2009考研数学基础班讲义－微积分第三讲.pdf

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 基础班微积分第 3 章 导数概念 性质与计算 3 1 导数概念 3 1 导数概念 导数定义与概念是一元函数微分学的核心内容 对它的背景与概念 应从极限的角度去认 识 并且应把导数的定义看作一种标准极限模式 导数定义与概念是一元函数微分学的核心内容 对它的背景与概念 应从极限的角度去认 识 并且应把导数的定义看作一种标准极限模式 由导数概念本身 可以得到一系列重要性质 而这些性质是研究函数性态的重要依据与工 具 在计算方面 应训练准确快速的导数计算能力 在学习中要掌握好基本初等函数的导数公 式 导数的四则运算法则和复合函数的求导法则 以及反函数 隐函数和由参数方程确定的函 数的求导公式及要点 由导数概念本身 可以得到一系列重要性质 而这些性质是研究函数性态的重要依据与工 具 在计算方面 应训练准确快速的导数计算能力 在学习中要掌握好基本初等函数的导数公 式 导数的四则运算法则和复合函数的求导法则 以及反函数 隐函数和由参数方程确定的函 数的求导公式及要点 3 1 1 导数定义及其变形形式 3 1 1 导数定义及其变形形式 定义 3 1 设函数定义 3 1 设函数 xfy 在点的某邻域内有定义 在点的某邻域内有定义 0 x 0 xxx 00 xfxxfy limlim 0 00 00 xf x xfxxf x y xx 0 0 0 0 lim xx xfxf xf x 导数的几何意义 切线斜率 导数的几何意义 切线斜率 0 x f 等价性描述 等价性描述 0 xA x xf 且 其中且 其中 0 xfA x 是时的无穷小量 进一步可改写为 是时的无穷小量 进一步可改写为 0 x xxxxfxf 00 或 或 00 xxxfxfxf 其中其中xxx 为时的高阶无穷小量 为时的高阶无穷小量 0 x 导数定义的描述 还可以扩展理解为 导数定义的描述 还可以扩展理解为 lim 00 0 0 x xfxxf xf x 定义 3 2 如果 定义 3 2 如果 x xfxxf x y xx limlim 00 00 存在 则称此极值为在处的左导数 记为 如果 存在 则称此极值为在处的左导数 记为 如果 xf 0 x 0 xf x xfxxf x y xx limlim 00 00 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 1 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 存在 则称此极值为在处的右导数 记为 存在 则称此极值为在处的右导数 记为 xf 0 x 0 xf 显然由极限存在的充要条件 在处可导的充分必要条件是在处的左 右 导数都存在 且相等 显然由极限存在的充要条件 在处可导的充分必要条件是在处的左 右 导数都存在 且相等 xf 0 x xf 0 x bf af 在闭区间上可导 是指在内每一点都可导 并且与 在闭区间上可导 是指在内每一点都可导 并且与 xf ba xf ba af bf 均 存在 均 存在 例 3 1 例 3 1 1 1ln sin 3 1ln sinlim xx x x 解 令 解 令 x t 1 则 原极限 则 原极限 t tt t 1ln sin 31ln sin lim 0 2 1ln sin 31ln sin3 0 t tt 例 3 2 1 若例 3 2 1 若kaf 存在 则 存在 则 1 limaf h afh h A B A B k C D 不存在 C D 不存在 k 0 解 解 1 limaf h afh h h af h af h1 1 lim t aftaf t lim 0 kafaf 上述第最后用到了导数存在的充要条件 左右导数存在且相等 因此应选 A 上述第最后用到了导数存在的充要条件 左右导数存在且相等 因此应选 A 例 3 2 2 例 3 2 2 2007 数一 二 三 四共用 数一 二 三 四共用 设函数在 xf0 x处连续 下列命题错误的是 A 若 x xf x lim 0 存在 则 0 0 f B 若 x xfxf x lim 0 存在 则0 0 f C 若 x xf x lim 0 存在 则 存在 0 f D 若 x xfxf x lim 0 存在 则 0 f 存在 解 解 答案 D 考点 点连续概念 导数定义 无穷小量比阶的概念与极限运算法则 考点 点连续概念 导数定义 无穷小量比阶的概念与极限运算法则 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 2 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 D 的成立不一定保证导致可导的两个极限存在 请看错误做法 的成立不一定保证导致可导的两个极限存在 请看错误做法 x xfxf x lim 0 x fxf x 0 lim 0 x fxf x 0 lim 0 0 2 0 0 fff 则存在 极限运算法则错误 极限运算法则错误 0 f 例 3 3 设 例 3 3 设 0 1 2 0 1 arctan sin xe x x x xf x 讨论的可微性 若可微 求并讨论其 连续性 讨论的可微性 若可微 求并讨论其 连续性 xf x f 解 首先在处连续 再由初等函数可导性的结论 只须讨论在处的 可微性 为此考虑极限 解 首先在处连续 再由初等函数可导性的结论 只须讨论在处的 可微性 为此考虑极限 xf0 x xf0 x 2 1 arctan lim 0 0 x x x f x 存在 存在 2 1 lim 2 0 sin 0 x e f x x 0 f 因此在因此在 xf0 x处可微 结论为 在处可微 结论为 在 xf 上处处可微 上处处可微 0 2 cos 0 2 0 1 2 1 arctan sin 2 3 xe x x x x x x xf x 0 2 lim 0 fxf x 于是 于是 x f 在在0 x处连续 结论为 处处连续 处连续 结论为 处处连续 x f 例 3 4 设例 3 4 设 0 0 cos1 2 xxgx x x xf 其中是有界函数 则在处有 D 其中是有界函数 则在处有 D xg xf0 x A 极限不存在 B 极限存在 但不连续 C 连续 但不可导 D 可导 A 极限不存在 B 极限存在 但不连续 C 连续 但不可导 D 可导 解 首先考查处的左右极限 解 首先考查处的左右极限 0 x 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 3 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 0 2 lim cos1 lim lim 2 000 x x x x xf xxx 因为有界 因为有界 0 lim lim 2 00 xgxxf xx xg 因此 故在因此 故在0 0 lim 0 fxf x xf0 x处连续 再考查处连续 再考查0 x处的左右导数是否存在 处的左右导数是否存在 0 lim 0 lim 00 xxg x fxf xx x fxf x 0 lim 0 0 2 lim cos1 lim 2 3 2 00 x x xx x xx 因此与均存在 且相等 于是在因此与均存在 且相等 于是在 0 f 0 f xf0 x处可导 且处可导 且0 0 f 答案为 D 答案为 D 3 1 2 由函数在一点可导决定的函数局部性质 3 1 2 由函数在一点可导决定的函数局部性质 性质 1 当在处可导时 必然存在处连续 性质 1 当在处可导时 必然存在处连续 xf 0 x xf 0 x 但必须注意到 在处连续时 却不一定在处可导 但必须注意到 在处连续时 却不一定在处可导 xf 0 x 0 x 性质 2 设函数连续 且 则存在性质 2 设函数连续 且 则存在 xf0 0 f0 使得对任意的 使得对任意的 0 x有 对任意的 有 对任意的 0 fxf 0 x有有 0 fxf x fxf f x 则由极限保序性可推断 则由极限保序性可推断 存在存在0 使当 使当 0 x或或 0 x时 时 0 0 0 x fxf 即与应保持同号 因此对任意的即与应保持同号 因此对任意的 0 fxf x 0 x有 对任意的有 对任意的 0 fxf 0 x有 有 0 fxfx 0 fxf 1 0 f 若 若e x xf x x 1 0 sin cos1 1 lim 则 则 0 f A B C A B C 012 D D e 解 答案 C 由答案 C 由e x xf x x 1 0 sin cos1 1 lim 可以知道当 可以知道当0 x时 有 时 有 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 4 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 1 sin cos1 1ln 1 lim 0 x xf x x 1 sin cos11 lim 0 x xf x x 因为因为1 0 f 则必有 则必有 0 0 lim 0 fxf x 于是 于是 1 lim 2 1 sin cos11 lim 2 2 00 x xf x xf x xx 不可用洛必达法则 不可用洛必达法则 又因为存在 所以 又因为存在 所以 0 f 2 lim lim 0 00 2 x xf x xf f xx 得到 得到 2 0 f 例 3 6 设在点某邻域内可导 且当例 3 6 设在点某邻域内可导 且当 xf0 x0 x时时0 xf 已知 已知2 0 0 0 ff 求极限 求极限 x x xf sin 1 0 21 lim 解 所求极限为 型 设法利用标准极限 并与导数所求极限为 型 设法利用标准极限 并与导数 12 0 f 相联系 相联系 x x xf sin 1 0 21 lim x xf xf x xf sin 2 2 1 0 21 lim 由复合极限定理 只须考虑极限 由复合极限定理 只须考虑极限 x x x xf x xf xx sin 2 lim sin 2 lim 00 由由2 0 0 0 ff存在 故上述极限可利用极限的乘法运算求得 即有 存在 故上述极限可利用极限的乘法运算求得 即有 sin lim 0 lim 2 sin 2 lim 000 x x x fxf x xf xxx 4 0 2 f 于是于是 4 sin 1 0 21 lim exf x x 注 利用导数定义求某些极限是一类重要题型 应熟悉导数定义的极限构造形式 并注意利用 复合极限定理与已知重要极限的结论 注 利用导数定义求某些极限是一类重要题型 应熟悉导数定义的极限构造形式 并注意利用 复合极限定理与已知重要极限的结论 3 2 微分概念与相对变化率 3 2 微分概念与相对变化率 3 2 1 微分概念 3 2 1 微分概念 由导数的等价性描述 我们已经知道可导函数在处的增量 由导数的等价性描述 我们已经知道可导函数在处的增量 xf 0 x 000 xfxxfxf 可以表示为 可以表示为 xxxxfxfxxf 000 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 5 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 其中其中 x 为时的无穷小量 若记为时的无穷小量 若记0 xxxx 则 则 x 是的高阶无穷 小量 于是又可记为 是的高阶无穷 小量 于是又可记为 x 00 xxxfxfxf 定义 3 3 设函数定义 3 3 设函数 xfy 在点的某邻域内有定义 若存在常数在点的某邻域内有定义 若存在常数 0 xA 使得对函数增量 使得对函数增量y 可 以表为 可 以表为 xoxAy 其中其中A与无关 是时的高阶无穷小量 则称函数与无关 是时的高阶无穷小量 则称函数x xo 0 x xfy 在点处可微 记为 在点处可微 记为 0 x xAdy x 0 0 xdf 函数的微分通常记为 函数的微分通常记为dxxfdxydydf 3 2 2 相对变化率 3 2 2 相对变化率 定义 3 4 设为可导函数 称极限 定义 3 4 设为可导函数 称极限 xfy limlim 00 00 xf y x x xfxxf y x x x y y xx 为对的相对变化率 为对的相对变化率 yx 经济模型中定义需求函数 其中为单位商品的价格 需求对价格的相对变化 率为 经济模型中定义需求函数 其中为单位商品的价格 需求对价格的相对变化 率为 PfQ P Pf Q p Ed 作为价格对需求反弹的一种度量 取相对变化率的绝对值定义为弹性 需 求对价格 作为价格对需求反弹的一种度量 取相对变化率的绝对值定义为弹性 需 求对价格 Pf Q p Ed 收益函数定义为 收益函数定义为 PPfPQR 3 3 初等函数的导数与微分公式 3 3 初等函数的导数与微分公式 导数与微分四则运算规则 导数与微分四则运算规则 如果在点处都有导数 则其和 差 积 商 分母不为零时 在点处均有导数 且可微 如果在点处都有导数 则其和 差 积 商 分母不为零时 在点处均有导数 且可微 xgxfxx xgxfxgxf xgxfxgxfxgxf 2 xg xgxfxgxf xg xf d d d d xgxfxgxf 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 6 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 d dd d x d x d fxggxfxgxf x d fcxcf c为常数 为常数 d x d 2 xg xgxffxg xg xf d xhxgxfxhxgxfxhxgxf xhxgxfxhxgxfxhxgxf 例 3 7 设在任意点例 3 7 设在任意点 xyy x满足满足 1 2 xox x y y 若 若 4 1 ey 则 则 3 y 3 e 解 由已知等式对任意由已知等式对任意 x成立 则有在成立 则有在 xf 内可导 且 内可导 且 2 1x y y 2 1x dx y dy 积分后得到 积分后得到 Cxylnarctanln 又 又 x Cey arctan 由由 4 1 ey 得 得 C 于是 于是 x ey arctan 3 3 ey 例 3 8 2004 2 16 设函数在例 3 8 2004 2 16 设函数在 xf 上有定义 在区间上有定义 在区间 2 0上 上 4 2 xxxf 若对任意的 都满足 若对任意的 都满足x 2 xkfxf 其中为常数 其中为常数 k 1 写出在上的表达式 写出在上的表达式 xf 0 2 2 问为何值时 在 问为何值时 在k xf0 x处可导 处可导 解 1 当 即 1 当 即02 x220 xxy x 解 方法 1 这类函数叫做幂指函数 首先两边取对数 得隐函数 方法 1 这类函数叫做幂指函数 首先两边取对数 得隐函数 xxylnsinln 再由隐函数求导法得 再由隐函数求导法得 x x xxy y sin lncos 1 从而 从而 sin ln cos sin x x xxxy x 这种先取对数再求导的方法叫做取对数求导法 除适用于幂指函数外 对含有 多个因式相乘除或带乘方 开方的函数也适用 这种先取对数再求导的方法叫做取对数求导法 除适用于幂指函数外 对含有 多个因式相乘除或带乘方 开方的函数也适用 xv xuy 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 9 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 方法 2 将幂指函数改写为后 再用复合函数求导法则及乘法公式 方法 2 将幂指函数改写为后 再用复合函数求导法则及乘法公式 xxx exy lnsinsin 例 3 16 2004 4 02 设例 3 16 2004 4 02 设 1 lnarctan 2 2 x x x e e ey 则 则 1 1 2 1 e e dx dy x 解 将函数表达式改写为 将函数表达式改写为 1ln 2 1 arctan 2 xx exey 则 则 1 1 1 2 2 2 x x x x e e e e y 1 1 1 2 2 2 1 e e e e dx dy x 1 1 2 e e 在复合函数求导计算时 需要引入中间变量 把函数分解成一串已知导数的函数 再用复 合函数求导法则 最后要把引入的中间变量用自变量的函数替代 当熟练地掌握了复合函数的 分解和求导法则后 可以不引入中间变量记号 只要作到心中有数 分解一层 求导一次 直 到最终自变量为止 在复合函数求导计算时 需要引入中间变量 把函数分解成一串已知导数的函数 再用复 合函数求导法则 最后要把引入的中间变量用自变量的函数替代 当熟练地掌握了复合函数的 分解和求导法则后 可以不引入中间变量记号 只要作到心中有数 分解一层 求导一次 直 到最终自变量为止 复合函数的微分法则 一阶微分形式不变性 复合函数的微分法则 一阶微分形式不变性 设可微 当为自变量时 设可微 当为自变量时 ufy u ufy 的微分 的微分 uufdyd 当当u为中间变量 为中间变量 u是变量的可微函数是变量的可微函数x xu 时 则时 则 xfy 的微分 的微分 uufxxufxxfyd d d d 可见 无论可见 无论u是自变量还是中间变量 是自变量还是中间变量 函数的微分形式不变 函数的微分形式不变 ufy 3 5 隐函数求导法与微分法 3 5 隐函数求导法与微分法 若由一个隐函数方程 若由一个隐函数方程 xyy 0 yxF确定 则可视为 直接利用复合 函数求导法则进行求导数运算 解出 确定 则可视为 直接利用复合 函数求导法则进行求导数运算 解出 0 xyxF x y 即可 即可 下面举例说明求隐函数的二阶导数的方法 下面举例说明求隐函数的二阶导数的方法 例 3 17 设 求例 3 17 设 求4 22 yxyxy 解 设 想 把所 确 定 的 函 数设 想 把所 确 定 的 函 数4 22 yxyx xyy 代 入 方 程 则 得 恒 等 式 代 入 方 程 则 得 恒 等 式 4 22 xyxxyx 方程两边关于求导得 方程两边关于求导得 x022 yyyxyx 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 10 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 解得解得 yx yx y 2 2 两边关于再次求导得 两边关于再次求导得 x 解出 解出 02 22 2 yyyyxyy yx yy y 2 222 2 将的表达式代入 并整理得 将的表达式代入 并整理得 y 33 22 2 24 2 6 yxyx yxyx y 例 3 18 设由方程例 3 18 设由方程 xyy 1ln yxy确定 求曲线确定 求曲线 xyy 在在1 x处的法线方程 处的法线方程 解 由已知方程令 则有由已知方程令 则有1 x1ln yy 显然有 显然有1 y 再由已知方程两边分别关于求 导数得到 再由已知方程两边分别关于求 导数得到 x 0 1 xx y y yyx 令 令1 1 yx 由此可得到 由此可得到012 1 xx y 因此因此 2 1 1 xx y 所以在 1 1 处法线斜率 所以在 1 1 处法线斜率 xyy 2 k 法线方程为 法线方程为 1 21 xy 或 或 12 xy 3 6 反函数与参数方程的求导法则 3 6 反函数与参数方程的求导法则 定理 3 3 反函数求导法则 若定理 3 3 反函数求导法则 若 yx 在某区间内单调 可导 且在某区间内单调 可导 且0 y 则其反函 数在对应的区间内也可导 且 则其反函 数在对应的区间内也可导 且 xfy 1 y xf 注 这里的反函数没有改变原来函数注 这里的反函数没有改变原来函数 xfy 的变量记号 的变量记号 例 3 19 设为单调函数 为其反函数 且例 3 19 设为单调函数 为其反函数 且 xf xg 3 1 1 2 1 ff 1 1 f 1 求 2 求 1 求 2 求 2 g x fxf x 2 1 1 lim 0 解 1 请注意 为的反函数的条件中 已经改变了变量记号 1 请注意 为的反函数的条件中 已经改变了变量记号 xg xf 为利用反函数导数公式 应将易为 其中为利用反函数导数公式 应将易为 其中 xg yg xfy 由反函数导数公式可得到 由反函数导数公式可得到 1 ygxf 两边关于再次求导 两边关于再次求导 x0 x yygxfygxf 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 11 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 或 或 0 2 ygxfygxf 令 应有 注意到令 应有 注意到1 x2 y3 1 1 2 f g 因此得到 因此得到33 2 g 2 2 6 3 1 2 1 2 1 1 lim 0 f x fxf x 注 上述 2 是用到了导数定义 注 上述 2 是用到了导数定义 定理 3 4 参数方程确定的函数的求导法则 若定理 3 4 参数方程确定的函数的求导法则 若Tttyytxx 都可导 且都可导 且 0 t 则由参数方程 则由参数方程 tyy txx Tt 所确定的函数也可导 且所确定的函数也可导 且 tx ty x y dx dy t t 应特别注意 应特别注意 2 2 tx ty dx yd 正确公式为 正确公式为 1 22 2 txtx txtytxty x y dx d dx yd t t 3 tx txtytxty 例 3 20 求摆线 在例 3 20 求摆线 在 cos1 sin tay ttax 2 t处的切线方程 处的切线方程 解 由于 由于 t t ta ta x y dx dy t t cos1 sin cos1 sin 2 kt 所以摆线在 所以摆线在 2 t处的切线斜率为 处的切线斜率为 1 cos1 sin 22 tt t t dx dy 摆线上对应于摆线上对应于 2 t的点是的点是 aa 1 2 故所求的切线方程为故所求的切线方程为axay 1 2 即 即 0 2 2 ayx 例 3 21 设 求例 3 21 设 求tbytaxsin cos x y 解 t a b ta tb x y y t t x cot sin cos cos cot ta t a b x y y t tx x ta b ta ta b 32 2 sin 1 sin sin 1 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 12 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 例 3 22 设 例 3 22 设 3 1 x x xf 求 求 5 10 f 解 为方便计算 先对做予处理如下 为方便计算 先对做予处理如下 xf 3 4 1 3 43 3 1 xx x x x xf 11 11 10 3 10 1 4 x xf 911 10 2 10 2 104 5 f 例 3 23 设例 3 23 设0 在 在 xf 上有定义 上有定义 1 0 f 且满足 且满足 0 1 sin 1ln lim 2 0 x x e xfxx 1 证明极限 1 证明极限 1 sin sin lim 2 0 x x e xxfx 存在 并求此极限值 存在 并求此极限值 2 证明函数在处可微 并求 2 证明函数在处可微 并求 xf0 x 0 f 证 1 方法 1 首先 1 方法 1 首先 x xf e xxfx x x x 1 lim 1 sin sin lim 00 2 由已知 由已知 1 sin 1ln lim 2 0 x x e xfxx 2 0 sin 1ln lim x xxfxxx x 2 0 1ln lim x xx x 2 0 sin lim x xxfx x x x x xf x x x x xxx sin lim sin lim 2 1 1 1 lim 000 0 sin 11 lim 22 1 lim 00 x x x xf x xx 1 sin 1 lim 1 lim 22 1 lim 000 x x x x xf x xxx xx xx x xf xx sin sin lim 1 lim 2 1 00 2 3 00 6 1 lim 1 lim 2 1 x x x xf xx 00 0 lim 2 1 0 x fxf x 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 13 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 运用极限运算法则 可推断极限 运用极限运算法则 可推断极限 x fxf x 0 lim 0 存在 且 存在 且 2 1 0 lim 0 x fxf x 错误做法 错误做法 1 sin 1ln lim0 2 0 x x e xfxx 2 0 lim x xfxx x 0 1 lim