【全程复习方略】高中数学 2.2.2 反证法课时提升作业 新人教A版选修12 (1).doc

反证法一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014合肥高二检测)用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”,下列假设中正确的是()a.有两个内角是钝角b.有三个内角是钝角c.至少有两个内角是钝角d.没有一个内角是钝角【解析】选c.“最多有一个”的反设是“至少有两个”.2.实数a,b,c满足a+2b+c=2,则()a.a,b,c都是正数b.a,b,c都大于1c.a,b,c都小于2d.a,b,c中至少有一个不小于12【解析】选d.假设a,b,c均小于12,则a+2b+c12+1+12=2,与已知矛盾,故假设不成立,所以a,b,c中至少有一个不小于12.3.(2014唐山高二检测)(1)已知:p3+q3=2,求证:p+q2.用反证法证明时,可假设p+q2.(2)已知:a,br,|a|+|b|2.(2)假设正确.故选d.4.(2014杭州高二检测)设a,b,c大于0,则3个数:a+1b,b+1c,c+1a的值()a.都大于2b.至少有一个不大于2c.都小于2d.至少有一个不小于2【解题指南】因为三个数的和不小于6,可以判断三个数至少有一个不小于2,所以可假设这三个数都小于2来推出矛盾.【解析】选d.假设a+1b,b+1c,c+1a都小于2,即a+1b2,b+1c2,c+1a2,所以a+1b+b+1c+c+1a0,b0,c0,所以a+1b+b+1c+c+1a=a+1a+b+1b+c+1c2+2+2=6.这与假设矛盾,所以假设不成立.【变式训练】已知x10,且x11,且xn+1=xn(xn2+3)3xn2+1(n=1,2,3).试证:数列xn对任意正整数n都满足xnxn+1.当此题用反证法否定结论时,应为()a.对任意的正整数n,都有xn=xn+1b.存在正整数n,使得xn=xn+1c.存在正整数n,使xnxn-1且xnxn+1d.存在正整数n,使得(xn-xn-1)(xn-xn+1)0【解析】选b.对于数列中的连续两项来说,要么不相等,要么相等.5.设a,b,c是正数,p=a+b-c,q=b+c-a,r=c+a-b,则“pqr0”是“p,q,r同时大于零”的()a.充分条件b.必要条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选c.必要性显然,充分性:若pqr0,则p,q,r同时大于零或其中两个为负,不妨设p0,q0,因为p0,q0,即a+bc,b+ca,所以a+b+b+cc+a,即b0矛盾,所以p,q,r同时大于零,故选c.6.若abc能被一条直线分成两个与自身相似的三角形,那么这个三角形的形状是()a.钝角三角形b.直角三角形c.锐角三角形d.不能确定【解析】选b.分abc的直线只能过一个顶点且与对边相交,如直线ad(点d在bc上),则adb+adc=,若adb为钝角,则adc为锐角.而adcbad,adcabd,abd与acd不可能相似,与已知不符,只有当adb=adc=bac=2时,才符合题意.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是.【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”.答案:没有一个是三角形或四边形或五边形8.(2014石家庄高二检测)设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b=1;a+b=2;a+b2;a2+b22.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是(填序号).【解题指南】可采用特殊值法或反证法逐一验证.【解析】若a=13,b=23,则a+b=1,但a1,b2,故不能推出.对于,即a+b2,则a,b中至少有一个大于1.反证法:假设a1且b1,则a+b2与a+b2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.答案:9.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:a+b+c=90+90+c180,这与三角形内角和为180相矛盾,则a=b=90不成立;所以一个三角形中不能有两个直角;假设a,b,c中有两个角是直角,不妨设a=b=90.正确顺序的序号排列为_.【解析】由反证法证明的步骤知,先反设即,再推出矛盾即,最后作出判断,肯定结论即,即顺序应为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2013南阳高二检测)已知a,b,c,dr,且a+b=c+d=1,ac+bd1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.【解题指南】反证法来证明正难则反的运用,先否定结论,假设a,b,c,d都是非负数,然后推出矛盾来得到证明.【证明】假设a,b,c,d都是非负数,因为a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1.又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bcac+bd,所以ac+bd1,这与已知ac+bd1矛盾,所以a,b,c,d中至少有一个是负数.【拓展提升】适用反证法证明的题型适用反证法证明的题型有:(1)一些基本命题、基本定理.(2)易导出与已知矛盾的命题.(3)“否定性”命题.(4)“唯一性”命题.(5)“必然性”命题.(6)“至多”“至少”类命题.(7)“必然性”命题.(8)涉及“无限”结论的命题等.11.求证过一点只有一条直线与已知平面垂直.【解题指南】文字叙述题的证明应先写出已知,求证,本题证明时应分两种情况,即点p在平面内和点p在平面外.【证明】已知:平面和一点p.求证:过点p与平面垂直的直线只有一条.证明:如图所示,不论点p在内或外,设pa,垂足为a(或p).假设过点p还有另一条直线pb,设pa,pb确定的平面为,且=a,于是在平面内过点p有两条直线pa,pb垂直于a,这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾,所以假设不成立,原命题成立.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014济宁高二检测)用反证法证明命题“2+3是无理数”时,假设正确的是()a.假设2是有理数 b.假设3是有理数c.假设2或3是有理数 d.假设2+3是有理数【解析】选d.假设结论的反面成立,2+3不是无理数,则2+3是有理数.2.(2014潍坊高二检测)否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是()a.有一个解b.有两个解c.至少有三个解d.至少有两个解【解析】选c.在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”.3.已知直线a,b为异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为 ()a.一定是异面直线b.一定是相交直线c.不可能是平行直线d.不可能是相交直线【解析】选c.假设cb,而由ca,可得ab,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线.4.已知数列an,bn的通项公式分别为an=an+2,bn=bn+1(a,b是常数,且ab),那么两个数列中序号与相应项的数值相同的项的个数是()a.0b.1 c.2d.无穷多个【解题指南】假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项,推理得出矛盾.【解析】选a.假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项,则有an+2=bn+1,得到(a-b)n=-1,这样的n是不存在的,故假设不成立.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014郑州高二检测)若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是.【解析】假设两个一元二次方程均无实根,则有1=(a-1)2-4a20,2=(2a)2-4(-2a)0,a2+2a0,解得a|-2a-1,所以其补集a|a-2或a-1即为所求的a的取值范围.答案:a|a-2或a-16.完成反证法证题的全过程.设a1,a2,a7是1,2,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=0.但0奇数,这一矛盾说明p为偶数.【解题指南】利用奇数个奇数之和为奇数,把a1-1,a2-2,a7-7相加,利用a1+a2+a7=1+2+7可推出矛盾.【解析】据题目要求及解题步骤,因为a1-1,a2-2,a7-7均为奇数,所以(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)也为奇数.即(a1+a2+a7)-(1+2+7)为奇数.又因为a1,a2,a7是1,2,7的一个排列,所以a1+a2+a7=1+2+7,故上式为0.所以奇数=(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=0.答案:(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)(a1+a2+a7)-(1+2+7)三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2013临沂高二检测)已知a,b,c(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于14.【证明】假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于14.因为0a1,0b0.由基本不等式,得(1-a)+b2(1-a)b14=12.同理,(1-b)+c212,(1-c)+a212.将这三个不等式两边分别相加,得(1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a212+12+12,即3232,这是不成立的,故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于14.8.(2014温州高二检测)设an,bn是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn.证明数列cn不是等比数列.【解题指南】假设数列cn是等比数列,利用an,bn是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾,即知假设不成立.【证明】假设数列cn是等比数列,则(an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1).因为an,bn是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,所以an2=an-1an+1,bn2=bn-1bn+1.代入并整理,得2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn(pq+qp),即2=pq+qp.当p,q异号时,pq+qp2,与相矛盾.故数列cn不是等比数列.【拓展延伸】适用反证法证明的题型适用反证法证明的题型有:(1)一些基本命题、基本定理.(2)易导出与已知矛盾的命题.(3)“否定性”命题.(4)“唯一性”命题.(5)“必然性”命题.(6)“至多”“至少”类命题.(7)涉及“无限”结论的命题等.【变式训练】已知f(x)=x2+px+q.求证:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12.【解题提示】至少有一个不小于12的反面是