不等式的基本性质教案.doc

2.1不等式的基本性质问题情境：现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中ab。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？分析：依题意可知：A、B、C、D四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6种取法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。研究比较大小的依据：ABx我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。在右图中，点A表示实数a，点B表示实数b，点A在点B右边，那么ab。而ab表示a减去b所得的差，由于ab，则差是一个正数，即ab0。命题：“若ab，则ab0”成立；逆命题“若ab0，则ab”也正确。类似地：若ab，则ab0；若ab，则ab0。逆命题也都正确。结论：(1)“ab”“ab0”(2)“ab”“ab0”(3)“ab”“ab0”以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数；(4) 负数乘负数是正数。研究不等式的性质：性质1：若ab，bc，则ac (不等式的传递性)证明：ab ab0bc bc0(ab)(bc)ac0 (正负数运算性质)则ac反思：证明要求步步有据。性质2：若ab，则acbc (不等式的加法性质)证明：ab ab0(ac)(bc)ab0 acbc反思：作差比较法的第一次运用，虽然简单，也要让学生好好体会体会。思考：逆命题“若acbc，则ab”成立吗？两边加“c”即可证明。例1 求证：若ab，cd，则acbd (同向不等式相加性质)证明1：ab acbc(性质2)cd bcbd(性质2)则acbd(性质1)证明2：ab ab0cd cd0(ab)(cd)0 即(ac)(bd)0 (作差比较法)则acbd练习：求证：若ab，cd，则acbd (异向不等式相减性质)证明1：cd cd0得dc0 即cd(正数得相反数为负数)亦可由cd两边同加(cd)，直接推出cd (性质2)ab a(c)b(d)(同向不等式相加性质)则acbd(加减法运算法则)证明2：ab ab0cd dc0(ac)(bd)(ab)(dc)0 (作差比较法)则acbd性质3：若ab，c0，则acbc若ab，c0，则acbc (不等式的乘法性质)证明：acbc(ab)c (作差比较法)ab ab0(1) 当c0时，(ab)c0，得acbc (正负数运算性质)(2) 当c0时，(ab)c0，得acbc (正负数运算性质)反思：等式两边同乘一个数，等式永远成立。但不等式的情况完全不同！强调！思考：(1)“若ab，则ac2bc2”成立吗？不成立！反例：c0时不成立。(2)“若ac2bc2，则ab”成立吗？成立！隐含c20。2、求证：若ab0，cd0，则acbd (同向不等式相乘性质)证明：ab，c0 acbc(性质3)cd，b0 bcbd(性质3)则acbd(性质1)特例：当ac且bd时，有“若ab0，则a2b2”推而广之：若ab0，则anbn (nN*) (不等式的乘方性质)推而广之：若ab0，则 (nN*，n1) (不等式的开方性质)可用反证法进行证明。3、求证：若ab0，则0 (不等式的倒数性质) 证明：ab0 0，0，ab00 (正负数运算性质) 则0例2比较(a1)2与a2a1的值的大小。解：(a1)2(a2a1)3a(1)当a0时，(a1)2a2a1(2)当a0时，(a1)2a2a1(3)当a0时，(a1)2a2a1反思：(1)比较大小时，等与不等一定要分开讨论！强调！(2)分类讨论时，要做到“不遗漏，不重复”！强调！例3解关于x的不等式m(x2)xm。解：(m1) xm(1)当m1时，xR(2)当m1时，x；(3)当m1时，x反思：(1) 引起讨论的原因是什么？m1值的不确定性(2) 如何进行讨论？不等式性质课堂小结：(1) 数学知识：不等式性质1：若ab，bc，则ac (不等式的传递性)2：若ab，则acbc (不等式的加法性质)3: 若ab，cd，则acbd (同向不等式相加性质)4：若ab，cd，则acbd (异向不等式相减性质)5：若ab，c0，则acbc；若ab，c0，则acbc (不等式的乘法性质)6：若ab0，cd0，则acbd (同向不等式相乘性质)7：若ab0，则anbn (nN*) (不等式的乘方性质)8：若ab0，则 (nN*，n1) (不等式的开方性质)9：若ab0，则0 (不等式的倒数性质)(2) 数学方法：作差比较法(3) 数学思想：分类讨论 例题练习： 例1 解关于x的不等式：(m24)xm2。解：(1) m240即m2或m2当m2时，x当m2时，xR(2) m240即m2或m2时，x(3) m240即2m2时，x反思：(1) 引起讨论的原因是什么？m24值的不确定性(2) 如何进行讨论？不等式性质例2 若m0，yx0，试比较与的大小。解：yx yx0y0，m0 ym0又y0，m0 0 则引申：若a、b、c、d均为正数，且，求证：证明1：(作差比较法) ，b0，d0 bcad 得0 则同理可证：证明2：(变更论证法) b0，bd0 a(bd)b(ac)a(bd)b(ac)adbc，b0，d0 adbc 得a(bd)b(ac)则 同理可证：例3 若x0，试比较与的大小。分析：直接作差显然不可取。可考虑去根号，利用不等式的乘方、开方性质。解：()22x32，()22x32 2x322x32得()2()2则反思：“分析法”是寻找解题思路的常用方法。例4 甲、乙两人连续两天去市场买青菜。甲每次买青菜的数量不变，乙每次买青菜的费用不变。问甲、乙两人谁购买的方法比较合算？分析：何为合算？平均单价便宜。解：设第一天青菜单价a元/斤，第一天青菜单价b元/斤。设甲每次买青菜x斤，乙每次买青菜花费y元，甲平均单价为，乙平均单价为(1) ab时，；(2) ab时，由(1)(2)可知：乙购买的方法比较合算。例5 现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中ab。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？分析：依题意可知：A、B、C、D四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6种取法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。解：(1)取A、B：(a3a2b)(ab2b3)(ab)2(ab) 无法确定大小(2)取A、C：(a3ab2)(a2bb3)(a2b2) (ab) 无法确定大小(3)取A、D：(a3b3)(ab2a2b)(ab) (ab)2由于ab，则(ab) (ab)20，即a3b3ab2a2b 先取A、D则必胜！能否推广？ 观察a3b3ab2a2b的特征，进行猜测。a4b4ab3a3b，a4b4a2b2a2b2a5b5ab4a4b，a5b5a2b3a3b2更为一般性的结论：a、bR，m、nN*，则a m+nbm+nambnanbm证明：(a mnb mn)(ambnanbm)(ambm)(anbn)0课堂小结：(1) 数学知识：8条不等式性质(2) 数学方法：作差比较法、分析法、变更论证(3) 数学思想：分类讨论、类比猜想证明不等式的基本性质 同步练习1一、判断下列各题是否正确？正确的打“”，错误的打“”。1. 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变。（ ）2. 如果ab，那么32a32b。（ ）3. 如果a是有理数，那么8a5a。（ ）4. 如果ab，那么a2b2。（ ）5. 如果a为有理数，则aa。（ ）6. 如果ab，那么ac2bc2。（ ）7. 如果x，那么x8。（ ）8. 若ab，则acbc。（ ）二、选择题1、若x，则axay，那么a一定为（ ）。A a BC0 Da02、若m，则下列各式中正确的是（ ）。Am33 B.3m3n C.3m3n D.m31n313、若a0，则下列不等关系错误的是（ ）。Aa5a7 B.5a7a C.5a7a D.a5a74、下列各题中，结论正确的是（ ）。A若a0，b0，则ba0B若ab，则ab0C若a0，b0，则ab0D若ab，a0，则ba05、下列变形不正确的是（ ）。A若ab，则baBab，得baC由2xa，得xa2D由x2y，得x2y6、有理数b满足b3，并且有理数a使得ab恒成立，则a得取值范围是（ ）。A小于或等于3的有理数B小于3的有理数C小于或等于3的有理数D小于3的有理数7、若ab0，则下列各式中一定成立的是（ ）Aab Bab0 Cab0 Dab8、绝对值不大于2的整数的个数有（ ）A3个 B4个 C5个 D6个三、填空题1、若a0，则_2、设ab，用“”或“”填空：a1_b1， a3_b3， 2a_2b， _3、实数a，b在数轴上的位置如图所示，用“”或“”填空：ab_0， ab_0，ab_0，a2_b2，_，a_b4、若ab0，则（ba）_0四、解答题1、根据不等式的性质，把下列不等式表示为xa或xa的形式：（1）10x9x（2）2x23（3）56x22、某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同一种商品40件.如果商店销售这些商品时，每件定价为x元，可获得大于12的利润，用不等式表示问题中的不等关系，并检验x14（元）是否使不等式成立？答案：一、1、 注意当此整数为0时，此不等式变为等式了，当此整数为负数时，不等号应改变方向；2、 正确答案应为32a