二面角大小求法的归类分析.doc

二面角大小的求法的归类分析二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。现将二面角大小的求法归类分析如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例1 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，PA=AB=a，ABC=30，求二面角P-BC-A的大小。三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例3 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。四、射影法：利用面积射影公式S射S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例3 在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAABa，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。五、:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。例5、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAABa，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。（补形化为定义法）由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下：基础练习二面角是指 （ ）A 两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2平面与平面、都相交，则这三个平面可能有 （ ） A 1条或2条交线 B 2条或3条交线C 仅2条交线 D 1条或2条或3条交线3在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( ) A 5 B 20 C D4在直二面角-l-中，RtABC在平面内，斜边BC在棱l上，若AB与面所成的角为600，则AC与平面所成的角为 （ ） A 300 B 450 C 600 D 1200ABCD5如图，射线BD、BA、BC两两互相垂直，AB=BC=1，BD=，则弧度数为的二面角是（ ） A D-AC-B B A-CD-B C A-BC-D D A-BD-C6ABC在平面的射影是A1B1C1，如果ABC所在平面和平面成角，有 A SA1B1C1=SABCsin B SA1B1C1= SABCcosABMNPlC SABC =SA1B1C1sin D SABC =SA1B1C1cos7如图，若P为二面角M-l-N的面N内一点，PBl，B为垂足，A为l上一点，且PAB=，PA与平面M所成角为，二面角M-l-N的大小为，则有 （ ） Asin=sinsin Bsin=sinsinC sin=sinsin D 以上都不对8在600的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 。9已知ABC和平面，A=300，B=600，AB=2，AB，且平面ABC与所成角为300，则点C到平面的距离为 。10正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面A1BCD1所成的二面角（锐角）为 。11已知菱形的一个内角是600，边长为a，沿菱形较短的对角线折成大小为600的二面角，则菱形中含600角的两个顶点间的距离为 。12如图，ABC在平面内的射影为ABC1，若ABC1=，BC1=a,且ABC1C平面ABC与平面所成的角为，求点C到平面的距离13在二面角-AB-的一个平面内，有一直线AC，它与棱AB成450角，AC与平面成300角，求二面角-AB-的度数。 深化练习14若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a和，到棱的距离为2a，则此二面角的度数是 。15把等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，若BAC=600，则此二面角的度数是 。AFEBDC16如图，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成600的二面角，求直线BD与平面ABEF所成角的正弦值。ABCDA1D1C1B117如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求：（1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小；（2）二面角C1BDC的正切值。 二面角大小的求法答案1.、AB=AD=a，过B作BHPC于H，连结DHDHPC故BHD为二面角B-PC-D的平面角因PB=a,BC=a,PC=a,PBBC=SPBC=PCBH则BH=DH又BD=在BHD中由余弦定理，得：cosBHD又0BHD 则BHD=，二面角B-PC-D的大小是。2解：（三垂线法）如图PA平面BD，过A作AHBC于H，连结PH，则PHBC 又AHBC，故PHA是二面角P-BC-A的平面角，在RtABH中，AH=ABsinABC=aSin30=在RtPHA中，tanPHA=PA/AH= ，则PHA=arctan2. 3解（垂面法）如图PA平面BDBDAC BDBC过BD作平面BDHPC于HPCDH、BHBHD为二面角B-PC-D的平面角，因PB=a,BC=a,PC=a,PBBC=SPBC=PCBH则BH=DH，又BD=在BHD中由余弦定理，得：cosBHD又0BHD 则BHD=，二面角B-PC-D的大小是。4解（面积法）如图同时，BC平面BPA于B ，故PBA是PCD在平面PBA上的射影设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为，则cos= =455解（补形化为定义法）如图将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN，则PQPA、PD，于是APD是两面所成二面角的平面角。在R