如从三棱锥的一个顶点出发的三条棱所对应的三个向量；错，a，b，c要求不共面2d解析：kab(k1，k,2),2ab(3,2，2)(kab)(2ab)，3(k1)2k40，解得k.3a解析：ab，210，排除c，d两项代入a，b选项验证可得，2成立4(5,13，3)解析：设d(x，y，z)，则，(2，6，2)(3x,7y，5z)解得d(5,13，3)5解析：ab1022(2)44，且|a|3，|b|2，cos .考点探究突破【例11】 解：(1)acb.(2)abc.(3)acbcaabc.【例12】 1解析：a，b，c，d四点共面，mnp，且mnp1.由条件知(2x)(3y)(4z)，(2x)(3y)(4z)1.2x3y4z1.【例2】 解：(1)c，ck，kr.又(2，1,2)，可设c(2k，k,2k)又|c|3|k|3，k1.c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1，0,2)，ab1，|a|，|b|，cos .(3)kab(k，k,0)(1,0,2)(k1，k,2)，ka2b(k，k,0)(2,0,4)(k2，k，4)，kab与ka2b互相垂直，(kab)(ka2b)(k1)(k2)k280，解得k2或k.【例31】 解：(1)因为ab，所以，解得x2，y4，这时a(2,4,1)，b(2，4，1)又因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，因此ac与bc所成角的余弦值为cos .【例32】 解：如图所示，建立以c为原点的空间直角坐标系cxyz，(1)依题意得b(0,1,0)，n(1,0,1)，则|.(2)依题意得a1(1,0,2)，b(0,1,0)，c(0,0,0)，b1(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)3，|，|，cos，.(3)证明：依题意得c1(0,0,2)，m，.又(1,1，2)，00.，即a1bc1m.演练巩固提升1d解析：由题图可知，而，().x，y，z.2d解析：ab(2,12，3)由a(ab)得2(2)12930，解得2.3.解析：bdab，caab，与的夹角为30.|，|2|2|2|222232|cos 1503.|.4.解析：设(，2)，则(1，2