【三维设计】高考数学大一轮复习配套讲义（备考基础查清+热点命题悟通）第十章 空间向量 理 苏教版(1).DOC

第十章空间向量第一节空间向量及其运算和空间位置关系1空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在r，使ab共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z使得px ay bz c推论：设o、a、b、c是不共面的四点，则对平面abc内任一点p都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使xyz且xyz12数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积：ab|a|b|cosa，b；abab0(a，b为非零向量)；|a|2a2，|a|.(2)向量的坐标运算：a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量和ab(a1b1，a2b2，a3b3)向量差ab(a1b1，a2b2，a3b3)数量积aba1b1a2b2a3b3共线aba1b1，a2b2，a3b3(r，b0)垂直aba1b1a2b2a3b30夹角公式cosa，b1共线向量定理中ab存在r，使ab易忽视b0.2共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的3一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量试一试1有以下命题：如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是不共线；o，a，b，c为空间四点，且向量oa，ob，oc不构成空间的一个基底，那么点o，a，b，c一定共面；已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量ab，ab，c也是空间的一个基底其中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)解析：对于，“如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系一定是共线”，所以错误正确答案：2在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是_解析：a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确；据空间向量的意义知，a，b所在直线异面，则a，b必共面，故错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故不正确综上可知四个命题中正确的个数为0.答案：01直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l是空间一直线，a，b是直线l上任意两点，则称ab为直线l的方向向量，与ab平行的任意非零向量也是直线l的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2建立空间直角坐标系的原则：(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；(2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上3利用空间向量坐标运算求解问题的方法：用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化练一练1已知点a，b，c的坐标分别为(0,1,0)，(1,0，1)，(2,1,1)，点p的坐标是(x,0，y)，若pa平面abc，则点p的坐标是_解析：(x,1，y)，(1，1，1)，(2,0,1)，pa平面abc，即xy10，2xy0，x1，y2，故p点的坐标是(1,0,2)答案：(1,0,2)2已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，则向量ab与ab的夹角是_解析：(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos21sin2)(sin21cos2)0，(ab)(ab)，即向量ab与ab的夹角为90.答案：903如图，在正方体abcd a1b1c1d1中，m，n分别是cd，cc1的中点，则异面直线a1m与dn所成角的大小是_解析：建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，则d(0,0,0)，a1(1,0，1)，m，n，则，所以cos，0，所以，故异面直线a1m与dn所成角的大小为90.答案：90考点一空间向量的线性运算1在四面体oabc中，a，b，c，d为bc的中点，e为ad的中点，则_(用a，b，c表示)解析：()abc.答案：abc2.如图，在长方体abcd a1b1c1d1中，o为ac的中点(1)化简_；(2)用，表示，则_.解析：(1) ().(2)()，().答案：(1)(2) 备课札记 2题中条件不变，结论改为：设e是棱dd1上的点，且，若xyz.试求x，y，z的值.解：()，由条件知，x，y，z.考点二共线、共面向量定理的应用典例已知e，f，g，h分别是空间四边形abcd的边ab，bc，cd，da的中点，用向量方法，求证：(1)e，f，g，h四点共面；(2)bd平面efgh.证明(1)连结bg，则()，由共面向量定理知：e，f，g，h四点共面(2)因为()，因为e，h，b，d四点不共线，所以ehbd.又eh平面efgh，bd平面efgh，所以bd平面efgh.备课札记 类题通法1将四点共面问题，转化为三个向量共面问题，利用共面向量定理来解决2利用向量共线说明两线平行时注意说明四点不共线，否则不一定正确针对训练已知a，b，c三点不共线，对平面abc外的任一点o，若点m满足()(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点m是否在平面abc内解：(1)由3，()()即，共面(2)由(1)知，共面，且共过同一点m，四点m，a，b，c共面从而点m在平面abc内考点三利用空间向量证明平行或垂直典例(2014汕头模拟)如图所示的长方体abcd a1b1c1d1中，底面abcd是边长为2的正方形，o为ac与bd的交点，bb1，m是线段b1d1的中点(1)求证：bm平面d1ac；(2)求证：d1o平面ab1c；证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点o(1,1,0)，d1(0,0，)，(1，1，)又点b(2,2,0)，m(1,1，)，(1，1，)，.又od1与bm不共线，od1bm.又od1平面d1ac，bm平面d1ac，bm平面d1ac.(2)连结ob1，点b1(2,2，)，a(2,0,0)，c(0,2,0)，(1，1，)(1,1，)0，(1，1，)(2,2,0)0，即od1ob1，od1ac，又ob1aco，d1o平面ab1c.备课札记 类题通法利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直(1)设直线l1的方向向量v1(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2(a2，b2，c2)则l1l2v1v2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kr)l1l2v1v2a1a2b1b2c1c20.(2)设直线l的方向向量为v(a1，b1，c1)，平面的法向量为n(a2，b2，c2)，则lvna1a2b1b2c1c20.lvn(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(3)设平面的法向量n1(a1，b1，c1)，的法向量为n2(a2，b2，c2)，则n1n2，n1n2.针对训练已知在正四棱柱abcda1b1c1d1中，ab1，aa12，点e是cc1的中点，点f为bd1的中点(1)证明ac1平面bde；(2)证明平面bde平面aa1c1c.证明：(1)以c为原点，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz，则b(0,1,0)，d(1,0,0)，d1(1,0,2)，f(，1)，c1(0,0,2)，e(0,0,1)，a(1,1,0)则(1，1,0)，(1,0,1)，设平面ebd的一个法向量为n(x，y,1)，由解得故平面ebd的一个法向量为n(1,1,1)又(1，1,2)，则n(1，1,2)(1,1,1)1120，所以n，即直线ac1的方向向量与平面bde的一个法向量垂直，又ac1不在平面bde内，故ac1平面bde.(2)由(1)知平面bde的一个法向量n(1,1,1)，又为平面aa1c1c的一个法向量且(1，1,0)又n(1，1,0)(1,1,1)0，所以n，即两个平面的法向量互相垂直所以平面bde平面aa1c1c.课堂练通考点1在空间四边形abcd中，_.解析：如图，令a，b，c，则a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0答案：02a，b，c，d是空间四点，有以下条件：；.能使a，b，c，d四点一定共面的条件是_(填序号)解析：对于共面四点a，b，c，d，当能写成xyz时，应有xyz1.经检验只有满足答案：3(2014上饶模拟)正方体abcd a1b1c1d1的棱长为a，点m在ac1上且，n为b1b的中点，则|_.解析：以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则a(a,0,0)，c1(0，a，a)，n.设m(x，y，z)点m在ac1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.m，| a.答案：a4在空间四边形abcd中，g为cd的中点，则()_.解析：依题意有()2.答案：5.如图，在空间四边形oabc中，oa8，ab6，ac4，bc5，oac45，oab60，求oa与bc所成角的余弦值解：，()|cos，|cos，84cos 13586cos 1202416.cos，.故与夹角的余弦值为，即直线oa与bc所成角的余弦值为.课下提升考能第组：全员必做题1已知点a(3,0，4)，点a关于原点的对称点为b，则|ab|等于_解析：点a关于原点对称的点b的坐标为(3,0,4)，故|ab|10.答案：102空间四点a(2,3,6)，b(4,3,2)，c(0,0,1)，d(2,0,2)的位置关系为_(填“共线”、“共面”或“不共面”)解析：可在空间直角坐标系中作图分析，知a，b，c，d不共面答案：不共面3已知向量m(4，k，k1)，n(k，k3，)，若mn，则k_.解析：mn，k2.答案：24(2013长春模拟)已知点b是点a(3,7，4)在xoz平面上的射影，则2等于_解析：点a在xoz平面上的射影为b(3,0，4)，则(3,0，4)，225.答案：255.如图，已知空间四边形oabc，其对角线为ob、ac，m，n分别是对边oa、bc的中点，点g在线段mn上，且分mn所成的比为2，现用基向量，表示向量，设xyz，则x，y，z的值分别是_解析：设a，b，c，g分mn的所成比为2，(o)a(bca)abcaabc.答案：，6已知a(1,2，2)，b(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为_解析：cosa，b答案：7已知点a(1,2,1)，b(1,3,4)，d(1,1,1)，若2，则|的值是_解析：设p(x，y，z)，(x1，y2，z1)(1x,3y,4z)，由2得点p坐标为，又d(1,1,1)，|.答案：8.已知o(0,0,0)，a(1,2,3)，b(2,1,2)，p(1,1,2)，点q在直线op上运动，当取最小值时，点q的坐标是_解析：由题意，设，即oq(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062，当时有最小值，此时q点坐标为.答案：9.如图所示，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e是pc的中点证明：(1)aecd；(2)pd平面abe.证明：ab、ad、ap两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设paabbc1，则p(0,0,1)(1)abc60，abbc，abc为正三角形c，e.设d(0，y,0)，由accd，得0，即y，则d，.又，0，即aecd.(2)p(0,0,1)，.又(1)0，即pdae.(1,0,0)，0.pdab，又abaea，pd平面aeb.10(2014汕头模拟)已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为3，点e在aa1上，点f在cc1上，且aefc11.(1)求证：e，b，f，d1四点共面；(2)若点g在bc上，bg，点m在bb1上，gmbf，垂足为h，求证：em平面bcc1b1.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则b(0,0,0)，e(3,0,1)，f(0,3,2)，d1(3,3,3)，则(3,0,1)，(0,3,2)，(3,3,3)所以.故，共面又它们有公共点b，所以e，b，f，d1四点共面(2)设m(0,0，z0)，g，则，而(0,3,2)，由题设得3z020，得z01.故m(0,0,1)，有(3,0,0)又(0,0,3)，(0,3,0)，所以0，0，从而mebb1，mebc.又bb1bcb，故me平面bcc1b1.第组：重点选做题1在三棱锥pabc中，g为abc的重心，设a，b，c，则_(用a，b，c表示)解析：如图，取bc的中点d，g为abc的重心，则在abc中，()()(abc)答案：(abc)2已知(2,2,1)，(4,5,3)，求平面abc的单位法向量解：设平面abc的法向量n(x，y，z)，由n0，知x，y，z不全为0，可设其中不为0的一个为1，此时n且n，即n0，且n0，解得设z1，得n(，1,1)，单位法向量n0(，)第二节空间向量与空间角1两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的角)2直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |.3求二面角的大小(1)如图，ab，cd是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图，n1，n2分别是二面角 l 的两个半平面，的法向量，则二面角的大小n1，n2(或n1，n2)1求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为.2求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值3利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定由图形知二面角是锐角时cos ；由图形知二面角是钝角时，cos .当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点试一试1已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为_解析：cosm，n，即m，n45.两平面所成二面角为45或18045135.答案：45或1352(2013石家庄模拟)如图，在正方形abcd中，efab，若沿ef将正方形折成一个二面角后，aeedad11，则af与ce所成角的余弦值为_解析：如图建立空间直角坐标系，设abefcd2，aedead11，则e(0,0,0)，a(1,0,0)，f(0,2,0)，c(0,2,1)，(1,2,0)，(0,2,1)，cos，af与ce所成角的余弦值为.答案：1求两异面直线a，b的夹角，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos |cosa，b|.2求直线l与平面所成的角可先求出平面的法向量n与直线l的方向向量a的夹角则sin |cosn，a|.3求二面角 l 的大小，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则n1，n2或n1，n2练一练1已知四棱锥p abcd的底面abcd是等腰梯形，abcd，且acbd，ac与bd交于o，po底面abcd，po2，ab2cd2，e，f分别是ab，ap的中点则二面角f oe a的余弦值为_解析：以ob，oc，op所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，由题知，oaob2，ocod1，a(02,0)，b(2,0,0)，c(0,1,0)，d(1,0,0)，p(0,0,2)，(1，1,0)，(0，1,1)，设平面oef的法向量为m(x，y，z)，则令x1，可得m(1,1,1)易知平面oae的一个法向量为n(0,0,1)，设二面角f oe a为，则cos .答案：2如图所示，在四棱锥p abcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，paad2，ab1，bmpd于点m.则直线cd与平面acm所成角的余弦值为_解析：如图所示，以点a为坐标原点，建立空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，p(0,0,2)，b(1,0,0)，c(1,2,0)，d(0,2,0)ampd，paad，m为pd的中点，m的坐标为(0,1,1)(1,2,0)，(0,1,1)，(1,0,0)设平面acm的一个法向量为n(x，y，z)，由n，n可得，令z1，得x2，y1.n(2，1,1)设直线cd与平面acm所成的角为，则sin .cos ，即直线cd与平面acm所成角的余弦值为.答案：第一课时空间角的求法考点一异面直线所成角1(2013沈阳调研)在直三棱柱a1b1c1 abc中，bca90，点d1，f1分别是a1b1，a1c1的中点，bccacc1，则bd1与af1所成角的余弦值是_解析：建立如图所示的坐标系，设bc1，则a(1,0,0)，f1，b(0，1,0)，d1，则，.cos，.答案：2如图，在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中，m和n分别是a1b1和bb1的中点，那么直线am与cn所成角的余弦值为_解析：以d为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则a(1,0,0)，m，c(0,1,0)，n.，.设直线am与cn所成的角为，则cos |cos，|.答案：备课札记 类题通法1向量法求异面直线所成的角的方法有两种(1)基向量法：利用线性运算(2)坐标法：利用坐标运算2注意向量的夹角与异面直线所成角的区别当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角考点二直线与平面所成角典例(2013湖南高考)如图，在直棱柱abcd a1b1c1d1中，adbc，bad90，acbd，bc1，adaa13.(1)证明：acb1d；(2)求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值解法一：(1)证明：如图1，因为bb1平面abcd，ac平面abcd，所以acbb1.又acbd，所以ac平面bb1d.而b1d平面bb1d，所以acb1d.(2)因为b1c1ad，所以直线b1c1与平面acd1所成的角等于直线ad与平面acd1所成的角(记为)图1如图1，连结a1d.因为棱柱abcd a1b1c1d1是直棱柱，且b1a1d1bad90，所以a1b1平面add1a1.从而a1b1ad1.又adaa13，所以四边形add1a1是正方形，于是a1dad1.故ad1平面a1b1d，于是ad1b1d.由(1)知，acb1d，所以b1d平面acd1.故adb190.在直角梯形abcd中，因为acbd，所以bacadb.从而rtabcrtdab，故.即ab.连结ab1，易知ab1d是直角三角形，且b1d2bbbd2bbab2ad221，即b1d.在rtab1d中，cosadb1，即cos(90).从而sin .即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为.法二：(1)证明：易知，ab，ad，aa1两两垂直如图2，以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐图2标系设abt，则有a(0,0,0)，b(t,0,0)，b1(t,0,3)，c(t,1,0)，c1(t,1,3)，d(0,3,0)，d1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为acbd，所以t2300，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即acb1d.(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面acd1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线b1c1与平面acd1所成角为，则sin |cosn，|.即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为.备课札记 类题通法利用平面的法向量求线面角时，应注意(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2cos21求出其值不要误为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求针对训练(2013福建高考改编)如图，在四棱柱abcd a1b1c1d1中，侧棱aa1底面abcd，abdc，aa11，ab3k，ad4k，bc5k，dc6k(k0)若直线aa1与平面ab1c所成角的正弦值为，求k的值解：由题意知dcad，d1ddc，d1dad故以d为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则a(4k,0,0)，c(0,6k,0)，b1(4k,3k,1)，a1(4k,0,1)，所以(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)设平面ab1c的法向量n(x，y，z)，则由得取y2，得n(3,2，6k)设aa1与平面ab1c所成角为，则sin |cos，n|，解得k1，故所求k的值为1.考点三二面角典例(2013新课标卷)如图，直三棱柱abc a1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1accbab.(1)证明：bc1/平面a1cd；(2)求二面角d a1c e的正弦值解(1)证明：连结ac1交a1c于点f，则f为ac1的中点又d是ab的中点，连结df，则bc1df.因为df平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd.(2)由accbab得，acbc.以c为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系c xyz.设ca2，则d(1,1,0)，e(0,2,1)，a1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面a1cd的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m是平面a1ce的法向量，则可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角d a1c e的正弦值为.备课札记 在本例条件下，求平面a1ad与平面a1ec所成二面角的大小.解：acbc，d为ab中点，cd面a1ad，是平面a1ad的一个法向量由(2)建系条件下可知(1,1,0)，又平面a1ec的法向量m(2,1，2)，cos，m.平面a1ad与平面a1ec所成角为45.类题通法利用法向量求二面角时应注意(1)对于某些平面的法向量要注意题中隐含着，不用单独求(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误针对训练(2014杭州模拟)如图，已知平面qbc与直线pa均垂直于rtabc所在平面，且paabac.(1)求证：pa平面qbc；(2)若pq平面qbc，求二面角q pb a的余弦值解：(1)证明：过点q作qdbc于点d，平面qbc平面abc，qd平面abc.又pa平面abc，qdpa.又qd平面qbc，pa平面qbcpa平面qbc.(2)pq平面qbc，pqbpqc90，又pbpc，pqpq，pqbpqc，bqcq.点d是bc的中点，连结ad，则adbc，又ad平面qbc，bc平面qbc，ad平面qbc.pqad，adqd，四边形padq是矩形分别以ac，ab，ap所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系a xyz，设pa2a，则q(a，a,2a)，b(0,2a,0)，p(0,0,2a)，设平面qpb的法向量为n(x，y，z)，(a，a,0)，(0,2a，2a)，n(1，1，1)又平面pab的一个法向量为m(1,0,0)设二面角q pb a为，则|cos |cosm，n|，又二面角q pb a是钝角，cos ，即二面角q pb a的余弦值为.课堂练通考点1已知四棱柱abcd a1b1c1d1的侧棱aa1垂直于底面，底面abcd为直角梯形，adbc，abbc，adabaa12bc，e为dd1的中点，f为a1d的中点则直线ef与平面a1cd所成角的正弦值为_解析：ab，ad，aa1两两垂直，故以ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴，aa1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设bc1，则a(0,0,0)，a1(0,0,2)，c(2,1,0)，d(0,2,0)，e(0,2,1)，f(0,1,1)，(0,1,0)，(0,2，2)，(2,1,0)设平面a1cd的一个法向量为n(1，y，z)，则故n(1,2,2)，则sin |cosn，|，故直线ef与平面a1cd所成的角的正弦值为.答案：2(2013江苏高考)如图，在直三棱柱a1b1c1 abc中，abac，abac2，a1a4，点d是bc的中点(1)求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值；(2)求平面adc1与平面aba1所成二面角的正弦值解：(1)以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系a xyz，则a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(0,2,0)，d(1,1,0)，a1(0，0,4)，c1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线a1b与c1d所成角的余弦值为.(2)设平面adc1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面adc1的一个法向量取平面aba1的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面adc1与平面aba1所成二面角的大小为.由|cos |，得sin .因此，平面adc1与平面aba1所成二面角的正弦值为.课下提升考能第卷：夯基保分卷1.如图所示，已知正方体abcd a1b1c1d1，e，f分别是正方形a1b1c1d1和add1a1的中心，则ef和cd所成的角是_解析：以d为原点，分别以射线da，dc，dd1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐系系dxyz，设正方体的棱长为1，则d(0,0，0)，c(0,1,0)，e，f，(0,1,0)，cos，135，异面直线ef和cd所成的角是45.答案：452在正方体abcd a1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为_解析：以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设棱长为1，则a1(0,0,1)，e，d(0,1,0)，(0,1，1)，设平面a1ed的一个法向量为n1(1，y，z)，则n1(1,2,2)平面abcd的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.答案：3(2014安徽六校联考)在三棱锥p abc中，pa平面abc，bac90，d，e，f分别是棱ab，bc，cp的中点，abac1，pa2，则直线pa与平面def所成角的正弦值为_解析：以a为原点，ab，ac，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由abac1，pa2，得a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(0,1,0)，p(0,0,2)，d，e，f，(0,0，2)，.设平面def的法向量为n(x，y，z)，则由得取z1，则n(2,0,1)，设pa与平面def所成的角为，则sin ，pa与平面def所成角的正弦值为.答案：4(2014昆明模拟)如图，在四棱锥p abcd中，四边形abcd为平行四边形，且bc平面pab，paab，m为pb的中点，paad2.若ab1，则二面角b ac m的余弦值为_解析：bc平面pab，adbc，ad平面pab，paad，又paab，且adaba，pa平面abcd.以点a为坐标原点，分别以ad，ab，ap所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系a xyz.则a(0,0,0)，c(2,1,0)，p(0,0,2)，b(0,1,0)，m，(2,1,0)，求得平面amc的一个法向量为n(1，2,1)，又平面abc的一个法向量(0,0,2)，cosn，.二面角b ac m的余弦值为.答案：5.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱abc a1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为_解析：不妨令cb1，则cacc12.可得o(0,0,0)，b(0,0,1)，c1(0,2,0)，a(2,0,0)，b1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)，cos，0.与的夹角即为直线bc1与直线ab1的夹角，直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为.答案：6如图，在正四棱锥s abcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成角为_解析：如图所示，以o为原点建立空间直角坐标系o xyz.设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p.则(2a,0,0)，(a，a,0)设平面pac的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线bc与平面pac的夹角为906030.答案：307(2013新课标卷)如图，三棱柱abc a1b1c1中，cacb，abaa1，baa160.(1)证明：aba1c；(2)若平面abc平面aa1b1b，abcb，求直线a1c 与平面bb1c1c所成角的正弦值解：(1)证明：取ab的中点o，连结oc，oa1，a1b.因为cacb，所以ocab.由于abaa1，baa160，故aa1b为等边三角形，所以oa1ab.因为ocoa1o，所以ab平面oa1c.又a1c平面oa1c，故aba1c.(2)由(1)知ocab，oa1ab.又平面abc平面aa1b1b，交线为ab，所以oc平面aa1b1b，故oa，oa1，oc两两相互垂直以o为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系o xyz.由题设知a(1,0,0)，a1(0, ，0)，c(0,0, )，b(1,0,0)则(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面bb1c1c的法向量，则即可取n(，1，1)故cosn，.所以a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值为.8(2014合肥一模)如图，在四棱锥p abcd中，底面abcd是直角梯形，其中adab，cdab，ab4，cd2，侧面pad是边长为2的等边三角形，且与底面abcd垂直，e为pa的中点(1)求证：de平面pbc；(2)求二面角e bd a的余弦值解：(1)证明：如图1，取ab的中点f，连结df，ef.在直角梯形abcd中，cdab，且ab4，cd2，所以bf綊cd，所以四边形bcdf为平行四边形，所以dfbc.在pab中，peea，affb，所以efpb.因为dfeff，pbbcb，所以平面def平面pbc.因为de平面def，所以de平面pbc.(2)取ad的中点o，bc的中点n，连结on，op，则onab.在pad中，papdad2，所以poad，po.因为平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，所以po平面abcd.如图2，以o为坐标原点，分别以oa，on，op所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则o(0,0,0)，a(1,0,0)，d(1,0,0)，p