八年级数学下册 18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形 正方形的性质课件 （新版）新人教版.ppt

18 2 3正方形的性质 1 正方形 正方形 有一个角是直角 创设情景一 正方形是特殊的菱形 问题 图中cd在平移时 这个图形始终是怎样的图形 当cd移动到c d 位置 此时ad ab 四边形abcd还是矩形吗 a b 正方形是特殊的矩形 两组互相垂直的平行线围成矩形abcd 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 一 正方形的定义 的菱形是正方形 的矩形是正方形 由正方形的定义可知 有一个角是直角 有一组邻边相等 四边形平行四边形矩形菱形正方形 完成下图 特殊的平行四边形特殊的矩形特殊的菱形 二 正方形的性质 四条边都相等且对边平行 两条对角线互相垂直平分且相等 并且每一条对角线平分一组对角 四个角都是直角 1 边 2 角 3 对角线 a b c d 4 既是轴对称图形也是中心对称图形 有四条对称轴 对称性 特征 正方形是中心对称图形 对称中心为点o 它也是轴对称图形 有4条对称轴 1 它具有平行四边形的一切性质 两组对边分别平行且相等 两组对角相等 对角线互相平分 2 具有矩形的一切性质 四个角都是直角 对角线相等 3 具有菱形的一切性质 四条边相等 对角线互相垂直 每条对角线平分一组对角 a b c d 归纳 例4 求证 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形 第一步 根据题意画出图形第二步 写出已知第三步 写出求证第四步 进行证明 这是一道文字证明题 该怎么做 你会做吗 已知 如图 四边形abcd是正方形 对角线ac bd相交于点o 求证 abo bco cdo dao是全等的等腰直角三角形 证明 四边形abcd是正方形 ac bd ac bd ao bo co do abo bco cdo dao都是等腰直角三角形 并且 abo bco cdo dao 分析 利用正方形的性质 对角线互相垂直平分且相等 每条对角线平分一组对角 平分可以产生线段等量关系 垂直可以产生直角 于是可以得到四个全等的等腰直角三角形 1 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 a 四个角相等 b 对角线互相垂直平分c 对角互补 d 对角线相等 2 正方形具有而菱形不一定具有的性质 a 四条边相等 b 对角线互相垂直平分 c 对角线平分一组对角 d 对角线相等 b d 尝试练习 4 36 24 2 30 7 15 9 正方形abcd中 m为ad中点 me bd于e mf ac于f 若me mf 8cm 则ac 16cm 5 10 如图 正方形opqr的一个顶点o是边长为2的正方形abcd对角线ac与bd的交点 则两正方形重合部分的面积是多少 e f 证 d0e c0f asa 1 11 已知 如图 正方形abcd的对角线相交于点o m n在ob和oc上 且mn bc 连结dn mc 试猜想dn与mc有什么关系 并证明你的猜想 又 mn ab omn 1 bco onm 45 om on 1 2 证明 四边形abcd是正方形 oc od cod cob 90 1 bco 45 com don sas dn mc h 3 答 dn mcdn mc 2 由 com don得 2 3 又 3 cmo 90 2 cmo 90 dhm 90 dn mc 12 如图 四边形abcd defg都是正方形 连接ae cg 1 求证 ae cg 2 观察图形 猜想ae与cg的位置关系 并证明你的猜想 1 证 ade cdg sas 2 ae cg 13 在正方形abcd中 点p是对角线ac上一点 pe ab pf bc 垂足分别是点e f 求证 dp ef 证明 连接pb 又 pe ab pf bc 四边形abcd是正方形 abc 90 ad ab dap bap 45 peb pfb 90 四边形pecf是矩形 pb ef 又 ap ap ade cdg sas pd pb pd ef 14 在正方形abcd中 p为bc边上一点 q为cd边上一点 如果pq bp dq 求 paq的度数 15 如图 四边形abcd为正方形 eb ac ec ac e在fb上 求 ecb的度数 数一数图中正方形的个数 你发现了什么 多 多 多 个 个 个 个 第n个图中正方形有个 3n 1 长见识 第十九章四边形 例1 已知 如图1 正方形abcd中 对角线的交点为o 1 e是ac上的一点 过点a作ag be于g ag bd交于点f 求证 oe of 2 若点e在ac上的延长线上 如图2 过点a做ag be交eb的延长线于g ag的延长线交bd于点f 其它条件不变 oe of还成立吗 若成立 请给予证明 若不成立 请说明理由 图2 解析 1 要证明oe of 只需证明 boe aof 要证 boe aof 利用正方形性质即可 第 2 问和第 1 问图形虽然有所变化 但实质一样 也可通过证 boe aof 从而得到oe of 例2 已知 如图3 四边形abcd是正方形 分别过点a c两点l1 l2 作bm l1于m dn l1于n 直线mb dn分别交l2于q p点求证 四边形pqmn是正方形 图3 答案 证明 pn l1 qm l1 pn qm pnm 90 pq nm 四边形pqmn是矩形 四边形abcd是正方形 bad adc 90 ab