数学建模---垃圾处理初步模型.docx

垃圾填埋场优化设计问题一 摘要随着我国经济的飞速发展，生活生产垃圾日益增多，其处理问题亦引起了社会的关注和思考。本文就是在此宏观背景下，以处理成本最小化为目标，提出对填埋场的垃圾处理模型。旨在合理安排政府如何购买挖掘与填埋设备及每次购买土地的间隔年限与面积，垃圾填埋场挖掘的深度等。二 关键词优化设计 时间价值 非线性规划 lingo 合理预期 三 问题重述某市平均日产生活垃圾约为1000立方米（以压缩后体积计），现欲建一垃圾填埋场，将垃圾挖坑后填埋，再在表面覆盖一米厚的土层以恢复植被。现在需要就建场预算中涉及购置设备及征用土地问题作出决策。考虑挖坑及填埋设备的购置和土地征用中的经济问题，市政当局希望给出花钱最少的预算。现已知下列情形： 1.挖出不用的土方可被建筑工程使用，无须处理，但须运上地面，并须留出填埋覆盖用土。2.每套挖掘及填埋机械需购置费用150万元，使用寿命十年。3.填埋场预计使用五十年。4.压缩后的垃圾由汽车直接抛入垃圾填坑中，无须作功。5.现征地费用为20万元/亩，根据统计资料知，此前三年地价涨幅为平均10% /年。6.机械使用柴油，效率为30%。在平地作业时，将一立方土移动一米需作功100KJ，但随挖掘深度加大，每增加一米深度，其效率在原有基础上下降10%。7.当前银行贷款年利率为5%，存款利率为3%。8.填埋后的场地将用于公益(如建立公园、绿地等)。问题：1.试按市政当局要求，建立数学模型，为该项目计算出最佳的挖掘深度，评价模型优缺点；2.作出征购土地，购买机械的方案及预算。四 模型假设 根据2模型变1. 政府可以在长期内以5%的利率在市场上进行自由借贷。2. 各个年份挖掘的土地面积和挖掘深度是一定的。3. 购买机械的费用按年金进行处理得到每年的机械费用4. 政府可以预期到一段时期内的土地价格；政府每两次购买土地的时间间隔为整数年。5. 机械在竖直方向移动一立方米的土做的功跟在平面上做的功是相等的，不同的是竖直方向上做功的机械效率较低。6. 将土从坑中移除之后，水平方向做的功忽略不计。7. 50年内物价水平不变。五 符号说明： 购买设备的年均成本（万元）； ：设备价格（万元）；：3%利率下10期年金价值系数；：3%利率下50期年金价值系数；：购买土地的总资金现值（万元）； ：能源消耗年均成本（万元）； ：购买土地的年均成本（万元）； :每次购买土地的间隔年限（年）； ：50年内购买土地的次数； ：每次购买的土地面积（平方米）； ：当前土地价格（万元）； ：年存款利率； ：机械效率； ：深度（米）； ：能量耗费（千焦）； ：每年的挖掘深度（米）； ：每年的挖掘面积（平方米）； ：每移动一立方米土所做的功（千焦）； ：每升柴油的完全燃烧释放的热量，=0.85kgL3.3104kjkg； ：每升柴油的价格，pch=7.79元/升； ：年均总成本（万元）。六 模型分析及求解一初步模型（一）成本计算求解此问题的关键是怎样达到成本最小化，而成本主要由以下几个部分组成：挖掘及填埋设备、土地费用、挖掘过程中的能源的耗费。我们首先应该用一种方法来衡量成本。在一个长期的投入过程中，如果能够使平均每年的成本最小化，那么我们就可以达到总的成本最小化，所以在我们的模型中，我们主要以年平均成本来衡量成本的高低。同时，由于涉及到的是一个长期的投资过程，那么考虑货币的时间价值就是必要的，所以对于一次性资本投资，就应该将其通过利率折算成一个年均费用。其次，我们要分别考虑每一块成本的影响因素，确定其计算方法。对于机器设备，由于假设物价水平保持不变，而且也没有明确说明机器设备可以转让以及设备的维修费用，那么就应该将每一次购买的机器使用到其寿命终止，那么机器的年平均成本便应该是一个常数：其中pin表示机器的价格，a10|p表示在当前利率下，10年期的年金现值系数。对于土地使用成本，我们首先假定平均n年购买一次土地，每一次购买土地的数量为A，并且土地的价格的增长率是固定的，那么购买土地的资金的现值就是其中i是购入土地购入的次数，r为利率。用该现值除以年金现值系数便得到了年均土地成本：对于使用柴油的开支，主要由填埋坑的深度和面积决定。一方面，填埋坑的深度决定了做功的距离，另一方面，填埋坑的深度和面积同时决定了需要挖出的体积。为了计算在既定挖出面积和深度的情况下需要耗费的茶油，我们要先求出机械效率对深度的函数。由于深度每增加一米，机械效率减少原来的10%，故得：在深度为H，面积为S时耗费的能量耗费E为：其中k为每移动一立方土一米所做的功，所以kSdhh便等于移动Sdh的土从深度为h的地方挖出所做的功，最后我们得到故用于能源消耗的年均成本为：其中为每升柴油的完全燃烧释放的热量，Pch为每升柴油的价格。其中=0.85kgL3.3104kjkg同时由市场价格得到pch=7.79元/升。从以上分析可以得到年均成本（二）最优方案求解在得到年均成本的计算公式之后，求解最优成本的问题便成为下列非线性规划问题：其中变量为每次购买土地间隔年数n，每次购买土地面积A,每年挖掘面积S,挖掘深度H，利用计算机软件求解得到如下结果：购地次数i125102550N502510521A685897.2295953109962.653768.8721232.9110571.99S13717.9411838.1210996.2610753.7710616.4510571.99H27.6803831.9170834.2840435.0345635.4747835.6198C149371602630972035808060394439604173709042519840做出年平均成本C与购买土地次数i散点图如下：由上表与图可知，在以上假设下，一年全部购买50年所需土地情况下年平均成本最低。即：i=1 N=50A=685897.2 S=13717.94H= 27.68038C=14937160二改进模型：加入土地购买策略初步模型中，我们对于政府购买土地的政策做了比较严格假设，即每n年购买一次土地，并且每次购买土地的数量是固定的，同时我们还假定土地价格的增长率是固定的。同时，在三个成本中，机械成本是固定的，能源成本在满足有足够的土地面积用于挖掘的条件下，最适合的深度和每年挖掘的面积就是一定的，那么我们关心的关键问题就是怎样来购买土地使得一方面既使得购买的土地足够用于挖掘，另一方面使得用于政府的总成本是最小的。由上面的模型分析结果可知需要购买土地在每年内面积是固定的，假设接下来第i年需要土地面积ai，如果这些土地是在将来购入，那么需要的成本的现值就是，其中是政府预期的第i期的土地增长率，如果在现在购入那么成本就是，比较两者的大小：如果在未来t期内，政府预期，那么政府的最优购地策略便是先一次性购买前i期的土地；如果在未来t期内，政府预期，那么政府的最优购地策略便是先一次性购买前t期的土地；如果在t年，政府下一年，政府就应该只购入第t年需要的土地，即仅仅购买当期所需土地。在初步模型中，我们发现政府应该一次性购买土地，这是因为我们假设土地价格是按照一个固定的增长率10%增长的，而且这个增长率大于贷款利率5%，也就是说对于政府来说在将来购买土地所造成的成本必定大于在现在购买土地的成本，所以政府倾向于一次性购入所以土地。但是现实的问题是土地的价格是不可能保持一个固定10%的增长率增长50年的, 假若如此，50年后地价就会升至2347.8万元/亩。而且政府一次性购买50年垃圾填埋所用的土地1028.332亩在现实中也不现实（中华人民共和国土地管理法有有关“闲置土地”的规定）。同时中国的实证数据也证实了“土地价格不太可能连续以10%增长率增长50年”的论断，有关实证数据如下表：图1 2001-2010年全国重点城市不同用途地价增长率（此表来至于网页/tdsc/djxx/djjc/201105/t20110503_849405.htm上文章2010年全国主要城市地价状况分析报告（概要）年份2001200220032004200520062007200820092010价格（元）454460469481489505584582597629 图2 2001-2010年全国重点城市工业用地地价所以我们应该改进模型以解决这么一个不太合理的结果，同时使得政府的总成本最小。一旦放开“土地价格每年均以每年10%的增长率增长”，这么一个条件，那么政府考虑成本最小化，就会采取一种相机抉择的策略，正如同上面所分析的，考虑政府对于下一年土地价格增长率和贷款利率5%的