【创新设计】高中数学 211合情推理规范训练 苏教版选修12(1).doc

第2章推理与证明21合情推理与演绎推理21.1合情推理双基达标(限时15分钟)1经计算发现下列不等式：2，2， 2，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b成立的条件不等式_答案若ab20，则2(其中a，b为正实数)2观察下列等式：cc232ccc2723cccc21125ccccc21527由以上等式推测到一个一般的结论：对于nn*，cccc_.解析由类比推理，每一个等式的结论由两项组成，第一项2的指数为(4n1)24n1，第二项前有(1)n，指数为2n1，即有24n1(1)n22n1.答案24n1(1)n22n13若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b ，c，则三 角形的面积sr(abc)，根据类比思想，若四面体的内切球半径为r，四个面的面积分别为s1，s2，s3，s4，则此四面体的体积v_.解析运用分割法思想，设四面体s abc的内切球的球心为o，连接os、oa、ob、oc，将四面体分成四个三棱维，则vs abcvo sacvo sabvo sbcvo abcs1rs2rs3rs4r(s1s2s3s4)r.答案(s1s2s3s4)r4在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_解析.答案185观察下列各式918,16412,25916,361620，.这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为_答案(n2)2n24n4(nn*)6若数列an的通项公式an，记f(n)(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值解f(1)1a11，f(2)(1a1)(1a2)f(1)，f(3)(1a1)(1a2)(1a3)f(2).由此猜想，f(n).7将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第3个数为_解析前n1行共有正整数123(n1)个，即有个，因此第n行第3个数是全体正整数中第3个，即为.答案8对于等差数列an有如下命题：“若an是等差数列，a10，s、t是互不相等的正整数，则有(s1)at(t1)as0”类比此命题，给出等比数列bn相应的一个正确命题是：“_”答案若bn是等比数列，b11，s、t是互不相等的正整数，则有19由图(1)有面积关系：，则由图(2)有体积关系：_.解析由三棱锥的体积公式vsh及相似比可知：.答案10五位同学围成一圈依序循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为_解析这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，即有1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987，将该数列的每一项除以3得余数分别为：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，由此可见余数的变化规律是按1,1,2,0,2,2,1,0循环，周期是8，且一个周期中第四个数与第八个数都是3的倍数，即在三个周期中有6个报出的数是3的倍数，后面6个数中除以3的余数为1,1,2,0,2,2，只有一个是3的倍数，故共有7个是3的倍数，共拍手7次答案711从大、小正方形的数量关系上，观察如右图所示的几何图形，试归纳可得出什么结论？解从大、小正方形的数量关系上，容易发现112，132222，1353332，13574442，135795552观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：1357(2n1)n2.12在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n(n19，nn)成立类比上述性质，相应地，在等比数列bn中，若b91，则有怎样的等式成立？解由此，猜测本题的答案为b1b2bnb1b2b17n(n17，nn)事实上，对于等差数列an，如果ak0，则an1a2k1nan2a2k2nakak0.所以有a1a2ana1a2an(an1an2a2k2na2k1n)(n2k1，nn)从而对等比数列bn，如果bk1，则有等式b1b2bnb1b2b2k1n(n2k1，nn)成立b91，b1b2bnb1b2b17n(n17，nn)成立13(创新拓展)我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；探索等和数列an的奇数项与偶数项各有什么特点，并加以说明；在等和数列an中，如果a1a，a2b，求它的前n项的和sn.解如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列由知anan1an1an2，an