一道格点高考试题的解与析.pdf

一道格点高考试题的解与析 一道格点高考试题的解与析 质疑市考试院的 回应 质疑市考试院的 回应 上海市松江四中 201601 高吉全 上海市松江四中 201601 高吉全 1 高考试题及其争议 1 高考试题及其争议 2009 年上海理科卷第 13 题 某地街道呈现东 西 南 北向的网格状 相邻街距 都为 1 两街道相交的点称为格点 若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系 现有下 述格点 2 2 3 1 3 4 2 3 4 5 6 6 为报刊零售点 请确定一个格点 除零售点外 为发行站 使 6 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短 本例高考试题背景新颖 创新味重 能力要求高 普遍反映较难 引起了较大的反响 同时 对试题本身也引发了较大的争论 文汇报 6 月 11 日报道 一些老师认为 今年的数 学试题偏离了教学大纲 考试的要求已经超出了平时教学的要求 其中第 13 题 考察的是 关于格点的知识 超出了课本知识的范围 对此 市考试院第 2 天在文汇报 考试院回应 数学偏难 质疑 的标题下 指出 理科第 13 题 源于高三的 统计案例 一章 教材 分析了在一维条件下到有限点距离和最短的结论 试题在此基础上 利用它的思想方法考查 学生在二维条件下的结论是什么 由于这里横坐标 纵坐标可以独立考虑 因此并不需除教 材例题之外的方法 果真如此吗 本例高考填空题的标准答案是 3 3 上海中学数学 2009 年第 7 8 期 提供了如下 的 解 答 设 所 选 格 点 为 则 该 点 到 零 售 点 的 距 离 和 为 yx 2231xyxy 34xy 234xyx 566yxy 2332xxxx 46xx 21yy 4356yyyy 横坐标 2 2 3 3 4 6 的中位数是 3 纵坐标 1 2 3 4 5 6 的中位数是 3 5 所 以当或时 图像为最低点 再根据题意除去零售点 所以答案为 3 3 3 3xy 3 4xy 上述解法中 既然中位数是 3 5 按照课本结论似乎应该3 5y 怎么能得到或 呢 解题依据不足 3y 4y 2 课本结论的改进与高考试题的解 2 课本结论的改进与高考试题的解 高三文科教材在 统计案例 中 给出了如下的结论 对于样本 12 n x xx 其中位 数是函数 12 n G mxmxmxm 的最小值点 请注意 这是文科教材中未予证明的一个结论 理科教材中压根没有介绍 要求理科 1 生用文科教材中的知识 求解理科试卷第13题 这合理吗 这是否意味着 理科生还需掌握 文科教材的全部知识点呢 其次 即使利用文科教材的这个结论 也难以求解理科第 13 题 因为文科的这个结论 并不完备 事实上 当且仅当为奇数时 结论才正确 而试卷第 13 题的样本点数恰恰不是 奇数个 因此套用这个结论是不可能解答第 13 题的 n 为了求解理科第 13 题 有必要对文科这个结论加以改进 设 1 n k k f xx x 其中 122n xxxx 则 min0 ff x 其中为奇数时 n 01 2 n x n 为偶数时 0 1 22 nn xxx x 特别地 1 22 nn xx 时 0 2 n xx 证明 证明 由 1 n k k f xx x 12n xxx 得 0 1 n为奇数时 若 1 2 n xx 则 1 2 1 1 2 n n k n k k k f xxxx x是递减函数 若 1 2 n xx 则 1 2 3 1 2 n n k n k k k f xxxx x是递增函数 由上 令 0 2 n 1 xx 则 min0 ff x 2 0 为偶数时 n 若 2 n xx 则 1 2 1 2 n n k n k k k f xxxxx 是递减函数 若 1 2 n xx 则 1 2 1 2 2 n n k n k k k f xxxx x是递增函数 若 1 22 nn xxx 则 2 1 1 2 n n k n k k k f xx x 是常数 由上 当 0 1 22 nn xxx 则 min0 ff x 2 特别 1 22 nn xx 时 min 2 n ff x 证毕 利用上述文科改进了的新结论 可以求解理科第 13 题 注意到x轴 y轴上两个分量的 独立性 设所求格点为 00 xy 由x轴上的样本点列 2 2 3 3 4 6 得 由轴 上的样本点列 1 2 3 4 5 6 得 0 3x y 0 3 4y 由于 00 xy是格点 所以 00 xy 3 3 或者 00 xy 3 4 又因为需根据题意除去零售点 所以最终答案为 3 3 易知 本例去掉 格点 与 零售点除外 的条件 满足条件的解集是一条线段 3 34Dx yxy 一 般 地 设 坐 标 平 面 上 任 二 个 点 定 义 它 们 间 的 距 离 1122 A x yB xy 1212 dxxyy 则到有限个点 1 2 KKK Pxykn 距离和为最小值的点集 或是一个点 或是一条线段 或是一个长方形区域 它们可以利用上述新结论 结合各坐标 轴上点列的独立性 得出正确的结果 类似地 可以将上述问题推广到三维空间 甚至高维抽象空间去 解决这类问题的关 键 仍是利用一维条件下的上述新结论 3 新结论的进一步拓展 3 新结论的进一步拓展 为了进一步研究的需要 在本文的末尾 作者借此机会 进一步向大家介绍在一维条 件下 上述新结论的一个推广 设 1 n k k k f xax x 其中 12 kn aR xxx 则 时 1 0 n k k a min12 min n ff xf xf x m xa f不存在 时 1 0 n k k a max12 max n ff xf xf x min12 min n ff xf xf x 3 证明 证明 1 11 11 112 22 1 1111 11 nn kkk kk nn kkk kk ppnn kkkkkkp kkpkkp nn kkkn kk axa xxx aaxa xa xxxx f x aaxa xa xxxx axa xxx p 1 n xx x 时 f x的图像是依次由点 1122 xf xxf x nn xf x 为端点的一些线段首尾相接所成的折线形图 于是 1 0 若 则 1 0 n k k a 1 xx 时 f x是递减函数 n xx 时 f x是递增函数 由上 m x12 m x in fif xf xf