九年级数学上册 1.3.3 正方形性质与判定的综合应用课件 （新版）北师大版.ppt

第一章特殊平行四边形 1 3正方形的性质与判定 第3课时正方形的性质与判定的综合应用 名师点金 正方形既是菱形 又是矩形 它具有菱形 矩形的所有性质 判定一个四边形是正方形 只需保证它既是菱形又是矩形即可 1 训练角度 利用正方形的性质证明线段位置关系 如图 在正方形abcd中 对角线ac bd相交于点o e f分别在od oc上 且de cf 连接df ae 并延长ae 其延长线交df于点m 求证 am df ac bd是正方形abcd的两条对角线 ac bd oa od oc ob aoe dof 90 de cf oe of aoe dof oae odf dof 90 dfo fdo 90 dfo fae 90 amf 90 即am df 证明 2 训练角度 利用正方形的性质解决线段和差倍分问题 2 在正方形abcd中 man 45 man绕点a顺时针旋转 它的两边分别交cb dc 或它们的延长线 于点m n 1 如图 当 man绕点a旋转到bm dn时 易证 bm dn mn 当 man绕点a旋转到bm dn时 如图 请问图 中的结论是否还成立 如果成立 请给予证明 如果不成立 请说明理由 2 当 man绕点a旋转到如图 所示的位置时 线段bm dn和mn之间有怎样的数量关系 请写出你的猜想 并说明理由 1 仍有bm dn mn成立 证明如下 过点a作ae an 交cb的延长线于点e 易证 abe adn dn be ae an 又 eam nam 45 am am eam nam me mn me be bm dn bm bm dn mn 解 2 dn bm mn 理由如下 如图 在dn上截取de bm 连接ae 四边形abcd是正方形 abm d bad 90 ab ad 又 bm de abm ade am ae bam dae dab 90 mae 90 man 45 ean 45 man 又 am ae an an amn aen mn en dn de en bm mn dn bm mn 3 训练角度 利用正方形的判定和性质探究正方形的条件 3 如图 在rt abc中 acb 90 过点c的直线mn ab d为ab边上一点 过点d作de bc 交直线mn于e 垂足为f 连接cd be 1 求证 ce ad 2 当点d为ab的中点时 四边形becd是什么特殊四边形 请说明理由 3 若点d为ab的中点 则当 a的大小满足什么条件时 四边形becd是正方形 请说明理由 1 de bc dfb 90 acb 90 acb dfb ac de mn ab 即ce ad 四边形adec是平行四边形 ce ad 证明 2 四边形becd是菱形 理由 d为ab的中点 ad bd ce ad bd ce bd ce 四边形becd是平行四边形 acb 90 d为ab的中点 cd bd 四边形becd是菱形 解 3 当 a 45 时 四边形becd是正方形 理由 acb 90 a 45 abc a 45 ac bc 点d为ab的中点 cd ab cdb 90 四边形becd是菱形 菱形becd是正方形 即当 a 45 时 四边形becd是正方形 解 4 训练角度 正方形性质与判定的综合运用 4 如图 p q r s四个小球分别从正方形的四个顶点a b c d同时出发 以同样的速度分别沿ab bc cd da的方向滚动 其终点分别是b c d a 1 不管滚动多长时间 求证 连接四个小球所得的四边形pqrs总是正方形 2 四边形pqrs在什么时候面积最大 3 四边形pqrs在什么时候面积为正方形abcd面积的一半 并说明理由 1 四边形abcd是正方形 a b c d 90 ab bc cd da 又 在任何运动时刻 ap bq cr ds pb qc rd sa asp bpq cqr drs ps qp rq sr asp bpq 在任何运动时刻 四边形pqrs是菱形 证明 又 aps asp 90 aps bpq 90 qps 180 aps bpq 180 90 90 在任何运动时刻 四边形pqrs总是正方形 2 当p q r s在出发时或在到达终点时面积最大 此时的面积就等于正方形abcd的面积 解 解 3 当p q r s四个小球滚动到正方形abcd四边中点时 四边形pqrs的面积是正方形abcd面积的一半 理由 设正方形abcd的边长为a 当ps2 a2时 在rt aps中 as a sd a ap 由勾股定理 得a