第30讲 第十七章 数制、编码及逻辑代数(二)(2010年新版).doc

17.3.4 复杂逻辑关系（1） “与非”逻辑与和非的复合逻辑称为与非逻辑，它可以看成与逻辑后面加了一个非逻辑，实现与非逻辑的电路称为与非门。 （2）或非逻辑或和非的复合逻辑称为或非逻辑，可以看成或逻辑后面加了一个非逻辑，实现或非逻辑的电路或非门。 （3）与或非逻辑是三种基本逻辑的组合，也可看成是与逻辑与或非逻辑的组合。 （4） 异或逻辑异或逻辑是指当两个输入逻辑变量取值相同时，输出为0，不同（相异）时输出为1。实现异或逻辑的电路称为异或门。 （5）同或逻辑同或逻辑又称为异或非逻辑，是指当两个输入逻辑变量取值相同时，输出为1，不同时输出为0。实现同或逻辑的电路称为同或门（或称为异或非门）。 17.4 逻辑函数表示17.4.1 逻辑代数逻辑代数的基本公式、定律和规则 （1）基本公式 逻辑代数的基本公式和定律列下表 逻辑代数的基本公式和定律名称公 式0-1律00=0 0+0=0 01=0 0+1=1 11=1 1+1=1 0A=0 0+A=A1A=A 1+A=1重叠律（自等律）AA=AA+A=A互补律 还原律交换律AB=BA A+B=B+A结合律(AB )C=A(BC) (A+B )+C=A+(B+C)分配律A(B +C)=AB+AC A+B C=(A+B)(A+C)反演律(德摩根定理)吸收律A+AB=A A(A+B)=A (A+B)(A+C)=A+BC表中各式，0-1律、重叠律、互补律、还原律，按与、或、非三种基本逻辑运算的含义不难理解，也无须证明。而交换律、结合律、分配律、反演律和吸收律各式可用真值表证明。摩根定理适用于任何两变量以上的多变量函数。 表证明两变量的摩根定理的真值表A B0 00 11 01 11000100011101110由表可见（2）关于等式的若干规则1)代入规则将等式两边出现的同一变量都以一个相同的逻辑函数代之，则等式仍成立，这个规则称为代入规则。 利用代入规则可以扩大等式的应用范围，很多基本公式都可以由两变量或三变量推广为多变量的形式。例如，摩根定理的两变量形式为及，利用代入法则，将前式“B”的位置以(BC)代入，后式 “B”的位置以(BC)代入就可得到表中三变量形式的摩根定理。从而，摩根定理得到了扩展。2）反演规则对于一个逻辑式Z，如果把其中所有的“”换成“+”，“+”换成“”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量、反变量换成原变量，那么得到的函数式就是，这个规则叫做反演规则。它为求一个函数的反函数提供了方便。在使用反演规则时需要注意两点：必须遵守“先括号、然后乘、最后加”的顺序。不属于单个变量上反号应保留不变。3） 对偶规则对于任何一个逻辑式Z，如果把其中所有的“”换成“+”，“+”换成“”，0换成1，1换成0，则得到一个新的函数式，这就是函数Z的对偶式，记作。可以证明，若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶规则。运用对偶规则可以使人们要证明的公式大大减少。假如要求证和是否相等，则只需证明其对偶式、是否相等。例如，分配律为A（B+C）=AB+AC，求这一个公式两边的对偶式，则有分配律A+BC=（A+B）（B+C）成立。如果已证明前式成立，那么后式就不必再证明了，它一定成立。17.4.2 逻辑函数的代数法化简化简的意义：将逻辑函数化成最简形式便于在用电路实现时节省器件。（1）逻辑函数式最简的标准逻辑函数式有多种形式，如与或式，或与式，与非与非式，或非或非式等等。Y=AB+AC与或式=(AB+AC)=(AB)(AC)与非与非式两次取反=(AB+AC)=(A+B)(A+C)=(AB+AC+BC)=(AB+AC)=(A+B)(A+C)或与式=(A+B)(A+C)=(A+B)+(A+C)或非或非式两次取反=(AB+AC)与或非式与或式使用最多，因此我们只讨论与或式的最简标准1包含的与项最少；2在满足1项的前提下，每个与项包含的变量个数最少。（2）化简方法我们通过一些例子说明如何应用这些公式进行化简1）并项法：A+A=12）吸收法：A+AB=AY=AB+A(C+D)B=AB 3）消因子法：A+AB=A+BY=AC+AD+CD=AC+(AC)D=AC+D4）消项法：AB+AC+BC=AB+ACY=AC+AD+(C+D)=AC+AD+CD=AC+CD5）配项法：A=A+A 1=A+A AB+AC =AB+AC+BCY1=ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC=AB+BCY2=AB+AB+BC+BC=AB+AB+BC+BC+AC=AB+BC +AC或Y2= AB+AB+BC+BC=AB+AB+BC+BC+AC=AB+BC+AC卡诺图化简法1. 卡诺图的构成形状：二变量卡诺图有22=4个小方格；三变量卡诺图有23=8个小方格；四变量卡诺图有24=16个小方格；一般4个小方格和16个小方格的卡诺图组成正方形；8个小方格的卡诺图组成长方形。(当然，也有五变量和六变量的卡诺图，它们有不同的设计方法) 坐标轴：也有横轴和纵轴。与普通代数中的平面直角坐标轴的称呼不太相同。下面的方法把坐标轴和变量联系起来记忆，可以方便学习。二变量(A,B)卡诺图的横轴称为A横轴，纵轴称为B纵轴；三变量(A,B,C)卡诺图的横轴称为AB横轴，纵轴称为C纵轴；四变量(A,B,C,D)卡诺图的横轴称为AB横轴，纵轴称为CD纵轴。坐标：横坐标从左到右，纵坐标从上到下都按升序。当坐标轴为一个变量时，升序为0，1。如A横轴，对应坐标为，A。余类推。当坐标轴为二个变量时，升序为00，01，11，10。(注意：这种升序是二进制数00，01，10，11对应的格雷码)， 如AB横轴，对应坐标为，B，AB，A。余类推。当坐标轴为三个变量时，升序为000，001，011，010，110，111，101，100。(注意：这种升序是二进制数000，001，010，011，100，101，110，111对应的格雷码)卡诺图中小方格的内容：每一个小方格代表一个最小项。如同平面直角坐标系一样，平面上的每一个点的坐标是先横后列。例如四变量的卡诺图中，最小项m5对应的AB横轴坐标为01(即为B)，CD纵轴坐标为01(即为D)，故m5=BD。2. 逻辑函数在卡诺图上的表示若逻辑函数表达式是“最小项之和”的形式，如F(A,B,C)=m(2,3,6,7)= m2m3 m6 m7,则在直接在三变量卡诺图中对应m2、m3、m6、m7的小方格内填1，其余方格填0。填1的方格称为1方格，填0的方格称为0方格。一般不填0方格，以求图象清淅。若逻辑函数是“与或” 表达式，如F(A,B,C)= C+B +AC +BC在三变量卡诺图中，填C时，因只有一个横坐标，故应先在AB横轴上找出开始为0的坐标 (这个0对应着)：00和01的两列，然后在C纵轴上找出坐标为1的一列，这样就在卡诺图中找到了001和011的两个1方格。相当于C+BC=C。填B时，因只有横坐标，无纵坐标，故在AB横轴上找出坐标01后，在这一列的所有两个小方格内填1(即两个1方格)。相当于BC+B=B。填BC时，因只有一个横坐标B，故应先在AB横轴上找出第二个坐标为1的坐标 (这个1对应着B)的11和01的两列，然后在C纵轴上找出坐标为1的一列，这样就在卡诺图中找到了111和011的两个1方格。相当于ABC