创新设计（浙江专用）高考数学二轮复习 专题七 数学思想方法 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想课件.ppt

第1讲函数与方程思想 数形结合思想 高考定位函数与方程的思想一般通过函数与导数 三角函数 数列 解析几何等知识进行考查 数形结合思想一般在选择题 填空题中考查 真题感悟 1 函数与方程思想的含义 1 函数的思想 是用运动和变化的观点 分析和研究数学中的数量关系 是对函数概念的本质认识 建立函数关系或构造函数 运用函数的图象和性质去分析问题 转化问题 从而使问题获得解决的思想方法 2 方程的思想 就是分析数学问题中变量间的等量关系 建立方程或方程组 或者构造方程 通过解方程或方程组 或者运用方程的性质去分析 转化问题 使问题获得解决的思想方法 2 函数与方程的思想在解题中的应用 1 函数与不等式的相互转化 对于函数y f x 当y 0时 就转化为不等式f x 0 借助于函数的图象和性质可解决有关问题 而研究函数的性质也离不开不等式 2 数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数 用函数的观点去处理数列问题十分重要 3 解析几何中的许多问题 需要通过解二元方程组才能解决 这都涉及二次方程与二次函数的有关理论 3 数形结合是一种数学思想方法 包含 以形助数 和 以数辅形 两个方面 其应用大致可以分为两种情形 借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系 即以形作为手段 数为目的 比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质 借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性 即以数作为手段 形作为目的 如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 4 在运用数形结合思想分析和解决问题时 要注意三点 第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征 对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义 第二是恰当设参 合理用参 建立关系 由数思形 以形想数 做好数形转化 第三是正确确定参数的取值范围 数学中的知识 有的本身就可以看作是数形的结合 热点一函数与方程思想的应用 微题型1 不等式问题中的函数 方程 法 例1 1 1 f x ax3 3x 1对于x 1 1 总有f x 0成立 则a 2 设f x g x 分别是定义在r上的奇函数和偶函数 当x 0时 f x g x f x g x 0 且g 3 0 则不等式f x g x 0的解集是 且g x 在区间 1 0 上单调递增 因此g x min g 1 4 从而a 4 综上a 4 2 设f x f x g x 由于f x g x 分别是定义在r上的奇函数和偶函数 得f x f x g x f x g x f x 即f x 在r上为奇函数 又当x 0时 f x f x g x f x g x 0 所以x 0时 f x 为增函数 因为奇函数在对称区间上的单调性相同 所以x 0时 f x 也是增函数 因为f 3 f 3 g 3 0 f 3 所以 由图可知f x 0的解集是 3 0 3 答案 1 4 2 3 0 3 探究提高 1 在解决不等式问题时 一种最重要的思想方法就是构造适当的函数 利用函数的图象和性质解决问题 2 函数f x 0或f x 0恒成立 一般可转化为f x min 0或f x max 0 已知恒成立求参数范围可先分离参数 然后利用函数值域求解 微题型2 数列问题的函数 方程 法 1 解由a1 3 an 1 an p 3n 得a2 3 3p a3 a2 9p 3 12p 因为a1 a2 6 a3成等差数列 所以a1 a3 2 a2 6 即3 3 12p 2 3 3p 6 微题型3 解析几何问题的方程 函数 法 例1 3 设椭圆中心在坐标原点 a 2 0 b 0 1 是它的两个顶点 直线y kx k 0 与ab相交于点d 与椭圆相交于e f两点 探究提高解析几何中的最值是高考的热点 在圆锥曲线的综合问题中经常出现 求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中 抓住函数关系 将目标量表示为一个 或者多个 变量的函数 然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决 热点二数形结合思想的应用 微题型1 利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点 例2 1 1 若函数f x 2x 2 b有两个零点 则实数b的取值范围是 a 5b 6c 7d 8 解析 1 由f x 2x 2 b有两个零点 可得 2x 2 b有两个不等的实根 从而可得函数y 2x 2 的图象与函数y b的图象有两个交点 如图所示 结合函数的图象 可得0 b 2 故填 0 2 答案 1 0 2 2 b 探究提高用图象法讨论方程 特别是含参数的指数 对数 根式 三角等复杂方程 的解 或函数零点 的个数是一种重要的思想方法 其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式 不熟悉时 需要作适当变形转化为两个熟悉的函数 然后在同一坐标系中作出两个函数的图象 图象的交点个数即为方程解 或函数零点 的个数 微题型2 利用数形结合思想解不等式或求参数范围 探究提高求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象 根据不等式中量的特点 选择适当的两个 或多个 函数 利用两个函数图象的上 下位置关系转化数量关系来解决问题 往往可以避免繁琐的运算 获得简捷的解答 微题型3 利用数形结合思想求最值 例2 3 1 已知p是直线l 3x 4y 8 0上的动点 pa pb是圆x2 y2 2x 2y 1 0的两条切线 a b是切点 c是圆心 则四边形pacb面积的最小值为 2 设双曲线的左焦点为f1 连接pf1 根据双曲线的定义可知 pf 2 pf1 则 apf的周长为 pa pf af pa 2 pf1 af pa pf1 af 2 由于 af 2是定值 探究提高破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形 注意数形结合的相互渗透 并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究 直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种 一种是通过数形结合建立相应的关系式 另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论 1 当问题中涉及一些变化的量时 就需要建立这些变化的量之间的关系 通过变量之间的关系探究问题的答案 这就需要使用函数思想 2 借助有关函数的性质 一是用来解决有关求值 解 证 不等式 解方程以及讨论参数的取值范围等问题 二是在问题的研究中 可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解 3 许多数学问题中 一般都含有常量 变量或参数 这些参变量中必有一个处于突出的主导地位 把这个参变量称为主元 构造出关于主元的方程 主元思想有利于回避多元的困扰 解方程的实质就是分离参变量 4 在数学中函数的图象 方程的曲线 不等式所表示的平面区域 向量的几何意义 复数的几何意