高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.3 空间图形的基本关系与公理课件 理 北师大版.ppt

8 3空间图形的基本关系与公理 第八章立体几何与空间向量 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 四个公理公理1 如果一条直线上的在一个平面内 那么这条直线在此平面内 公理2 过的三点 有且只有一个平面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们过该点的公共直线 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相 知识梳理 两点 不在一条直线上 有且只有一条 平行 2 异面直线所成的角 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任一点o作直线a a b b 把a 与b 所成的叫作异面直线a与b所成的角 或夹角 范围 2 直线与直线的位置关系 1 位置关系的分类 平行 相交 任何 锐角 或直角 3 直线与平面的位置关系有 三种情况 4 平面与平面的位置关系有 两种情况 5 等角定理空间中如果两个角的 那么这两个角相等或互补 直线在平面内 直线与平面相交 直线与 平面平行 平行 相交 两边分别对应平行 1 唯一性定理 1 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 3 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 4 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2 异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 如果两个不重合的平面 有一条公共直线a 就说平面 相交 并记作 a 2 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于过a点的任意一条直线 3 两个平面abc与dbc相交于线段bc 4 经过两条相交直线 有且只有一个平面 5 没有公共点的两条直线是异面直线 6 若a b是两条直线 是两个平面 且a b 则a b是异面直线 基础自测 1 2 4 5 6 3 题组二教材改编2 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab ad的中点 则异面直线b1c与ef所成角的大小为a 30 b 45 c 60 d 90 1 2 4 5 6 解析 3 答案 解析连接b1d1 d1c 则b1d1 ef 故 d1b1c即为所求的角 又b1d1 b1c d1c b1d1c为等边三角形 d1b1c 60 3 如图 在三棱锥a bcd中 e f g h分别是棱ab bc cd da的中点 则 1 当ac bd满足条件 时 四边形efgh为菱形 2 当ac bd满足条件 时 四边形efgh为正方形 1 2 4 5 6 答案 3 ac bd 解析 解析 四边形efgh为菱形 ef eh 故ac bd 解析 四边形efgh为正方形 ef eh且ef eh ac bd且ac bd 题组三易错自纠4 2017 湖南省湘中名校联考 已知l m n为不同的直线 为不同的平面 则下列判断正确的是a 若m n 则m nb 若m n 则m nc 若 l m m 则m ld 若 m n l m l n 则l 解析 1 2 4 5 6 答案 3 解析a中 m n可能的位置关系为平行 相交 异面 故a错误 b中 m与n也有可能平行 b错误 c中 根据线面平行的性质可知c正确 d中 若m n 根据线面垂直的判定可知d错误 故选c 5 2017 湖北七市联考 设直线m与平面 相交但不垂直 则下列说法中正确的是a 在平面 内有且只有一条直线与直线m垂直b 过直线m有且只有一个平面与平面 垂直c 与直线m垂直的直线不可能与平面 平行d 与直线m平行的平面不可能与平面 垂直 1 2 4 5 6 答案 3 解析 解析对于a 在平面 内有且只有一条直线与直线m垂直 过交点与直线m垂直的直线只有一条 在平面内与此直线平行的直线都与m垂直 不正确 对于b 过直线m有且只有一个平面与平面 垂直 在直线m上取一点作平面 的垂线 两条直线确定一个平面与平面 垂直 正确 对于c 与直线m垂直的直线不可能与平面 平行 不正确 对于d 与直线m平行的平面不可能与平面 垂直 不正确 1 2 4 5 6 3 解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化 则ab cd ef和gh在原正方体中 显然ab与cd ef与gh ab与gh都是异面直线 而ab与ef相交 cd与gh相交 cd与ef平行 故互为异面的直线有且只有3对 6 如图为正方体表面的一种展开图 则图中的四条线段ab cd ef gh在原正方体中互为异面的对数为 解析 1 2 4 5 6 答案 3 3 题型分类深度剖析 典例如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab和aa1的中点 求证 1 e c d1 f四点共面 题型一平面基本性质的应用 师生共研 证明 证明如图 连接ef cd1 a1b e f分别是ab aa1的中点 ef ba1 又a1b d1c ef cd1 e c d1 f四点共面 2 ce d1f da三线共点 证明 证明 ef cd1 ef cd1 ce与d1f必相交 设交点为p 如图所示 则由p ce ce 平面abcd 得p 平面abcd 同理p 平面add1a1 又平面abcd 平面add1a1 da p 直线da ce d1f da三线共点 共面 共线 共点问题的证明 1 证明点或线共面问题的两种方法 首先由所给条件中的部分线 或点 确定一个平面 然后再证其余的线 或点 在这个平面内 将所有条件分为两部分 然后分别确定平面 再证两平面重合 2 证明点共线问题的两种方法 先由两点确定一条直线 再证其他各点都在这条直线上 直接证明这些点都在同一条特定直线上 3 证明线共点问题的常用方法是 先证其中两条直线交于一点 再证其他直线经过该点 跟踪训练 2018 沈阳质检 如图 在空间四边形abcd中 e f分别是ab ad的中点 g h分别在bc cd上 且bg gc dh hc 1 2 1 求证 e f g h四点共面 证明 证明 e f分别为ab ad的中点 ef bd gh bd ef gh e f g h四点共面 2 设eg与fh交于点p 求证 p a c三点共线 证明 证明 eg fh p p eg eg 平面abc p 平面abc 同理p 平面adc p为平面abc与平面adc的公共点 又平面abc 平面adc ac p ac p a c三点共线 典例 1 若直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是a l与l1 l2都不相交b l与l1 l2都相交c l至多与l1 l2中的一条相交d l至少与l1 l2中的一条相交 解析 题型二判断空间两直线的位置关系 师生共研 答案 解析方法一由于l与直线l1 l2分别共面 故直线l与l1 l2要么都不相交 要么至少与l1 l2中的一条相交 若l l1 l l2 则l1 l2 这与l1 l2是异面直线矛盾 故l至少与l1 l2中的一条相交 方法二如图1 l1与l2是异面直线 l1与l平行 l2与l相交 故a b不正确 如图2 l1与l2是异面直线 l1 l2都与l相交 故c不正确 2 2017 唐山一中月考 如图 g h m n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 解析 答案 解析在图 中 直线gh mn 在图 中 g h n三点共面 但m 平面ghn n gh 因此直线gh与mn异面 在图 中 连接gm gm hn 因此gh与mn共面 在图 中 g m n共面 但h 平面gmn g mn 因此gh与mn异面 所以在图 中gh与mn异面 空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决 解析若直线a和直线b相交 则平面 和平面 相交 若平面 和平面 相交 那么直线a和直线b可能平行或异面或相交 故选a 跟踪训练 1 2016 山东 已知直线a b分别在两个不同的平面 内 则 直线a和直线b相交 是 平面 和平面 相交 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 答案 解析 2 已知a b c为三条不重合的直线 已知下列结论 若a b a c 则b c 若a b a c 则b c 若a b b c 则a c 其中正确的个数为a 0b 1c 2d 3 答案 解析在空间中 若a b a c 则b c可能平行 也可能相交 还可能异面 所以 错 显然成立 解析 题型三求两条异面直线所成的角 师生共研 典例 2018 南宁模拟 如图 在底面为正方形 侧棱垂直于底面的四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 2 则异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为 解析 答案 解析连接bc1 易证bc1 ad1 则 a1bc1即为异面直线a1b与ad1所成的角 连接a1c1 由ab 1 aa1 2 ab 1 aa1 t 解答 用平移法求异面直线所成的角的三步法 1 一作 根据定义作平行线 作出异面直线所成的角 2 二证 证明作出的角是异面直线所成的角 3 三求 解三角形 求出所作的角 如果求出的角是锐角或直角 则它就是要求的角 如果求出的角是钝角 则它的补角才是要求的角 跟踪训练 2017 佛山模拟 如图所示 在正三棱柱abc a1b1c1中 d是ac的中点 aa1 ab 1 则异面直线ab1与bd所成的角为 答案 解析 60 解析取a1c1的中点e 连接b1e ed ae 在rt ab1e中 ab1e为异面直线ab1与bd所成的角 故 ab1e 60 典例已知m n是两条不同的直线 为两个不同的平面 有下列四个命题 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n 则m n 其中所有正确的命题是 填序号 构造模型判断空间线面位置关系 思想方法 答案 思想方法指导 解析 思想方法指导本题可通过构造模型法完成 构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型 然后利用模型直观地对问题作出判断 这样减少了抽象性 避免了因考虑不全面而导致解题错误 对于线面 面面平行 垂直的位置关系的判定 可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断 解析借助于长方体模型来解决本题 对于 可以得到平面 互相垂直 如图 1 所示 故 正确 对于 平面 可能垂直 如图 2 所示 故 不正确 对于 平面 可能垂直 如图 3 所示 故 不正确 对于 由m 可得m 因为n 所以过n作平面 且 g 如图 4 所示 所以n与交线g平行 因为m g 所以m n 故 正确 课时作业 1 在下列命题中 不是公理的是a 平行于同一个平面的两个平面相互平行b 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面c 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内d 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析选项a是由公理推证出来的 而公理是不需要证明的 解析 答案 2 2018 佛山模拟 在三棱柱abc a1b1c1中 e f分别为棱aa1 cc1的中点 则在空间中与直线a1b1 ef bc都相交的直线a 不存在b 有且只有两条c 有且只有三条d 有无数条 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析在ef上任意取一点m 直线a1b1与m确定一个平面 这个平面与bc有且仅有1个交点n 当m的位置不同时确定不同的平面 从而与bc有不同的交点n 而直线mn与a1b1 ef bc分别有交点p m n 如图 故有无数条直线与直线a1b1 ef bc都相交 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 2017 济南模拟 a b c是两两不同的三条直线 下面四个命题中 真命题是a 若直线a b异面 b c异面 则a c异面b 若直线a b相交 b c相交 则a c相交c 若a b 则a b与c所成的角相等d 若a b b c 则a c 答案 解析若直线a b异面 b c异面 则a c相交 平行或异面 若a b相交 b c相交 则a c相交 平行或异面 若a b b c 则a c相交 平行或异面 由异面直线所成的角的定义知c正确 故选c 解析 4 2017 福州质检 直三棱柱abc a1b1c1中 若 bac 90 ab ac aa1 则异面直线ba1与ac1所成的角等于a 30 b 45 c 60 d 90 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析如图 延长ca到点d 使得ad ac 连接da1 bd 则四边形ada1c1为平行四边形 所以 da1b就是异面直线ba1与ac1所成的角 又a1d a1b db 所以 a1db为等边三角形 所以 da1b 60 故选c 5 下列命题中 正确的是a 若a b是两条直线 是两个平面 且a b 则a b是异面直线b 若a b是两条直线 且a b 则直线a平行于经过直线b的所有平面c 若直线a与平面 不平行 则此直线与平面内的所有直线都不平行d 若直线a 平面 点p 则平面 内经过点p且与直线a平行的直线有且只有一条 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析对于a 当 a b分别为第三个平面 与 的交线时 由面面平行的性质可知a b 故a错误 对于b 设a b确定的平面为 显然a 故b错误 对于c 当a 时 直线a与平面 内的无数条直线都平行 故c错误 易知d正确 故选d 6 以下四个命题中 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点a b c d共面 点a b c e共面 则点a b c d e共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 正确命题的个数是a 0b 1c 2d 3 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 显然是正确的 中若a b c三点共线 则a b c d e五点不一定共面 中构造长方体 或正方体 如图所示 显然b c异面 故不正确 中空间四边形中四条线段不共面 故只有 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 给出下列命题 其中正确的命题为 填序号 如果线段ab在平面 内 那么直线ab在平面 内 两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点a b c 若三条直线a b c互相平行且分别交直线l于a b c三点 则这四条直线共面 若三条直线两两相交 则这三条直线共面 两组对边相等的四边形是平行四边形 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 2018 广州质检 如图是正四面体 各面均为正三角形 的平面展开图 g h m n分别为de be ef ec的中点 在这个正四面体中 gh与ef平行 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de与mn垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 解析 解析把正四面体的平面展开图还原 如图所示 gh与ef为异面直线 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de mn 答案 9 如图 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上 且ab cd 则直线ef与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4 解析 解析ef与正方体左 右两侧面均平行 所以与ef相交的平面有4个 10 如图 已知圆柱的轴截面abb1a1是正方形 c是圆柱下底面弧ab的中点 c1是圆柱上底面弧a1b1的中点 那么异面直线ac1与bc所成角的正切值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析取圆柱下底面弧ab的另一中点d 连接c1d ad 因为c是圆柱下底面弧ab的中点 所以ad bc 所以直线ac1与ad所成的角即为异面直线ac1与bc所成的角 因为c1是圆柱上底面弧a1b1的中点 所以c1d 圆柱下底面 所以c1d ad 因为圆柱的轴截面abb1a1是正方形 11 2018 石家庄调研 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 o为正方形abcd的中心 h为直线b1d与平面acd1的交点 求证 d1 h o三点共线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明如图 连接bd b1d1 则bd ac o 四边形bb1d1d为平行四边形 又h b1d b1d 平面bb1d1d 则h 平面bb1d1d 平面acd1 平面bb1d1d od1 h od1 即d1 h o三点共线 12 如图所示 等腰直角三角形abc中 a 90 bc da ac da ab 若da 1 且e为da的中点 求异面直线be与cd所成角的余弦值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解如图所示 取ac的中点f 连接ef bf 在 acd中 e f分别是ad ac的中点 ef cd bef或其补角即为异面直线be与cd所成的角 13 2018 长春质检 若空间中四条两两不同的直线l1 l2 l3 l4 满足l1 l2 l2 l3 l3 l4 则下列结论一定正确的是a l1 l4b l1 l4c l1与l4既不垂直也不平行d l1与l4的位置关系不确定 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 记l1 dd1 l2 dc l3 da 若l4 aa1 满足l1 l2 l2 l3 l3 l4 此时l1 l4 可以排除选项a和c 若取c1d为l4 则l1与l4相交 若取ba为l4 则l1与l4异面 若取c1d1为l4 则l1与l4相交且垂直 因此l1与l4的位置关系不能确定 14 2017 郑州质检 如图 在矩形abcd中 ab 2ad e为边ab的中点 将 ade沿直线de翻折成 a1de 若m为线段a1c的中点 则在 ade翻折过程中 下列四个命题中不正确的是 填序号 bm是定值 点m在某个球面上运动 存在某个位置 使de a1c 存在某个位置 使mb 平面a1d