高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.5 垂直关系课件 理 北师大版.ppt

8 5垂直关系 第八章立体几何与空间向量 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 直线与平面垂直 知识梳理 任意 m n o a b 2 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的定义两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 a b 直二面角 2 判定定理与性质定理 垂线 交线 l 重要结论 1 若两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 2 若一条直线垂直于一个平面 则它垂直于这个平面内的任何一条直线 证明线线垂直的一个重要方法 3 垂直于同一条直线的两个平面平行 4 一条直线垂直于两平行平面中的一个 则这条直线与另一个平面也垂直 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 直线l与平面 内的无数条直线都垂直 则l 2 垂直于同一个平面的两平面平行 3 直线a b 则a b 4 若 a 则a 5 若直线a 平面 直线b 则直线a与b垂直 6 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 则 基础自测 1 2 4 5 6 3 题组二教材改编2 下列命题中错误的是a 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 b 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 c 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 平面 d 如果平面 平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 1 2 4 5 6 解析 3 答案 解析对于d 若平面 平面 则平面 内的直线可能不垂直于平面 即与平面 的关系还可以是斜交 平行或在平面 内 其他选项均是正确的 1 2 4 5 6 答案 3 在三棱锥p abc中 点p在平面abc中的射影为点o 1 若pa pb pc 则点o是 abc的 心 3 外 解析 解析如图1 连接oa ob oc op 在rt poa rt pob和rt poc中 pa pc pb 所以oa ob oc 即o为 abc的外心 1 2 4 5 6 答案 2 若pa pb pb pc pc pa 则点o是 abc的 心 3 垂 解析 解析如图2 延长ao bo co分别交bc ac ab于h d g pc pa pb pc pa pb p pc 平面pab 又ab 平面pab pc ab ab po po pc p ab 平面pgc 又cg 平面pgc ab cg 即cg为 abc边ab上的高 同理可证bd ah分别为 abc边ac bc上的高 即o为 abc的垂心 题组三易错自纠4 2017 湖南六校联考 已知m和n是两条不同的直线 和 是两个不重合的平面 下列给出的条件中一定能推出m 的是a 且m b 且m c m n且n d m n且 解析 1 2 4 5 6 答案 3 解析由线面垂直的判定定理 可知c正确 5 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 点o m n分别是线段bd dd1 d1c1的中点 则直线om与ac mn的位置关系是a 与ac mn均垂直b 与ac垂直 与mn不垂直c 与ac不垂直 与mn垂直d 与ac mn均不垂直 1 2 4 5 6 答案 3 解析 解析因为dd1 平面abcd 所以ac dd1 又因为ac bd dd1 bd d 所以ac 平面bdd1b1 因为om 平面bdd1b1 所以om ac 设正方体的棱长为2 1 2 4 5 6 3 所以om2 mn2 on2 所以om mn 故选a 6 如图所示 ab是半圆o的直径 va垂直于半圆o所在的平面 点c是圆周上不同于a b的任意一点 m n分别为va vc的中点 则下列结论正确的是a mn abb 平面vac 平面vbcc mn与bc所成的角为45 d oc 平面vac 解析 1 2 4 5 6 3 解析由题意得bc ac 因为va 平面abc bc 平面abc 所以va bc 因为ac va a 所以bc 平面vac 因为bc 平面vbc 所以平面vac 平面vbc 故选b 答案 题型分类深度剖析 典例如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 证明 1 cd ae 题型一直线与平面垂直的判定与性质 师生共研 证明 证明在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd cd 平面abcd pa cd 又 ac cd pa ac a pa ac 平面pac cd 平面pac 而ae 平面pac cd ae 2 pd 平面abe 证明由pa ab bc abc 60 可得ac pa e是pc的中点 ae pc 由 1 知ae cd 且pc cd c pc cd 平面pcd ae 平面pcd 而pd 平面pcd ae pd pa 底面abcd ab 平面abcd pa ab 又 ab ad 且pa ad a ab 平面pad 而pd 平面pad ab pd 又 ab ae a ab ae 平面abe pd 平面abe 证明 证明线面垂直的常用方法及关键 1 证明直线和平面垂直的常用方法 判定定理 垂直于平面的传递性 a b a b 面面平行的性质 a a 面面垂直的性质 2 证明线面垂直的关键是证线线垂直 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 因此 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 跟踪训练如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 已知ac bc bc cc1 设ab1的中点为d b1c bc1 e 求证 1 de 平面aa1c1c 证明由题意知 e为b1c的中点 又d为ab1的中点 因此de ac 又因为de 平面aa1c1c ac 平面aa1c1c 所以de 平面aa1c1c 证明 证明因为棱柱abc a1b1c1是直三棱柱 所以cc1 平面abc 因为ac 平面abc 所以ac cc1 又因为ac bc cc1 平面bcc1b1 bc 平面bcc1b1 bc cc1 c 所以ac 平面bcc1b1 又因为bc1 平面bcc1b1 所以bc1 ac 因为bc cc1 所以矩形bcc1b1是正方形 因此bc1 b1c 因为ac b1c 平面b1ac ac b1c c 所以bc1 平面b1ac 又因为ab1 平面b1ac 所以bc1 ab1 2 bc1 ab1 证明 典例 2018 开封模拟 如图 在四棱锥p abcd中 ab ac ab pa ab cd ab 2cd e f g m n分别为pb ab bc pd pc的中点 1 求证 ce 平面pad 证明 题型二平面与平面垂直的判定与性质 师生共研 证明方法一取pa的中点h 连接eh dh 因为e为pb的中点 所以eh綊cd 所以四边形dceh是平行四边形 所以ce dh 又dh 平面pad ce 平面pad 所以ce 平面pad 方法二连接cf 因为f为ab的中点 所以af cd 又af cd 所以四边形afcd为平行四边形 因此cf ad 又cf 平面pad ad 平面pad 所以cf 平面pad 因为e f分别为pb ab的中点 所以ef pa 又ef 平面pad pa 平面pad 所以ef 平面pad 因为cf ef f 故平面cef 平面pad 又ce 平面cef 所以ce 平面pad 证明因为e f分别为pb ab的中点 所以ef pa 又因为ab pa 所以ef ab 同理可证ab fg 又因为ef fg f ef fg 平面efg 所以ab 平面efg 又因为m n分别为pd pc的中点 所以mn cd 又ab cd 所以mn ab 所以mn 平面efg 又因为mn 平面emn 所以平面efg 平面emn 2 求证 平面efg 平面emn 证明 1 在本例条件下 证明 平面emn 平面pac 证明因为ab pa ab ac 且pa ac a pa ac 平面pac 所以ab 平面pac 又mn cd cd ab 所以mn ab 所以mn 平面pac 又mn 平面emn 所以平面emn 平面pac 证明 2 在本例条件下 证明 平面efg 平面pac 证明因为e f g分别为pb ab bc的中点 所以ef pa fg ac 又ef 平面pac pa 平面pac 所以ef 平面pac 同理fg 平面pac 又ef fg f 所以平面efg 平面pac 证明 1 判定面面垂直的方法 面面垂直的定义 面面垂直的判定定理 a a 2 在已知平面垂直时 一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线 转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 跟踪训练 2017 南昌模拟 如图 已知在四棱锥p abcd中 底面abcd是边长为4的正方形 pad是正三角形 平面pad 平面abcd e f g分别是pd pc bc的中点 1 求证 平面efg 平面pad 证明因为平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad cd 平面abcd 且cd ad 所以cd 平面pad 又因为在 pcd中 e f分别是pd pc的中点 所以ef cd 所以ef 平面pad 因为ef 平面efg 所以平面efg 平面pad 证明 2 若m是线段cd上一点 求三棱锥m efg的体积 解答 解因为ef cd ef 平面efg cd 平面efg 所以cd 平面efg 因此cd上的点m到平面efg的距离等于点d到平面efg的距离 所以v三棱锥m efg v三棱锥d efg 取ad的中点h 连接gh eh fh 则ef gh 因为ef 平面pad eh 平面pad 所以ef eh 因为平面efg 平面pad 平面efg 平面pad eh ehd是正三角形 所以三棱锥m efg的体积 题型三垂直关系中的探索性问题 师生共研 典例如图所示 平面abcd 平面bce 四边形abcd为矩形 bc ce 点f为ce的中点 1 证明 ae 平面bdf 证明连接ac交bd于点o 连接of 四边形abcd是矩形 o为ac的中点 又f为ec的中点 of ae 又of 平面bdf ae 平面bdf ae 平面bdf 证明 解答 2 点m为cd上任意一点 在线段ae上是否存在点p 使得pm be 若存在 确定点p的位置 并加以证明 若不存在 请说明理由 解当点p为ae的中点时 有pm be 证明如下 取be的中点h 连接dp ph ch p为ae的中点 h为be的中点 ph ab 又ab cd ph cd p h c d四点共面 平面abcd 平面bce 且平面abcd 平面bce bc cd bc cd 平面abcd cd 平面bce 又be 平面bce cd be bc ce 且h为be的中点 ch be 又ch cd c 且ch cd 平面dphc be 平面dphc 又pm 平面dphc pm be 1 对于线面关系中的存在性问题 首先假设存在 然后在该假设条件下 利用线面关系的相关定理 性质进行推理论证 寻找假设满足的条件 若满足则肯定假设 若得出矛盾的结论则否定假设 2 对于探索性问题用向量法比较容易入手 一般先假设存在 设出空间点的坐标 转化为代数方程是否有解的问题 若有解且满足题意则存在 若有解但不满足题意或无解则不存在 跟踪训练如图 在三棱柱abc a1b1c1中 侧棱aa1 底面abc m为棱ac的中点 ab bc ac 2 aa1 1 求证 b1c 平面a1bm 证明连接ab1与a1b 两线交于点o 连接om 在 b1ac中 m o分别为ac ab1的中点 om b1c 又 om 平面a1bm b1c 平面a1bm b1c 平面a1bm 证明 2 求证 ac1 平面a1bm 证明 证明 侧棱aa1 底面abc bm 平面abc aa1 bm 又 m为棱ac的中点 ab bc bm ac aa1 ac a aa1 ac 平面acc1a1 bm 平面acc1a1 bm ac1 ac 2 am 1 ac1c a1ma 即 ac1c c1ac a1ma c1ac 90 a1m ac1 bm a1m m bm a1m 平面a1bm ac1 平面a1bm 3 在棱bb1上是否存在点n 使得平面ac1n 平面aa1c1c 如果存在 求此时的值 如果不存在 请说明理由 解答 平面ac1n 平面aa1c1c 证明如下 设ac1的中点为d 连接dm dn d m分别为ac1 ac的中点 又 n为bb1的中点 dm bn 且dm bn 四边形bndm为平行四边形 bm dn bm 平面acc1a1 dn 平面aa1c1c 又 dn 平面ac1n 平面ac1n 平面aa1c1c 典例 12分 如图所示 m n k分别是正方体abcd a1b1c1d1的棱ab cd c1d1的中点 求证 1 an 平面a1mk 2 平面a1b1c 平面a1mk 立体几何证明问题中的转化思想 思想方法 思想方法指导 规范解答 思想方法指导 1 线面平行 垂直关系的证明问题的指导思想是线线 线面 面面关系的相互转化 交替使用平行 垂直的判定定理和性质定理 2 线线关系是线面关系 面面关系的基础 证明过程中要注意利用平面几何中的结论 如证明平行时常用的中位线 平行线分线段成比例 证明垂直时常用的等腰三角形的中线等 3 证明过程一定要严谨 使用定理时要对照条件 步骤书写要规范 规范解答 证明 1 如图所示 连接nk 在正方体abcd a1b1c1d1中 四边形aa1d1d dd1c1c都为正方形 aa1 dd1 aa1 dd1 c1d1 cd c1d1 cd 2分 n k分别为cd c1d1的中点 dn d1k dn d1k 四边形dd1kn为平行四边形 3分 kn dd1 kn dd1 aa1 kn aa1 kn 四边形aa1kn为平行四边形 an a1k 4分 又 a1k 平面a1mk an 平面a1mk an 平面a1mk 6分 2 如图所示 连接bc1 在正方体abcd a1b1c1d1中 ab c1d1 ab c1d1 m k分别为ab c1d1的中点 bm c1k bm c1k 四边形bc1km为平行四边形 mk bc1 8分 在正方体abcd a1b1c1d1中 a1b1 平面bb1c1c bc1 平面bb1c1c a1b1 bc1 mk bc1 a1b1 mk 四边形bb1c1c为正方形 bc1 b1c 10分 mk b1c a1b1 平面a1b1c b1c 平面a1b1c a1b1 b1c b1 mk 平面a1b1c 又 mk 平面a1mk 平面a1b1c 平面a1mk 12分 课时作业 1 若平面 平面 平面 平面 直线l 则a 垂直于平面 的平面一定平行于平面 b 垂直于直线l的直线一定垂直于平面 c 垂直于平面 的平面一定平行于直线ld 垂直于直线l的平面一定与平面 都垂直 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析对于a 垂直于平面 的平面与平面 平行或相交 故a错误 对于b 垂直于直线l的直线与平面 垂直 斜交 平行或在平面 内 故b错误 对于c 垂直于平面 的平面与直线l平行或相交 故c错误 d正确 解析 答案 2 2017 深圳四校联考 若平面 满足 l p p l 则下列命题中是假命题的为a 过点p垂直于平面 的直线平行于平面 b 过点p垂直于直线l的直线在平面 内c 过点p垂直于平面 的直线在平面 内d 过点p且在平面 内垂直于l的直线必垂直于平面 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由于过点p垂直于平面 的直线必平行于平面 内垂直于交线的直线 因此也平行于平面 因此a正确 过点p垂直于直线l的直线有可能垂直于平面 不一定在平面 内 因此b不正确 根据面面垂直的性质定理 知选项c d正确 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 设 是两个不同的平面 l m是两条不同的直线 且l m a 若l 则 b 若 则l mc 若l 则 d 若 则l m 答案 解析选项a l l a正确 选项b l m l与m的位置关系不确定 选项c l l 或 与 相交 选项d l m 此时 l与m的位置关系不确定 故选a 解析 解析对于选项a 由 且m 可得m 或m与 相交或m 故a不成立 对于选项b 由 且m 可得m 或m 或m与 相交 故b不成立 对于选项c 由m n且n 可得m 故c正确 对于选项d 由m n且n 可得m 或m与 相交或m 故d不成立 故选c 4 2017 中原名校联盟联考 已知m和n是两条不同的直线 和 是两个不重合的平面 下面给出的条件中一定能推出m 的是a 且m b 且m c m n且n d m n且n 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 2018 衡水调研 如图 在正四面体p abc中 d e f分别是ab bc ca的中点 下面四个结论不成立的是a bc 平面pdfb df 平面paec 平面pdf 平面paed 平面pde 平面abc 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析因为bc df df 平面pdf bc 平面pdf 所以bc 平面pdf 故选项a正确 在正四面体中 ae bc pe bc ae pe e 且ae pe 平面pae 所以bc 平面pae 因为df bc 所以df 平面pae 又df 平面pdf 从而平面pdf 平面pae 因此选项b c均正确 6 如图所示 直线pa垂直于 o所在的平面 abc内接于 o 且ab为 o的直径 点m为线段pb的中点 现有结论 bc pc om 平面apc 点b到平面pac的距离等于线段bc的长 其中正确的是a b c d 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析对于 pa 平面abc pa bc ab为 o的直径 bc ac ac pa a bc 平面pac 又pc 平面pac bc pc 对于 点m为线段pb的中点 om pa pa 平面pac om 平面pac om 平面pac 对于 由 知bc 平面pac 线段bc的长即是点b到平面pac的距离 故 都正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 如图 已知pa 平面abc bc ac 则图中直角三角形的个数为 答案 4 解析 pa 平面abc ab ac bc 平面abc pa ab pa ac pa bc 则 pab pac为直角三角形 由bc ac 且ac pa a 得bc 平面pac 从而bc pc 因此 abc pbc也是直角三角形 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 2018 洛阳模拟 如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd 且底面各边都相等 m是pc上的一动点 当点m满足 时 平面mbd 平面pcd 只要填写一个你认为正确的条件即可 解析 解析 pa 底面abcd bd pa 连接ac 则bd ac 且pa ac a bd 平面pac bd pc 当dm pc 或bm pc 时 即有pc 平面mbd 而pc 平面pcd 平面mbd 平面pcd 答案 dm pc 或bm pc等 9 如图 bac 90 pc 平面abc 则在 abc和 pac的边所在的直线中 与pc垂直的直线有 与ap垂直的直线有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ab bc ac ab 解析 解析 pc 平面abc pc垂直于直线ab bc ac ab ac ab pc ac pc c ab 平面pac 与ap垂直的直线是ab 10 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 侧棱长为2 ac bc 1 acb 90 d是a1b1的中点 f是bb1上的动点 ab1 df交于点e 要使ab1 平面c1df 则线段b1f的长为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析设b1f x 因为ab1 平面c1df df 平面c1df 所以ab1 df 11 如图1 四边形abcd为等腰梯形 ab 2 ad dc cb 1 将 adc沿ac折起 使得平面adc 平面abc e为ab的中点 连接de db 如图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 1 求证 bc ad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明作ch ab于点h ac bc 平面adc 平面abc 且平面adc 平面abc ac bc 平面abc bc 平面adc 又ad 平面adc bc ad 2 求点e到平面bcd的距离 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 e为ab的中点 点e到平面bcd的距离等于点a到平面bcd距离的一半 而平面adc 平面bcd 过a作aq cd于q 又 平面adc 平面bcd cd 且aq 平面adc aq 平面bcd aq就是点a到平面bcd的距离 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明由题意可知abm dcp是底面为直角三角形的直棱柱 ad 平面mab ad ma 又ma ab ad ab a ad ab 平面abcd ma 平面abcd ma bd 又ab ad 四边形abcd为正方形 bd ac 又ma ac a ma ac 平面mac bd 平面mac 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解设刍童abcd a1b1c1d1的高为h 13 2018届南宁市联考 如图 在正方形abcd中 e f分别是bc cd的中点 g是ef的中点 现在沿ae af及ef把这个正方形折成一个空间图形 使b c d三点重合 重合后的点记为h 下列说法错误的是 填序号 ag efh所在平面 ah efh所在平面 hf aef所在平面 hg aef所在平面 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析折之前ag ef cg ef 折之后也垂直 所以ef 平面ahg 折之前 b d c均为直角 折之后三点重合 所以折之后ah eh fh三条直线两两垂直 所以ah efh所在平面 对 同时可知ah hg 又hf aeh所在平面 过ae不可能做两个平面与直线hf垂直 错 如果hg aef所在平面 则有hg ag 与 中ah hg矛盾 错 若ag efh所在平面 则有ag hg 与 中ah hg矛盾 所以 也错 14 如图 pa 圆o所在的平面 ab是圆o的直径 c是圆o上的一点 e f分别是点a在pb pc上的射影 给出下列结论 af pb ef pb af bc ae 平面pbc 其中正确结论的序号是 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意知pa 平面abc pa bc 又ac bc 且pa ac a pa ac 平面pac bc 平面pac bc af af pc 且bc pc c bc pc 平面pbc af 平面pbc af pb 又ae pb ae af a ae af 平面aef pb 平面aef pb ef 故 正确 15 2017 兰