广东省揭阳一中、金山中学高考数学联考试卷 理（含解析）.doc

广东省揭阳一中、金山中学2015届高考数学联考试卷（理科） 一选择题（本大题共8个小题；每小题5分，共40分）1（5分）已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m（1+i）=11+ni，则=（）aibic1+id1i2（5分）已知|=，|+|=，则=（）a1b2c3d53（5分）数列an满足an+1=，若a1=，则a2015=（）abcd4（5分）已知某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）ab4cd65（5分）甲、乙两所学校2015届高三级某学年10次联合考试的理科数学成绩平均分用茎叶图如图所示，则甲乙两所学校的平均分及方差s2的大小关系为（）a，s甲2s乙2b，s甲2s乙2c，s甲2s乙2d，s甲2s乙26（5分）如图，矩形oabc内的阴影部分是由曲线f（x）=sinx（x（0，）及直线x=a（a（0，）与x轴围成，向矩形oabc内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是（）abcd7（5分）下列命题中正确命题的个数是（）“数列an既是等差数列，又是等比数列”的充要条件是“数列an是常数列”；不等式|x1|+|y1|1表示的平面区域是一个菱形及其内部；f（x）是（，0）（0，+）上的奇函数，x0时的解析式是f（x）=2x，则x0时的解析式为f（x）=2x；若两个非零向量、共线，则存在两个非零实数、，使+=a4b3c2d18（5分）定义在，则输出的s的最大值与最小值的差为13（5分）抛物线y2=4x的焦点为f，过点n（3，0）的直线与抛物线相交于a，b两点，与抛物线的准线相交于c，|bf|=3，则bcf与acf的面积之比为（二）选做题（考生只能选做一题）14（5分）极坐标系中，圆2+2sin=3的圆心到直线sin+cos1=0的距离是15如图，圆o的直径ab=8，c为圆周上一点，bc=4，过c作圆的切线l，过点a作直线l的垂线ad，d为垂足，ad与圆o交于点e，则线段de的长度为三解答题16（12分）设函数f（x）=cos（2x）2sinxcosx（）求f（x）的最小正周期，并指出由f（x）的图象如何变换得到函数y=cos2x的图象；（）abc中角a，b，c的对边分别为a，b，c，若f（a）=，b+c=2，求a的最小值17（12分）已知某校的数学专业开设了a，b，c，d四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门（）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；（）若甲和乙要选同一门课，求选修课a被这3名学生选修的人数x的分布列和数学期望18（14分）在如图所示的多面体abcde中，ab平面acd，de平面acd，ac=ad=cd=de=2，ab=1（） 请在线段ce上找到点f的位置，使得恰有直线bf平面acd，并证明；（）在（）的条件下，求二面角fbea的正弦值19（14分）设数列an是公比为正数的等比数列，a1=2，a3a2=12，数列bn满足：bn=log3+log3an（）求数列an的通项公式；（）求数列bn的前n项和sn；（）数列cn满足：cn=，求证：c1+c2+cn20（14分）已知点p是椭圆+y2=1上的任意一点，f1，f2是它的两个焦点，o为坐标原点，动点q满足=+（）求动点q的轨迹e的方程；（）若与坐标轴不垂直的直线l交轨迹e于a，b两点且oaob，求三角形oab面积s的取值范围21（14分）已知函数f（x）=xg（x）=2ln（x+m），（）当m=0时，存在x0（e为自然对数的底数），使x0f（x0）g（x0），求实数a的取值范围；（）当a=m=1时，（1）求最大正整数n，使得对任意n+1个实数xi（i=1，2，n+1），当xi（e为自然对数的底数）时，都有f（xi）2015g（xn+1）成立；（2）设h（x）=xf（x）+g（x），在h（x）的图象上是否存在不同的两点a（x1，y1），b（x2，y2）（x1x21），使得h（x1）h（x2）=h（）（x1x2）广东省揭阳一中、金山中学2015届高考数学联考试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共8个小题；每小题5分，共40分）1（5分）已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m（1+i）=11+ni，则=（）aibic1+id1i考点：复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由复数相等的条件求出m，n的值，代入后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案解答：解：由m（1+i）=11+ni，得m=n=11，=故选：a点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题2（5分）已知|=，|+|=，则=（）a1b2c3d5考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，再运用完全平方公式，两式相减即可得到所求值解答：解：由|=，|+|=，则（）2=6，（+）2=10，即2+=6，+2+=10，上面两式相减可得=1故选：a点评：本题考查向量数量积的性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题3（5分）数列an满足an+1=，若a1=，则a2015=（）abcd考点：数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：根据数列的递推关系得到数列为周期数列即可得到结论解答：解：由递推数列可得，a1=，a2=2a11=21=，a3=2a21=21=，a4=2a3=2=，a5=2a4=2=，a5=a1，即an+4=an，则数列an是周期为4的周期数列，则a2015=a5034+3=a3=，故选：a点评：本题主要考查递推数列的应用，根据递推关系得到数列an是周期为4的周期数列是解决本题的关键4（5分）已知某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）ab4cd6考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据四棱台的三视图，得出该四棱台的结构特征是什么，由此计算它的体积即可解答：解：根据四棱台的三视图，得：该四棱台是上、下底面为正方形，高为2的直四棱台，且下底面正四边形的边长为2，上底面正四边形的边长为1；该四棱台的体积为v四棱台=（12+22）2=故选：c点评：本题利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，是基础题目5（5分）甲、乙两所学校2015届高三级某学年10次联合考试的理科数学成绩平均分用茎叶图如图所示，则甲乙两所学校的平均分及方差s2的大小关系为（）a，s甲2s乙2b，s甲2s乙2c，s甲2s乙2d，s甲2s乙2考点：茎叶图 专题：概率与统计分析：根据茎叶图中数据的分布情况，结合平均数与方差的概念，即可得出正确的结论解答：解：根据茎叶图中的数据，得；甲学校数学成绩多分布在8199之间，乙学校数学成绩多分布在9096之间，甲的平均数应大于乙的平均数；又甲学校数学成绩更分散些，乙学校数学成绩更集中些，甲的方差应大于乙的方差；即，故选：d点评：本题利用茎叶图考查了数据的平均数与方差的估算问题，若需精确计算，用平均数与方差的公式计算即可，是基础题目6（5分）如图，矩形oabc内的阴影部分是由曲线f（x）=sinx（x（0，）及直线x=a（a（0，）与x轴围成，向矩形oabc内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是（）abcd考点：几何概型 专题：计算题分析：由题意可得，是与面积有关的几何概率，分别求出构成试验的全部区域是矩形oacb的面积，构成事件 a的区域即为阴影部分面积为0asinxdx=cosx|0a=1cosa，代入几何概率的计算公式可求解答：解：由题意可得，是与面积有关的几何概率构成试验的全部区域是矩形oacb，面积为：a记“向矩形oabc内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件a，则构成事件 a的区域即为阴影部分面积为0asinxdx=cosx|0a=1cosa由几何概率的计算公式可得p（a）= a=故选b点评：本题是与面积有关的几何概率的计算，求解需要分别计算矩形的面积及阴影部分的面积，考查了利用积分计算不规则图象的面积7（5分）下列命题中正确命题的个数是（）“数列an既是等差数列，又是等比数列”的充要条件是“数列an是常数列”；不等式|x1|+|y1|1表示的平面区域是一个菱形及其内部；f（x）是（，0）（0，+）上的奇函数，x0时的解析式是f（x）=2x，则x0时的解析式为f（x）=2x；若两个非零向量、共线，则存在两个非零实数、，使+=a4b3c2d1考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：不正确，举例：常数列：0，0，0，0，是等差数列，但是不是等比数列；不等式|x1|+|y1|1表示的平面区域如图所示，即可判断出正误；利用奇函数的定义及其性质，即可判断出正误；利用向量共线定理，即可判断出正误解答：解：不正确，举例：常数列：0，0，0，0，是等差数列，但是不是等比数列，因此数列an既是等差数列，又是等比数列”的必要不充分条件是“数列an是常数列”；不等式|x1|+|y1|1表示的平面区域如图所示：是一个菱形及其内部，正确；f（x）是（，0）（0，+）上的奇函数，x0时的解析式是f（x）=2x，则x0时，x0，f（x）=f（x）=2x，因此正确；若两个非零向量、共线，则存在两个非零实数、，使+=，正确点评：本题考查了等差数列与等比数列的性质、不等式|x1|+|y1|1表示的平面区域、奇函数的定义及其性质、向量共线定理、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）定义在点评：本题考查了，分段函数的最值，运用了化归思想，属于中档题二填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）（一）必做题（913题）9（5分）函数y=lg的定义域为集合a，集合b=（a，a+1）若ba，则实数a的取值范围为考点：集合的包含关系判断及应用；对数函数的定义域 专题：计算题；函数的性质及应用；集合分析：解0求函数的定义域，从而确定集合a，再由ba可得1aa+11，从而解得解答：解：由0解得，1x1；故a=（1，1）；故（a，a+1）（1，1）；故1aa+11；解得，1a0；故答案为：点评：本题考查了函数的定义域的求法及集合的求法，属于基础题10（5分）在（1+x）+（1+x）2+（1+x）6的展开式中含x2项的系数为35；（用数字作答）考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：由条件利用二项展开式的通项公式可得含x2项的系数为+，再利用二项式系数的性质求得结果解答：解：（1+x）+（1+x）2+（1+x）6的展开式中含x2项的系数为+=35，故答案为：35点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题11（5分）观察式子：1+，1+，1+，则可归纳出式子为1+，（n2）考点：归纳推理 专题：综合题；压轴题分析：根据题意，由每个不等式的左边的最后一项的通项公式，以及右边式子的通项公式，可得答案解答：解：根据题意，1+，1+，1+，第n个式子的左边应该是：，右边应该是：，并且n满足不小于2所以第n个式子为：1+，（n2）故答案为：1+，（n2）点评：本题考查了归纳推理，培养学生分析问题的能力归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）12（5分）定义某种运算，ab的运算原理如图所示，设s=1x，x，则输出的s的最大值与最小值的差为2考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，可得答案解答：解：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量s的值，由程序构图可得：ab=，s=1x=，故当x=2时，s取最大值2，当x=0时，s取最小值0，故s的最大值与最小值的差为2，故答案为：2点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题13（5分）抛物线y2=4x的焦点为f，过点n（3，0）的直线与抛物线相交于a，b两点，与抛物线的准线相交于c，|bf|=3，则bcf与acf的面积之比为考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：如图所示，f（1，0），设a（x1，y1），b（x2，y2）由|bf|=3，可得x2+1=3，解得x2，代入抛物线方程可得y2直线ab的方程为：，与抛物线方程联立可得x1利用bcf与acf的面积之比=即可得出解答：解：如图所示，f（1，0），设a（x1，y1），b（x2，y2）由|bf|=3，可得x2+1=3，解得x2=2，代入抛物线方程可得：=42，y20，解得y2=2b直线ab的方程为：，化为联立，化为2x213x+18=0，x1x2=9，解得x1=bcf与acf的面积之比=故答案为：点评：本题考查了抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（二）选做题（考生只能选做一题）14（5分）极坐标系中，圆2+2sin=3的圆心到直线sin+cos1=0的距离是考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出解答：解：圆2+2sin=3化为x2+y2+2y=3，配方为x2+（y+1）2=4，可得圆心c（0，1）直线sin+cos1=0化为x+y1=0，圆心到直线sin+cos1=0的距离d=故答案为：点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，属于基础题15如图，圆o的直径ab=8，c为圆周上一点，bc=4，过c作圆的切线l，过点a作直线l的垂线ad，d为垂足，ad与圆o交于点e，则线段de的长度为2考点：与圆有关的比例线段 专题：立体几何分析：连接be，oc，ocbe=f，证明四边形efcd是矩形，obc是等边三角形，即可得出结论解答：解：连接be，oc，ocbe=f，则ocl，adl，adoc，ab是圆o的直径，adbe，adl，lbe，四边形efcd是矩形，de=cf，圆o的直径ab=8，bc=4，obc是等边三角形，cf=2，de=2，故答案为：2点评：本题考查圆的切线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题三解答题16（12分）设函数f（x）=cos（2x）2sinxcosx（）求f（x）的最小正周期，并指出由f（x）的图象如何变换得到函数y=cos2x的图象；（）abc中角a，b，c的对边分别为a，b，c，若f（a）=，b+c=2，求a的最小值考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质；解三角形分析：（i）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=cos（2x+），根据周期公式即可求f（x）的最小正周期t根据正弦函数的平移规律可得y=cos（2x+）的图象向右平移个单位长度得到函数y=cos2x（ii）由已知及（i）可得cos（2a）=，由a（0，），可得a，由b+c=2及余弦定理，得a2=43bc，又bc（）2=1即可求得a的最小值解答：解：（i）f（x）=cos2x+sin2xsin2x=cos2xsin2x=cos（2x+）（3分）f（x）的最小正周期t=，（4分）由y=cos（2x+）的图象向右平移个单位长度得到函数y=cos2x；（6分）（ii）由f（a）=cos（2a）=，a（0，），可得a=（8分）由b+c=2及余弦定理，得a2=b2+c22bccos=（b+c）23bc=43bc，（10分）又bc（）2=1仅当b=c=1时bc取最大值，此时a取最小值1（12分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象，基本不等式的应用，属于基本知识的考查17（12分）已知某校的数学专业开设了a，b，c，d四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门（）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；（）若甲和乙要选同一门课，求选修课a被这3名学生选修的人数x的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（）根据古典概型的概率公式即可求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；（）求出随机变量的概率，即可求出对应的分布列和期望解答：解：（i） 3名学生选择的选修课所有不同选法有43=64种； （2分）各人互不相同的选法有种，互不相同的概率：； （4分）（ii） 选修课a被这3名学生选修的人数x：0，1，2，3，（5分）p（x=0）=，p（x=1）= p（x=2）=，p（x=3）=，（9分）所以x的分布列为x0123p（10分）数学期望ex=0+1+2+3=（12分）点评：本题主要考查古典概率的计算以及随机变量的分布列和期望的计算，考查学生的计算能力18（14分）在如图所示的多面体abcde中，ab平面acd，de平面acd，ac=ad=cd=de=2，ab=1（） 请在线段ce上找到点f的位置，使得恰有直线bf平面acd，并证明；（）在（）的条件下，求二面角fbea的正弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用分析：以d点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和z轴的正半轴分别经过点a和点e，则各点的坐标为d（0，0，0），a（2，0，0），e（0，0，2），b（2，0，1），c（i）点f应是线段ce的中点设f是线段ce的中点，则点f的坐标为，=，可得与平面xoy平行，即可证明（ii） 设平面bce的法向量为=（x，y，z），由，可得，而平面aeb的一个法向量为=（0，1，0），利用=，设二面角fbea的平面角为，则sin=解答：解：以d点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和z轴的正半轴分别经过点a和点e，则各点的坐标为d（0，0，0），a（2，0，0），e（0，0，2），b（2，0，1），c（i）点f应是线段ce的中点，下面证明：设f是线段ce的中点，则点f的坐标为，=，与平面xoy平行，又bf平面acd，bf平面acd（ii） 设平面bce的法向量为=（x，y，z），=，=则，不妨设y=，解得x=1，z=2，即=，而平面aeb的一个法向量为=（0，1，0），=，设二面角fbea的平面角为，则sin=所求角的正弦值为点评：本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力19（14分）设数列an是公比为正数的等比数列，a1=2，a3a2=12，数列bn满足：bn=log3+log3an（）求数列an的通项公式；（）求数列bn的前n项和sn；（）数列cn满足：cn=，求证：c1+c2+cn考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（）设出数列an的公比为q，由已知列式求出公比，则数列an的通项公式可求； （）把数列an的通项公式代入，化简后可得数列bn是等差数列，利用等差数列的前n项和求得答案； （）由（）（）有，放缩得到，利用等比数列求和后证得答案解答：（）解：设数列an的公比为q，由a1=2，a3a1=12，得2q22q12=0，即q2q6=0 解得q=3或q=2，q0，q=2不合舍去，； （）解：由，得=，数列bn是首项b1=1，公差d=2的等差数列，； （）证明：由（）（）有，n1时，3n11，3n123n1，则=原不等式成立点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题20（14分）已知点p是椭圆+y2=1上的任意一点，f1，f2是它的两个焦点，o为坐标原点，动点q满足=+（）求动点q的轨迹e的方程；（）若与坐标轴不垂直的直线l交轨迹e于a，b两点且oaob，求三角形oab面积s的取值范围考点：轨迹方程；椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（i）设q（x，y），动点q满足=+又，可得p点的坐标，代入椭圆方程即可得出；（ii）当oa斜率不存在或为零时，直接计算即可；当oa斜率存在且不为零时，设oa：y=kx（k0），代入椭圆方程可得a点坐标，可得|oa|2=，利用oaob，可得|ob|2，利用s2=|oa|2|ob|2=，再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：（i）动点q满足=+又，设q（x，y），则=（x，y）=点p在椭圆上，则，即（ii） 当oa斜率不存在或为零时，s=2，当oa斜率存在且不为零时，设oa：y=kx（k0），代入x2+2y2=8，得，|oa|2=x2+y2=，oaob，以代换k，同理可得，s2=|oa|2|ob|2=8=8，=4，当且仅当k=1时等号成立而k=1时，ab与x轴或y轴垂直，不合题意（4，+），因此三角形oab面积s的取值范围为点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点坐标、向量垂直与数量积的关系、向量的坐标运算及其平行四边形法则、基本不等式的性质，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（14分）已知函数f（x）=