中学数学竞赛讲座及练习(第35讲)归纳.doc

第三十五讲 归纳与发现归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法下面举几个例题，以见一般 例1 如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？分析与解 我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数第一层有点数：1；第二层有点数：16；第三层有点数：26；第四层有点数：36；第n层有点数：(n-1)6.因此，这个点阵的第n层有点(n-1)6个n层共有点数为例2 在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？(2)这n个圆共有多少个交点？分析与解 (1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表181由表181易知S2-S1=2，S3-S23，S4-S34，S5-S45，由此，不难推测Sn-Sn-1n把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到Sn-S1234n，因为S1=2，所以下面对Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1n的正确性略作说明因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1n(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决为此，可列出表182由表182容易发现a11，a2-a11，a3-a22，a4-a33，a5-a44，an-1-an-2n-2，an-an-1n-1n个式子相加注意 请读者说明an=an-1(n-1)的正确性例3 设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中abc，如果 b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？分析与解 我们先来研究一些特殊情况：(1)设b=n=1，这时b=1，因为abc，所以a=1，c可取1，2，3，若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c2，由于ab=2，那么ab不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表183这时满足条件的三角形总数为：1+2=3(3)设b=n=3，类似地可得表184这时满足条件的三角形总数为：123=6通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：这个猜想是正确的因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1kn)由于bcab，即ncnk，所以c可能取的值恰好有k个(n，n1，n2，nk-1)所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：例4 设123n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：1！12！23！3n！n. 分析与解 先观察特殊情况：(1)当n=1时，原式=1=(11)！-1；(2)当n=2时，原式=5=(21)！-1；(3)当n=3时，原式=23=(31)！-1；(4)当n=4时，原式=119=(41)！-1由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1. 下面我们证明这个猜想的正确性1+原式=1+(1！12！23！3+n！n)=1！22！23！3+n！n=2！+2！23！3+n！n=2！3+3！3+n！n=3！+3！3+n！n=n！+n！n=(n1)！，所以原式=(n+1)！-1. 例5 设x0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小分析与解 本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路为此，设x=0，显然有x3x2+x+2设x=10，则有x3=1000，x2+x2=112，所以x3x2+x+2设x=100，则有x3x2+x+2观察、比较，两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3x2+x+2；当x值较大时，x3x2+x+2那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”为此，设x3=x2x2，则x3-x2-x-20，(x3-x2-2x)(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0因为x0，所以x2+x+10，所以x-2=0，所以x=2这样(1)当x=2时，x3=x2+x+2；(2)当0x2时，因为x-20，x2+x+20，所以 (x-2)(x2x+2)0，即x3-(x2x+2)0，所以 x3x2x2. (3)当x2时，因为x-20，x2+x+20，所以 (x-2)(x2+x+2)0，即x3-(x2x2)0，所以 x3x2x2综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答 分析 先由特例入手，注意到例7 已知E，F，G，H各点分别在四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边上(如图2101)(2)当上述条件中比值为3，4，n时(n为自然数)，那S么S四边形EFGH与S四边形ABCD之比是多少？G引GMAC交DA于M点由平行截割定理易知(2)设当k=3，4时，用类似于(1)的推理方法将所得结论与(1)的结论列成表185.观察表185中p，q的值与对应k值的变化关系，不难发现：当k=n(自然数)时有以上推测是完全正确的，证明留给读者练习十八1试证明例7中：2平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条