江苏省宿迁市宿豫中学高考数学二轮复习 与抛物线相关的热点问题专题检测（含解析）.doc

35与抛物线相关的热点问题1已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点p(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为_答案4或4解析设标准方程为x22py(p0)，由定义知p到准线的距离为4，故24，所以p4，则方程为x28y，代入p点坐标得m4.2若抛物线y28x的焦点是f，准线是l，则经过点f，m(3,3)且与l相切的圆共有_个答案1解析由题意得f(2,0)，l：x2，线段mf的垂直平分线方程为y(x)，即x3y70，设圆的圆心坐标为(a，b)，则圆心在x3y70上，故a3b70，a73b，由题意得|a(2)|，即b28a8(73b)，即b224b560.又b0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个3已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，p、q是抛物线上的两个点，若pqf是边长为2的正三角形，则p的值是_答案2解析依题意得f(，0)，设p(，y1)，q(，y2)(y1y2)由抛物线定义及pfqf，得，yy，y1y2.又pq2，因此|y1|y2|1，点p(，y1)又点p位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得pf2，由此解得p2.4(2014课标全国改编)设f为抛物线c：y23x的焦点，过f且倾斜角为30的直线交c于a，b两点，o为坐标原点，则oab的面积为_答案解析由已知得焦点坐标为f(，0)，因此直线ab的方程为y(x)，即4x4y30.方法一联立抛物线方程化简得4y212y90，故|yayb|6.因此soabof|yayb|6.方法二联立方程得x2x0，故xaxb.根据抛物线的定义有abxaxbp12，同时原点到直线ab的距离为h，因此soababh.5已知抛物线y28x的准线为l，点q在圆c：x2y22x8y130上，记抛物线上任意一点p到直线l的距离为d，则dpq的最小值为_答案3解析如图所示，由题意，知抛物线y28x的焦点为f(2,0)，连结pf，则dpf.圆c的方程配方，得(x1)2(y4)24，圆心为c(1,4)，半径r2.dpqpfpq，显然，pfpqfq(当且仅当f，p，q三点共线时取等号)而fq为圆c上的动点q到定点f的距离，显然当f，q，c三点共线时取得最小值，最小值为cfr2523.6过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a，b两点，o为坐标原点若af3，则aob的面积为_答案解析如图所示，由题意知，抛物线的焦点f的坐标为(1,0)，又af3，由抛物线定义知：点a到准线x1的距离为3，点a的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知点a的纵坐标y2，a(2,2)，直线af的方程为y2(x1)联立直线与抛物线的方程解之得或由图知b，saobof|yayb|1|2|.7过抛物线y22x的焦点f作直线交抛物线于a，b两点，若ab，afbf，则af_.答案解析2，abafbf，af0)的焦点为f，其准线与双曲线1相交于a、b两点，若abf为等边三角形，则p_.答案6解析因为abf为等边三角形，所以由题意知b，代入方程1得p6.11(2014大纲全国)已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，直线y4与y轴的交点为p，与c的交点为q，且qfpq.(1)求c的方程；(2)过f的直线l与c相交于a、b两点，若ab的垂直平分线l与c相交于m、n两点，且a、m、b、n四点在同一圆上，求l的方程解(1)设q(x0,4)，代入y22px得x0.所以pq，qfx0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以c的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故设ab的中点为d(2m21,2m)，ab|y1y2|4(m21)又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设m(x3，y3)，n(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故设mn的中点为e(2m23，)，mn |y3y4|，由于mn垂直平分ab，故a，m，b，n四点在同一圆上等价于aebemn，从而ab2de2mn2，即4(m21)2(2)2(2m)2，化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.12(2014湖北)在平面直角坐标系xoy中，点m到点f(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点m的轨迹为c.(1)求轨迹c的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点p(2,1)，求直线l与轨迹c恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围解(1)设点m(x，y)，依题意得mf|x|1，即|x|1，化简整理得y22(|x|x)故点m的轨迹c的方程为y2(2)在点m的轨迹c中，记c1：y24x(x0)，c2：y0(x0)依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组可得ky24y4(2k1)0.(*1)当k0时，此时y1.把y1代入轨迹c的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹c恰好有一个公共点(，1)当k0时，方程(*1)根的判别式为16(2k2k1)(*2)设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.(*3)()若由(*2)(*3)解得k.即当k(，1)(，)时，直线l与c1没有公共点，与c2有一个公共点，故此时直线l与轨迹c恰好有一个公共点()若或由(*2)(*3)解得k1，或k0.即当k1，时，直线l与c1只有一个公共点，与c2有一个公共点当k，0)时，直线l与c1有两个公共点，与c2没有公共点故当k，0)1，时，直线l与轨迹c恰好有两个公共点()若由(*1)(*2)解得1k或0k.即当k(1，)(0，)时，直线l