勾股定理的探索与证明.ppt

在数学的天地里 重要的不是我们知道什么 而是我们怎么知道什么 毕达哥拉斯 假如我们一旦和外星人见面 该使用什么语言呢 使用 符号语言 与外星人联系是最经济和最有效的 外星人也最可能使用这种语言 并且最可能是数学语言 中国数学家华罗庚认为 我们可以用两个图形作为与外星人交谈的媒介 一个是 数 另一个是 数形关系 勾股定理 因为这种自然图形所具备的 数形关系 在整个宇宙中是普遍的 与外星人交流 勾股定理 天马行空 1 体验勾股定理的探索过程 学习古今中外数学家的探索精神 2 会运用勾股定理解决简单的实际问题 学习目标 数学家毕达哥拉斯的故事 相传两千五百年前 一次毕达哥拉斯去朋友家作客 发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系 同学们 我们也来观察下面的图案 看看你能发现什么 这棵树漂亮吗 如果在树上挂上几串彩色灯泡 再挂上些小铃铛 小彩球 小礼盒 小的圣诞老人 是不是更像一棵圣诞树 也许有人会问 它与勾股定理有什么关系吗 仔细看看 你会发现 奥妙在树干和树枝上 整棵树都是由下方的这个基本图形组成的 一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形 这个图形有什么作用呢 奇妙的勾股树 数学家毕达哥拉斯的发现 A B C的面积有什么关系 直角三角形三边有什么关系 SA SB SC 两直边的平方和等于斜边的平方 A B C 图2 图3 4 9 13 9 25 34 sA sB sC 两直角边的平方和等于斜边的平方 探究与猜想 是不是所有的直角三角形的三边都满足这种关系呢 A B C 由此 我们猜想到什么结论 我国早在三千多年就知道了这个定理 人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 勾 下半部分称为 股 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为 勾 较长的直角边称为 股 斜边称为 弦 因此就把这一定理称为勾股定理 辉煌发现 商高 周髀算经 如果直角三角形两直角边分别为a b 斜边为c 那么 a2 b2 c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理 勾 股 弦 试一试 你能用拼图的方法来说明勾股定理吗 a b c a b 演示 图1 图2 将4个全等的直角三角形拼成边长为 a b 的正方形 使中间留下边长c的一个正方形洞 画出正方形 移动三角形至图2所示的位置中 于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞 则图1和图2中的白色部分面积必定相等 所以 传说中的毕达哥拉斯的证法 证明一 证明过程 证明 上面的大正方形的面积为 下面大的正方形的面积为 从右图中我们可以看出 这两个正方形的边长都是a b 所以面积相等 即 b a a 证明二 演示 C 赵爽弦图 我国对勾股定理的证明采取的是割补法 最早的形式见于公元三 四世纪赵爽的 勾股圆方图注 在这篇短文中 赵爽画了一张他所谓的 弦图 其中每一个直角三角形称为 朱实 中间的一个正方形称为 中黄实 以弦为边的大正方形叫 弦实 所以 如果以a b c分别表示勾 股 弦之长 那么 赵爽弦图的证法 得 c2 a2 b2 返回 学过几何的人都知道勾股定理 它是几何中一个比较重要的定理 应用十分广泛 迄今为止 关于勾股定理的证明方法已有500余种 其中 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 总统为什么会想到去证明勾股定理呢 难道他是数学家或数学爱好者 答案是否定的 事情的经过是这样的 1876年一个周末的傍晚 在美国首都华盛顿的郊外 有一位中年人正在散步 欣赏黄昏的美景 他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德 他走着走着 突然发现附近的一个小石凳上 有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么 时而大声争论 时而小声探讨 由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去 想搞清楚两个小孩到底在干什么 只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形 于是伽菲尔德便问他们在干什么 只见那个小男孩头也不抬地说 请问先生 如果直角三角形的两条直角边分别为3和4 那么斜边长为多少呢 伽菲尔德答到 是5呀 小男孩又问道 如果两条直角边分别为5和7 那么这个直角三角形的斜边长又是多少 伽菲尔德不加思索地回答到 那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方 小男孩又说道 先生 你能说出其中的道理吗 伽菲尔德一时语塞 无法解释了 心理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步 立即回家 潜心探讨小男孩给他留下的难题 他经过反复的思考与演算 终于弄清楚了其中的道理 并给出了简洁的证明方法 总统脸红了 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观 简捷 易懂 明了的证明 就把这一证法称为 总统 证法 有趣的总统证法 证明三 刘徽在 九章算术 中对勾股定理的证明 勾自乘为朱方 股自乘为青方 令出入相补 各从其类 因就其余不移动也 合成弦方之幂 开方除之 即弦也 令正方形ABCD为朱方 正方形BEFG为青方 在BG间取一点H 使AH BG 裁下 ADH 移至 CDI 裁下 HGF 移至 IEF 是为 出入相补 各从其类 其余不动 则形成弦方正方形DHFI 勾股定理由此得证 刘徽的证法 返回 证明四 a b c 无字证明 青朱出入图 比一比看看谁算得快 求下列直角三角形中未知边的长 可用勾股定理建立方程 方法小结 8 x 17 16 20 x 12 5 x 做一做 1 如图 一个高3米 宽4米的大门 需在相对角的顶点间加一个加固木条 则木条的长为 A 3米B 4米C 5米D 6米 C 生活中的数学 2 如图 是一个长方形零件图 根据所给的尺寸 求两孔中心A B之间的距离 40 3 小明的妈妈买了一部29英寸 74厘米 的电视机 小明量了电视机的屏幕后 发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽 他觉得一定是售货员搞错了 你能解释这是为什么吗 售货员没搞错 荧屏对角线大约为74厘米 如图 大风将一根木质旗杆吹裂 随时都可能倒下 十分危急 接警后 119 迅速赶到现场 并决定从断裂处将旗杆折断 现在需要划出一个安全警戒区域 那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少米吗 9m 24m 智慧结晶 美丽的勾股树 周髀算经 毕达哥拉斯 商高 数学史话 勾股圆方图 一路下来 我们结识了很多新知识 你能谈谈自己的收获吗 说一说 让大家一起来分享 硕果累累 要养成用数学的思维去解读世界的习惯