高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性（二）课件 北师大版必修1.ppt

3函数的单调性 二 学习目标1 理解函数的最大 小 值的概念及其几何意义 重点 2 理解函数的最大 小 值是在整个定义域上研究函数 体会求函数最值是函数单调性的应用之一 重 难点 知识点一函数最大值与最小值 f x0 m 纵坐标 纵坐标 预习评价 1 任何函数都有最大值或最小值吗 提示不一定 如函数y x x r时就无最大值和最小值 2 若函数f x x2 1恒成立 则此函数的最小值就是 1吗 提示不对 虽然x2 1恒成立 但在函数定义域内找不到一个x0的值使f x0 1 根据最小值定义可知此结论不成立 3 函数f x 最大值 最小值的几何意义是什么 提示函数最大值的几何意义是对应图像最高点的纵坐标 函数最小值的几何意义是函数图像的最低点的纵坐标 知识点二函数最值与单调性的联系 1 若函数y f x 在区间 a b 上单调递增 则f x 的最大值为 最小值为 2 若函数y f x 在区间 a b 上单调递减 则f x 的最大值为 最小值为 f b f a f a f b 预习评价 1 结合教材p38例4 你认为应怎样求函数的最大值 最小值 提示第一步 利用函数单调性的定义判断函数在所给定义域内的单调性 第二步 根据单调性确定函数的最大值 最小值 2 函数f x x 的最小值是 答案0 例1 1 如图为函数y f x x 4 7 的图像 则它的最大值 最小值分别是 题型一图像法求函数的最值 1 解析由图像知当x 3时 f x 取最大值3 当x 1 5时 f x 取最小值 2 答案3 2 2 解作出函数f x 的图像 如图 由图像可知 当x 1时 f x 取最大值为f 1 1 当x 0时f x 取最小值f 0 0 故f x 的最大值为1 最小值为0 规律方法利用图像法求函数最值的依据及步骤 1 依据 以函数最值的几何意义为依据 常用于图像易作出的函数求最值 2 步骤 作 作出函数图像 找 在图像上找到最高点和最低点的纵坐标 定 确定函数的最大 小 值 解f x 的图像如图所示 f x 的单调递增区间是 0 和 0 函数的最小值为f 0 1 题型二函数最值的应用 例2 1 某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车 销售t辆该品牌车的利润 单位 万元 分别为l1 t2 21t和l2 2t 若该公司在两地共销售15辆车 则能获得的最大利润是 万元 2 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律 每生产产品x 百台 其总成本为g x 万元 其中固定成本为2 8万元 并且每生产1百台的生产成本为1万元 总成本 固定成本 生产成本 销售收入r x 万元 满足 答案120 规律方法解答实际问题的步骤 1 审题 审读实际问题 找出已知条件 未知条件 确定自变量和因变量的条件关系 2 建模 建立数学模型 列出函数关系式 3 求解 分析函数性质 利用数学知识探究问题解法 一定注意自变量的取值范围 4 回归 数学问题回归实际问题 写出答案 训练2 某特产经营店销售某种品牌蜜饯 蜜饯每盒进价为8元 预计这种蜜饯以每盒20元的价格销售时该店一天可销售20盒 经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售4盒 每增加一元则减少销售1盒 现设每盒蜜饯的销售价格为x元 1 写出该特产店一天内销售这种蜜饯所获得的利润y 元 与每盒蜜饯的销售价格x的函数关系式 2 当每盒蜜饯销售价格x为多少时 该特产店一天内利润y 元 最大 并求出这个最大值 答案b 1 证明令x y 0得f 0 0 再令y x得f x f x 所以f x f x 0 规律方法1 利用函数单调性求最值的一般步骤 1 判断函数f x 的单调性 2 借助最值与单调性的关系写出函数最值 2 利用单调性求最值的两个关注点 1 求最值勿忘求定义域 2 闭区间上的最值 不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误 求解时一定注意 1 函数f x 的图像如图 则其最大值 最小值分别为 课堂达标 答案b 答案b 解析当1 x 2时 y 2x 6为增函数 所以f x max f 2 10 f x min f 1 8 当 1 x 1时 6 f x 8 故f x 的最大值为10 最小值为6 答案106 4 函数f x x2 4x 5 x 1 4 则f x 的最大值为 解析f x x2 4x 5的对称轴为x 2 所以最大值为f 4 42 4 4 5 5 答案5 5 已知f x x2 x 1 求f x 在区间 1 1 上的最大值和最小值 1 对函数最值的三点说明 1 最大 小 值必须是一个函数值 是值域中的一个元素 如函数y x2 x r 的最小值是0 有f 0 0 2 最大 小 值定义中的 任意 是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式 即对于定义域内的全部元素 都有f x m f x m 成立 也就是说 函数y f x 的图像不能位于直线y m的上 下 方 3 最大 小 值定义中的 存在 是说定义域中至少有一个实数满足等号成立 也就是说y f x 的图像与直线y m至少有一个交点 课堂小结 2 函数最值与函数值域的关系函数的值域是一个集合 最值若存在则属于这个集合 即最值首先是一个函数值 它是值域的一个元素 函数值域一定存在 而函数并不一定有最大 小 值 3 利用单调性求最值的常用结论 1 如果函数f x 在区间 a b 上是增 减 函数 则f x 在区间 a b 的左 右端点处分别取得最小 大 值和最大 小 值 2 如