江苏省运河中学高三数学上学期第一次诊断考试试题.doc

江苏省运河中学2015-2016学年度高三第一次诊断考试数学试题（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（每小题5分，计70分）1已知集合 a=0，1，2，3，b=2，3，4，5，则 ab中元素的个数为 . 2已知复数满足（为虚数单位），则的模为 .3已知命题，若命题是真命题，则实数的取值范围是 4.在平面直角坐标系中，已知向量a = (1，2)，(3，1)，则 .5函数的最小正周期为 .6已知直线：和：，则的充要条件是 7已知为锐角，则 8在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，若，则角a的大小为 .9在中,则以为焦点且过点的椭圆的离心率为 .10.如图，四边形abcd是边长为1的菱形， e是bc的中点，则 11.已知点关于直线的对称点为,则圆关于直线对称的圆的方程为 .12已知，若实数满足，则的最小值是 .13. 已知曲线存在垂直于轴的切线，函数在上单调递增，则的范围为 14已知函数是定义域为上的偶函数，当时，若关于的方程有且仅有8个不同实数根，则实数的取值范围是 . 二、解答题（共6道题，计90分）15（本题满分14分）已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|ab|=2（1）求ab的值；（2）求|a+b|的值16. （本题满分14分）已知函数（1）求的值；（2）求的最大值及相应的值17（本题满分15分）已知命题:关于实数的方程有两个不等的负根；命题:关于实数的方程无实根（1） 命题“或”真，“且”假，求实数的取值范围（2） 若关于的不等式的解集为m；命题为真命题时，的取值集合为n当时，求实数的取值范围18（本题满分15分）给定椭圆c：1(ab0)，称圆c1：x2y2a2b2为椭圆c的“伴随圆”已知椭圆c的离心率为，且经过点(0，1)（1）求实数a，b的值；（2）若过点p(0，m)(m0)的直线l与椭圆c有且只有一个公共点，且l被椭圆c的伴随圆c1所截得的弦长为2，求实数m的值19（本题满分16分）右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形abcd，上部是圆弧ab，该圆弧所在圆的圆心为o为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗efgh(其中e，f在圆弧ab上， g，h在弦ab上)过o作opab，交ab于m，交ef于n，交圆弧ab于p已知op10，mp6.5（单位：m），记通风窗efgh的面积为s（单位：m2） （1）按下列要求建立函数关系式：(i)设pof (rad)，将s表示成的函数；ebgandmcfohp(第19题图)(ii)设mnx (m)，将s表示成x的函数； （2）试问通风窗的高度mn为多少时，通风窗efgh的面积s最大？20（本题满分16分）设是定义在上的奇函数，函数与的图象关于轴对称，且当时，（1）求函数的解析式；（2）若对于区间上任意的，都有成立，求实数的取值范围江苏省运河中学2015-2016学年度高三第一次诊断考试数学答题纸一、填空题：本大题共14小题，共计70分1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8_ 9 _ 10_ 11_ 12_ 13_ 14_二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）16（本小题满分14分）17. （本小题满分15分）18. （本小题满分15分）19（本小题满分16分）20（本小题满分16分）江苏省运河中学2015-2016学年度高三第一次诊断考试数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21【选做题】本题包括a，b，c，d共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）abcoefd 如图，o是等腰三角形abc的外接圆，ab=ac，延长bc到点d，使cdac，连接ad交o于点e，连接be与ac交于点f （1）判断be是否平分abc，并说明理由； （2）若ae=6，be=8，求ef的长b选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵a，若矩阵a属于特征值6的一个特征向量为1，属于特征值1的一个特征向量为2求矩阵a，并写出a的逆矩阵c选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.d选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设x， y，z为正数，证明：【必做题】（第22、23题每题10分共20分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）某部队进行射击训练，每个学员最多只能射击4次，学员如果2次命中目标，那么就不再进行射击，假设某学员每次命中的概率都是，每次射击互相独立 （1）求该学员在前两次射击中至少有一次命中的概率； （2）记该学员射击的次数为，求的分布列及的数学期望23（本小题满分10分）b c d a 1 a b 1c 1d 1e f 如图，在长方体abcda1b1c1d1中，已知ab4，ad3，aa12e、f分别是线段ab、bc上的点，且ebfb1 （1）求直线ec1与fd1所成角的余弦值； （2）求二面角cdec1的平面角的正切值江苏省运河中学2015-2016学年度高三第一次诊断考试数学附加题（答题纸）（满分40分，考试时间30分钟）21【选做题】本题包括a，b，c，d共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤abcoefda选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分） b选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） c选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）d选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）【必做题】（第22、23题每题10分共20分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）23（本小题满分10分）b c d a 1 a b 1c 1d 1e f 江苏省运河中学2015-2016学年度高三第一次诊断考试数学试题答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1、6 2、1-i 3、 4、0 5、 6、 7、 8、 9、 10、1 11、 12、713、 14.二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15解：（1）由|ab|=2，得|ab|a2abbab， ab （2）|a+b|aabb， |a+b| 14分16、（1） 2分6分（1） 10分，12分 当时，此时，即，14分17、解： （1）若方程有两不等的负根，则 解得即命题:，若方程无实根，则16(m2)21616(m24m3)0解得：1m3.即命题:1m3.由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真. 解得：m3或1m2. （2）（2） ，解得：18、解：（1）记椭圆c的半焦距为c由题意，得b1，c2a2b2，解得a2，b1 4分（2）由（1）知，椭圆c的方程为y21，圆c1的方程为x2y25显然直线l的斜率存在设直线l的方程为ykxm，即kxym0 6分因为直线l与椭圆c有且只有一个公共点，故方程组 （*） 有且只有一组解由（*）得(14k2)x28kmx4m240从而(8km)24(14k2)( 4m24)0化简，得m214k2 10分因为直线l被圆x2y25所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d即 14分由，解得k22，m29 因为m0，所以m3 16分19、解：（1）由题意知，ofop10，mp6.5，故om3.5(i)在rtonf中，nfofsin10sin，onofcos10cos在矩形efgh中，ef2mf20sin，fgonom10cos3.5，故seffg20sin(10cos3.5)10sin(20cos7)即所求函数关系是s10sin(20cos7)，00，其中cos0 4分(ii)因为mnx，om3.5，所以onx3.5在rtonf中，nf在矩形efgh中，ef2nf，fgmnx，故seffgx即所求函数关系是sx，0x6.5 8分（2）方法一：选择(i)中的函数模型：令f()sin(20cos7)，则f ()cos(20cos7)sin(20sin)40cos27cos20 10分由f ()40cos27cos200，解得cos，或cos 因为00，所以coscos0，所以cos 设cos，且为锐角，则当(0，)时，f ()0 ，f()是增函数；当(，0)时，f ()0 ，f()是减函数， 所以当，即cos时，f()取到最大值，此时s有最大值即mn10cos3.54.5m时，通风窗的面积最大 16分方法二：选择(ii)中的函数模型：因为s ，令f(x)x2(35128x4x2)，则f (x)2x(2x9)(4x39) 10分 因为当0x时 ，f (x)0，f(x)单调递增，当x时，f (x)0，f (x)单调递减， 所以当x时，f(x)取到最大值，此时s有最大值 即mnx4.5m时，通风窗的面积最大 16分20、解：（1） 的图象与的图象关于y轴对称， 的图象上任意一点关于轴对称的对称点在的图象上当时，则2分为上的奇函数，则4分当时，6分 7分（1）由已知，若在恒成立，则此时，在上单调递减， 的值域为与矛盾11分当时，令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 由，得15分综上所述，实数的取值范围为 16分江苏省运河中学2015-2016学年度高三第一次诊断考试数学试题附加题答案21 a.be平分abc. 1分cdac，d=cad. abac，abc=acbebc=cad，ebc=d=cad. 4分abc=abe+ebc，acb=d+cad，abe=ebc，即be平分abc. 6分由知cad=ebc =abe. aef=aeb，aefbea. 8分，ae=6， be=8.ef=. 10分21b、解：由矩阵a属于特征值6的一个特征向量为1可得， 6，即cd6； 3分由矩阵a属于特征值1的一个特征向量为2，可得 ，即3c2d2， 6分解得即a， 8分a逆矩阵是21c解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，即，它表示以为圆心，2为半径的圆，4分直线方程的普通方程为，6分圆c的圆心到直线l的距离，8分故直线被曲线截得的线段长度为 10分21d因为所以 4分同理, 6分三式相加即可得又因为所以 10分22（1）记“该学员在前两次射击中至少有一次命中”的事件为事件a，则 p(a)= 3分答：该学员在前两次射击中至少有一次命中的概率为 4分（2）学员射击次数的可能取值为2，3，4，且，234p 故的分布列为： 7分的数学期望为： 10分z y x b c d a 1