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电磁场数值计算实验指导书5有限差分法有限差分法是基于差分原理的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上的差分方程组的问题。1.1 二维泊松方程的差分格式图1-1 有限差分的网格分割二维静电场边值问题： (1-1) (1-2)通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为,节点上的电位分别用和表示。设函数在处可微，则沿方向在处的泰勒公式展开为 （1-3）将和分别代入式（13）,得 （1-4） （1-5）由（1-4）-（1-5）得 （1-6）(1-4)+(1-5)得 （1-7）同理 （1-8） （1-9）将式(1-7)、（1-9）代入式（1-1），得到泊松方程的五点差分格式当场域中得到拉普拉斯方程的五点差分格式121.2 边界条件的离散化处理图1-2 边界条件的离散化处理若场域离散为矩形网格(如图2-2示)，差分格式为： (1-10)（1）第一类边界条件:给边界离散节点直接赋已知电位值（2）对称边界条件:合理减小计算场域，差分格式为： (1-11)图1-3 边界条件的离散化处理（3）第二类边界条件:边界线与网格线相重合的差分格式： (1-12)(4)介质分界面衔接条件 的差分格式 (1-13) 其中1.3 差分方程组的求解方法图1-4 高斯赛德尔迭代法(1) 高斯赛德尔迭代法 (1-14)式中： 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。 迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节点电位满足为止。（2）超松弛迭代法 (1-15)式中：加速收敛因子迭代收敛的速度与有明显关系表1-1 迭代收敛的速度与的关系收敛因子（）1.01.71.81.831.851.871.902.0迭代次数（）1000269174143122133171发散最佳收敛因子的经验公式：（正方形场域、正方形网格）（矩形场域、正方形网格） 迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关 迭代收敛的速度与工程精度要求有关 借助计算机进行计算时，其程序框图15所示启动赋边界节点已知电位值赋予场域内各节点电位初始值累计迭代次数N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求所有内点相邻二次迭代值的最大误差是否小于停机打印NY图1-5 迭代解程序框图=V100j练习题1、 按对称场差分格式求解电位的分布已知：给定边值：如图1-7示给定初值误差范围: 图1-7 接地金属槽内半场域的网格剖分计算：1）迭代次数，将计算结果保存到文件中；2）按电位差画出槽中等位线分布图。（选做）2、用有限差分法计算区域内的电位、电场强度，绘制等位线。
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