2009考研数学基础班讲义-微积分第十六讲.pdf

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 基础班微积分辅导第 16 章 基础班微积分辅导第 16 章 第二类曲面积分与场论 第二类曲面积分与场论 第二类曲面积分 第二类曲面积分 16 1 第二类曲面积分 16 1 第二类曲面积分 16 1 1 第二类曲面积分的定义与性质 16 1 1 第二类曲面积分的定义与性质 3 R zyxZzyxYzyxXzyx F定义16 1 定义16 1 设向量值函数定义在上 是中的一块逐片光滑的可定向曲面 其正向为 把任意地分成个有向小块 其中 nS S S 0 iii S nS i S 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 1 2 1ni 分别为每个小块的面积 为内任意一 点 i S 0 i n iiii Q 处曲面的单位正法向量 作 Riemann 和 n i iiii 1 SF 0 为所有 直径的最大值 如果当 i S 2 1ni 再记时 上述Riemann和的极限 存在 且该极限值与有向小块的分法和点 iiii Q 的取法无关 则称该极限为向量值函 数在有向曲面上的第二类曲面积分第二类曲面积分 记作 S zyxF n i iiii dzyx 1 0 lim SFSF S 函数为被积函数被积函数 为积分曲面 有向 积分曲面 有向 为曲面的有向面积微分有向面积微分 Sd S zyxF 若记单位正法向量 cos cos cos 0 i n 分别为单位正法向量与三个坐标 轴的夹角 则上述第二类曲面积分又可记为 S S dSzyxZzyxYzyxX dSzyxdzyx cos cos cos 0 nFSF S 上式等号的右端为第一类曲面积分 若记 dSdydxdSdxdzdSdzdy cos cos cos 分 别 称 为在dSxyzxyz cos cos cos平 面 上 的 有 向 投 影有 向 投 影 可 正 可 负 因 此 dydxdxdzdzdy 也可正可负 axyx2 22 S zdxdyydzdxxdydzzyx 222 1 2 S zdS 0 dxdydS2 解 1 cos2 0 2 2 2 2 22 22 22 dddxdyyx xyx 9 232 S zdS 2 00 1 2 1 2222 222 222 S S S dS dS yx y yx x zyxzyx zdxdyydzdxxdydzzyx 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x S dyzdxdxydzdzxdy例16 6 例16 6 求 其中为 S的外侧 解 的参数方程为 S 0 20 cos sinsin cossin D cz by ax cossin 2 bc zz yy A sinsin 2 ca xx zz B cossinab yy xx C cossin sinsin cossin 22 abcabc n 现在考虑正负号的选取 在曲面 上取一个点 为了方便 我们取 此时 2 0 0 0 a 在该点 题目给的正法向量为 取负号两个法向量同向 因此 00 1 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 abcddabc ddzCyBxAdyzdxdxydzdzxdy D D S 4 cossinsinsincos sin 22323 当然 此题也可以用直角坐标来解 例16 7 例16 7 计算积分 S dyxI 2 dydxzdxdzydz 22 其中为球面限于部分 的外侧 1 222 zyx0 0 22 zxyx S 解 由对称性 0 2 S dzdyx 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 5 再由削去 0 1 22 222 xyx zyx xzy 得曲面在平面上的投影为 22 11 10 zzyzzzzyDyz 105 38 11 1 0 1 1 22222 2 2 zz zz D dyzydzdydzzydzdyx yz S 0 22 xyxyxDxyyx 削去 曲面在z平面上的投影为 32 5 1 222 xy D dxdyyxdydxz S 32 5 105 38 222 S dydxzdxdzydzdyxI 故 场 论 Green 公式 Guass 公式 Stokes 公式 场 论 Green 公式 Guass 公式 Stokes 公式 16 2 场 论 16 2 场 论 16 2 1 数量值函数的梯度 向量值函数的散度和旋度 16 2 1 数量值函数的梯度 向量值函数的散度和旋度 1 数量值函数的梯度 定义16 2 定义16 2 设数量值函数在点可微 则其在点的梯度梯度为 000 zyx 000 zyx zyxf 000 000 zyx z f y f x f zyxgradf 数量值函数的梯度为向量数量值函数的梯度为向量 数量值函数的梯度的意义数量值函数的梯度的意义 函数在点的梯度作为向量 其方向为使 函数在该点的方向导数取得最大的方向 其大小为这个最大的方向导数 000 zyx zyxf zyxf 2 向量值函数的散度 zyxZzyxYzyxXzyx F定义16 3 定义16 3 设向量值函数在点可 微 则其在点的散度散度为 000 zyx 000 zyx 000 000 zyx z Z y Y x X zyxdiv F 向量值函数的散度为数量向量值函数的散度为数量 向量值函数的散度的意义向量值函数的散度的意义 反映流场在该点的源的情况 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 3 向量值函数的旋度 zyxZzyxYzyxXzyx F定义16 4 定义16 4 设 向 量 值 函 数在 点可微 则其在点的旋度旋度为 000 zyx 000 zyx kji kji F y X x Y x Z z X z Y y Z ZYX zyx zyxrot zyx 000 000 向量值函数的旋度为向量向量值函数的旋度为向量 向量值函数的旋度的意义向量值函数的旋度的意义 反映流场在该点的旋转的情况 16 2 2 三个基本公式 Green Guass Stokes 公式 16 2 2 三个基本公式 Green Guass Stokes 公式 D 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 6 定理16 1 定理16 1 Green 公式Green 公式 设为平面上的有界连通闭区域 记D为 的有向边界 其正 方 向 的 定 义 为 沿的 正 方 向 走 区 域 在 其 左 边 若 平 面 二 元 向 量 值 函 数 是类函数 即在 上连续可微 则 D D D 1 CD yxYyxXyx F yxYyxX DD dxdy x X x Y YdyXdx 3 R 定理16 2 定理16 2 Guass 公式Guass 公式 为有界闭区域 其边界面外侧为正 向量值函数 1 CzyxZzyxYzyxXzyxF 则 dv z Z y Y x X ZdxdyYdzdxXdydz dvdivF 定理16 3 定理16 3 Stokes 公式Stokes 公式 有界曲面分块光滑可定向 其边界SS S为分段光滑的闭曲线 与的方向满足右手螺旋法则 向量值函数 zyxZzyxYzyxXzyx F S 在及上是类 则 SS 1 C SFS kji lFdrotd ZYX zyx d SSS Green Guass Stokes 公式指出了第二类曲面积分 第二类曲线积分与重积分之间的 内在关系 Green Guass Stokes 公式指出了第二类曲面积分 第二类曲线积分与重积分之间的 内在关系 16 2 316 2 3 Green Guass Stokes 公式的其应用 Green Guass Stokes 公式的其应用 1 计算问题 1 计算问题 L dyyxxdxxyxyI 222 422例16 8 例16 8 L为正向 则 9 22 yx 解 我们已用直接法求值 现在我们用 Green 公式来求值 DL dxdyxyxy y yxx x dyyxxdxxyxyI 222222 224422 9 22 yxyxD其中 18922242 D dxdyxxI 1 2 2 2 2 b y a x 例16 9 例16 9 求 其中 L xx dyexdxye 1 L为沿椭圆的上半周由到 0 aA 0 aB BA 解 添加辅助直线 由 Green 公式 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 7 abdxdyeedyexdxye D xx BAL xx 2 1 1 而 adyexdxye BA xx 2 1 aabdyexdxye L xx 2 2 1 故 若曲线本身不封闭 可以通过添加辅助线的方法使其封闭 然后再用 Green 公式简化计算若曲线本身不封闭 可以通过添加辅助线的方法使其封闭 然后再用 Green 公式简化计算 例16 10 例16 10 求 C xdzzdyydx 从正z轴方向看 的正向为反时 钟方向 0 2222 zyx azyx CC 解 解法一 直接计算 做的参数方程 222 222 3 2 2 2 0 2 avu uz vuy vux zyx axyyx 0 2222 zyx azyx C 20 cos 3 2 2 sin 3 cos 2 sin 3 cos 2 t t a z t ta y t ta x C 2 2 0 2 3 3 2 3 1 2 adt a C xdzzdyydx 解法二 利用 Stokes 公式计算 S dS xzy zyx coscoscos dS S coscoscos C xdzzdyydx 2 3coscoscosadS S Szyx dyzdxdxydzdzxdy 222 例16 11 例16 11 计算 是球面 外侧面 S 2222 azyx 解 2 222 43 1 1 2222 adxdydz a dyzdxdxydzdzxdy a zyx dyzdxdxydzdzxdy azyx SS hz 0 222 yxz kjivzyx 例16 12 例16 12 求穿过的流量 3 3hdxdydzdyzdxdxydzdzxdyQ S 解 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 S dydxayzdxdzaxydzdyazxI 232323 例16 13 例16 13 求 是球面 上半球面上侧 S 2222 azyx 2 20 29 a 解 用 Guass 公式 例16 14 例16 14 设连续可微 计算积分 uf dydxz z y f y dxdzy z y f z dzdyx S 333 11 其中为的锥面与球面 围成的 空间区域的边界面的外侧 0 x0 222 xzy1 222 xzy4 222 xzy S 解 由 Guass 公式 5 293 333 3 1 3 1 3 11 223 2 2 2 2 2 333 dxdydzzyx dxdydzz z y f z y z y f z x dydxz z y f y dxdzy z y f z dzdyx S zyxnf z f z y f y x f x 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 8 例16 15 例16 15 设 函 数 满 足 条 件 为 正 整 数 曲 面 与平面 n 0 xyxf 1 SdczbyaxS 2 所围区域为 取外法线作正向 计算 dyzdxdxydzdzxdyI 3 1 rkzj yi xF 解 设 21 000 3 1 3 1 SS dSnFdSnFdSnFI 2 22 0 zyx zyx fff kfjfif rnF 0 222 zyx zyx fff f zf yf x 在曲面上 1 S 222 0 cba kcj bi a rnF z 222222 cba d cba czbyax 在平面上 2 S 21 000 3 1 3 1 SS dSnFdSnFdSnFI 2 222 3 0 S dS cba d SH 3 1 这里 H是原点到平面的距离 是曲面在平面上切下图形的面积 另一方面 由 Gauss 公式有 2 S 1 S 2 S dyzdxdxydzdzxdyI 3 1 dxdydzdxdydz z z y y x x 3 1 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 SH 3 1 即所围体积 L dzyxdyxzdxzyI 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 9 例16 16 例16 16 求 其中为圆周 L xS S xzdxdy edzdxxxyfdydzxxf0 2 1 x x e x e xf其中在一阶连续可导 且 0 xf xf 1lim 0 xf x 求 2 证明题 例16 26 例16 26 设是空间有界闭区域 是其外侧面 函数S zyxvvzyxuu 在 上二 阶连续可微 dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n v uvdxdydzu S 其中证明 2 2 2 2 2 2 z v y v x v v n u 为沿外法向量的方向导数 证明 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 dxdydz z v z u y v y u x v x u vdxdydzu dxdydz z v u zy v u yx v u x dydx z v dxdz y v dzdy x v u dS z v y v x v udS n v u S SS coscoscos 例16 27 例16 27 设是闭域上的调和函数 即满足方程 zyxuu 0 2 2 2 2 2 2 2 z u y u x u uu dS n u rr nr uI 1 cos 2 1 若 求 2222 Rzyx kzj yi xr 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 14 其中 r 是矢径 即 rr n 是 的法线方向 dS dS n u rr nr uI 1 cos 2 2 若 是任一不包含原点作为内点的闭域 求 dS n u rr nr uI 1 cos 2 3 若 是任一包含原点作为内点的闭域 求 4 若 是任一包含点作为内点的闭域 求 0 0 cbaP dS n u rr nr uI 1 cos r 2 其中 是以为起点的矢径 0 P kczjbyiaxr n rr 即 是的法线方向 dS n n n 1 0 r r r 1 0 则有 解 设 Sdr r SdrdSnrdSnrdSnr 1 cos 00000 SdudSnudSnugraddS n u 00 dS r r dSrdSnSd 00 1 若 则此时 2222 Rzyx Rr Sdu r Sdr r uI 11 3 中 在 rdS r udSrr r uSdr r u 3 0 33 111 udS R2 1 首先 dvu R Sdu R Sdu r 111 0 1 2 dvu R 再者 dS n u rr nr uI 1 cos 2 udS R2 1 最后 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 Sdu r Sdr r uI 11 3 2 若 是任一不包含原点作为内点的闭域 则对 可利用 Gauss 公式 0 r r r k z r j y r i x r r r r r r r r r 1111 2 0 23 注意 0 11 3 2 r r rr Sd r uSdr r u 11 3 dv r u 1 首先 dv r u 1 dv r u r u 11 2 dvu r Sdu r 11 dvu r 1 dvu r u r 2 11 再者 dS n u rr nr uI 1 cos 2 dvu r 1 dvu r 1 最后 0 0 0 3 若 是任一包含原点作为内点的闭域 0 在内作以原点为球心半径为 的球 dS n u rr nr uI 1 cos 2 dS n u rr nr udS n u rr nr u 1 cos1 cos 22 dS n u rr nr u 1 cos 0 2 PudS4 1 2 0 0 0 1 lim 2 0 PudSI 其中 P 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 15 4 若 是任一