25-2014年全国初中数学联赛四川赛区决赛(初二).pdf

2 0 1 4年第 7期 2 0 1 4年全国初中数学联赛四川赛区决赛 初二 中图分类号 G 4 2 4 7 9 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 4 0 7 0 0 2 5 0 2 一 选择题 每小题 7分 共 4 2分 1 若 寺 则 x 2 42 x y 33 yy 2 A 0 B 一 c 一 了1 D 一 或 一 吾 2 设 a 一 1 b 一 2 c 一 3 则 a b C 的大小关系为 A a b c B a c b C b c a D c b a 3 设 口 b C均为正整数 且 a b c 满足 a b C 1 5 则 以 a b c为边 长 的三 角形 有 个 A 5 B 7 C 1 0 D 1 2 4 如 图 1 已知 在 t Z A B C D 中 邻 边和邻 角均不相等 E F分别 是 B 0 D O的中点 则此 图形 中有 全 等 三角 形 对 图 1 D A 5 B 6 C 7 D 8 5 若整数 0 6 均不能被 5 整除 但 a b 能被 5整除 则下列式子不能被 5整除的是 A 2 a 3 6 B 2 a 一 3 6 C 3 a 8 6 D 3 a一 7 6 6 有浓度为 3 的盐水若干克 加入 a克清 水后 盐水浓度为 2 再加入 a克清水后 此时 盐水的浓度为 A 1 B 1 2 5 C 1 5 D 1 7 5 二 填空题 每小题 7分 共 2 8分 1 已知 a b C 为常数 且对任意实数 戈 均有 2 如图 2 长 宽分 别为 2 1的两张相同的 长方形纸片 横竖紧靠 放在一起 过点 F的直 线分别与 A H C D交于 点 且 H M F与梯 F A B C 图 2 形 D E F N面积相等 则 A M 3 若 口 b为正整数 且满足 5 口 7 b 5 0 则 a b 4 已知 Is 口 c 4 3 A B 2 B C 过 点 C作 A B C的角平 分线 B E 的垂 线 垂足 为 D 则 Js 肋c 三 2 0分 如图 3 在凸四边形 A B C D中 已 知 A BC A DC 1 8 0 A C平分 B A D 过 点 C作 A B的垂线与 A B 交于点 E 证明 1 A E A B A D A C 图 3 四 2 5 分 已知三个一次函数 1 Y 1一 y b 1 若这三个函数图像能围成三角形 求实 数 b 的取值范围 2 若这三个函数图像所围成的三角形面积 为 时 求实数b 的值 五 2 5 分 已知正整数 a b c 满足 a b 0 于是 a b 类似地 b c 3 B 用枚举可以求出解 7 7 1 7 6 2 7 5 3 7 4 4 6 6 3 6 5 4 5 5 5 共 7对 4 C 根据图形易知全等三角形有 7对 5 A 逐一验证 2 口一 3 b 2 a 6 一 5 6 3 口 8 b 3 口 b 5 6 3 口一 7 b 3 口 b 一 l O b 均能被 5整除 但 2 口 3 6 2 口 b b 不能被 5整除 6 C 不妨设在浓度为 3 的盐水中 有 9 7克水 3克盐 故加水 5 0克可以变成浓度为2 的盐水 再加 5 O克水 则可以变成 1 5 的盐水 二 1 一9 由题意知 2 x C 1 2 口 戈 b 口 1 口 b x b 故 口 1 0 口 b 2 b c 口 一1 b c 3 a b c 一9 2 设 A M D N Y 由 s M F s D E F N 2 1 一 1 y 1 Y 1 2 x 又过点 作 A H的垂线 由三角形 中的比例 关系有 旦 2 一 v 一 一 3 联立式 得 3 1 5 由题意知 口 5 0 7 b 1 0一b一 故 口 3 b 5 从而 a b 1 5 4 3 作点 C关于B D的反射点 F 于是 B C B F 联结 F A F D 则点 F在 的延长线上 且 C D F三点共线 故 寺 因为 S 胱 2 s a c 所以 从而 5 伽 c 3 三 如图4 作 日 E 关于 A C的对称点 E 日 联结 E B 因为 A C为 B A C 的平分线 所以 点 E B 在 A D 的 延 长 线 上 且 C 图 4 C B E C B t E 故 G B rD A B C 1 8 0 一 A D C C D B 于是 C B C D 又 C E 上 D B 从而 B E B E 朋 1 1 故A E A E A E A E A B A D 血 厶 四 1 显然 直线 Z l 1 与 Z 2 1 一 交于点 P 0 1 1 只有当直线 f y b 过点P o 1 时 三 二 条线不能构成三角形 此时 6 1 下转第 3 4页 3 4 中 等 数 学 r 戈 l O y 9 3 z l o 0 1 4 x 3 0 l 4 3 0 丁 4 一1 0 9 一4 2 0 0 一 1 2 5 7 0 l 1 2 2 一5 3 一7 又 0 则 1 2 故 y 2 7 4 了 4 3 x y z 从而 m 3 8 5 6 3 9 1 2 5 D 由题意知 2 c0 s 2 co s c os 2 O 14 rd 2 c o s22 x 一 2 令 口 c s 2 b c s 2 0 1 4 则 l 0 l 1 1 b I 1 故原方程可化为 2 口 一2 a 6 2 口 一2 a b 1 又 I 口 l 1 l b I 1 于是 口 6 1或 0 6 一1 当口 b 1 时 c o s 2 c 0 s 2 O 1 4 r d 1 r k l 7 c 1 0 0 7 7 c k 1 k 2 z 一T 从而 7 c 1 9 n 5 3 n 1 O 0 7 n 当口 b 一1 时 2 0 1 4 C 0S Z COS 一 l 2 3 1 z 4 0 2 8 丽 若 4 0 2 8 则 自 2 2 1 2 l 3 1 2 j 4 1 8 0 5 6 由于上式左边为奇数 右边为偶数 故无解 综上 所求方程的所有正实根之和为 7 c 1 9 n I 5 3 丌 1 0 D 7 7 c 1 0 8 0 t 吴建平提供潘铁翻译 上接第2 6页 故当 b 1 时 三条直线能围成三角形 fy 十 fx l 2 b 一 2 联 立 1 6 YY t y 2 b 一 1 1 于是 直线 2 与 1 的交点为A 2 b 2 2 b 一 1 联立 1 x 6 一 q 1 厶 2 一 D 争 于 是 亘 线 2 与 1 3的 点 为 B 一 6 6 不妨设三条直线围成 A B P 则其面积为 s 卯 1 l 1 一 2 一6 l 号