小学数学北师大2011课标版四年级沏茶和烙饼问题.doc

“优化”教学实录与评析锁云执教（安徽省阜阳市鼓楼中心校） 卢杰评析 (安徽省阜阳市颍州区教研室)教学内容：北师大版义务教育课程标准实验教科书数学四年级下册第8182页。 教学目标：1：在具体的生活情景中，通过观察、动手操作、独立思考、合作交流等方式，让学生经历从优化的角度解决简单实际问题的过程，初步体会运筹思想在解决问题中的应用。2：感受数学在日常生活中的广泛应用，培养学生的应用意识和合理安排时间的意识。3：鼓励学生尝试在解决问题的多种方案中寻找最优方案，并培养学生解决问题的能力和科学探究的精神。4：帮助学生积累解决问题经验的同时培养数学思想并进行数学文化的渗透。教学重点：1.在实践中学会对事情进行合理、统筹地安排。2.引导学生采用多种策略探索合理统筹的方法，并从中找到最优方案。教学难点：在“烙饼”的情境中，探索出用替换的方法找到烙3张饼的最优方案。教学准备：多媒体课件、教具圆片饼、学具圆片饼。教学过程：一、课前游戏，揭示课题师：同学们喜欢玩游戏么?上课前老师和大家玩一个游戏-超级速递员，全班同学分成10组，我作为前6组的速递员，负责把“饼”送到16组的每位同学的手里，而剩下的4组同学则由你们的速递员把“饼”送到其余各位同学手里，每人都要分到两张饼，谁先发完谁就是胜利者。开始！老师把饼发给每一组的第一位同学，6位同学同时依次往后传。而另一队的饼是一个一个发下去的，谁能获胜显而易见。师：谁获胜了？生：老师。师：咦！老师送了6组饼，工作量比那位速递员大多了，为什么反而是老师最先获胜呢？你看出里面的秘密了么？生：我发现老师是六组同时往后传的，你其实只发给了六位同学，而我们这边的速递员是一位同学接着一位同学发的，很耽误时间。师：那你们觉得谁的方法最省时？生：老师。师：谁的方法最省力？生：老师。那你们会选择谁的方法？生：如果我是速递员肯定会选择老师的方法，因为这样做事的效率更高。师：看来同学们做事很会选择方法，学会选择省时省力的方法来解决生活中的事情，这就是我们今天要学习的内容优化（板书课题）【评析】送“饼”游戏其实是发学具的另一种形式，采用游戏的形式把学具发给学生，既活跃了气氛又激起学生的学习热情，还能体会到在解决实际问题的过程中要采用合理统筹的方法，这是将统筹思想进行巧妙地孕伏。2、 走进生活，解决问题1. 解决沏茶问题 师：小明要烧水为妈妈沏一杯茶，沏茶要做的事情有什么？ 生1：烧水、洗杯子。 生2：找茶叶、烧水。. 师：我们一起来看看小明需要做哪些事？(1)课件播放沏茶主题图 师：请同学们“用心”去观察，看看你都知道了什么数学信息？再学生回答问题之前，隐去图中的所有事情所需要的时间。 师：你确定刚才是在用心观察么？敢接受挑战么？请问在这些事情中用时最长的是哪一项？ 生：烧水8分钟 师：用时最长和最短的事情相差几分钟？ 生：老师我 没注意。 师：看来，要想了解清楚一件事必须做到什么？ 生1：老师，我明白了，做什么事情都要用心去观察。 生2：应该用心去读图。【评析】针对现在的学生普遍缺乏认真观察，严谨思考的习惯，在课的开始设计了这个环节。我国当代教育家叶圣陶曾明确指出：“教育就是要培养学生养成良好的学习习惯”。认真观察，学会数学阅读是积极思考的前提条件，也是良好学习习惯形成的首要目标。（2） 抛出问题，引发深思 师：要烧水为妈妈沏杯茶，怎样安排可以尽快喝上茶？你知道“尽快”的意思么？ 生：就是用最短的时间沏茶。师：请同学们独立思考这个问题。教师在学生思考的同时播放课件-温馨提示温馨提示：1、沏茶的过程中，哪些事情要按照先后顺序去做？2、沏茶的过程中什么事情可以同时做？ 师：如果你已经有想法，就动手就把你的想法用你喜欢的形式记录下来。 用课件出示操作要求。操作要求：1、请你设计一种可以尽快喝上茶的方案（文字、 符号、图形），并用“”标出事情的先后顺序。 2、计算出整个过程需要多长时间？ 【评析】鼓励学生用文字、画图、符号等多种方法把沏茶的过程表示出来。除了让学生体会表达思维的多种不同形式，更是让“符号感”这种深层次数序思维得以体现，它具有抽象性和逻辑性，对学生数学能力的培养和后续发展有着至关重要的作用。 （3）组织学生交流反馈 生1：我是把这6幅图标上了序号，上面一行是的顺序，下面一行是的顺序，我是这样安排的，共用时1+1+8+2+1+1=14分钟 师：他的沏茶顺序正确么？原来你是按照事情的发展顺序一件一件去做的。 生2：老师，我觉得生1的方法虽然顺序正确，但不是最省时的，我是这样安排的。洗水壶 接水 烧水 沏茶 找茶叶 洗茶杯 1+1+8+1=11分钟 师：你在接水的同时找茶叶，烧水的同时洗茶杯，说说这样可以节约多长时间？ 师：同时做的事情是否合理？ 生3：老师，我不同意生2意见，接水用1分钟，找茶叶也用1分钟，这样等茶叶找到了，来不及关水龙头，茶壶里的水会溢出来的，这样就浪费了资源。师：看来这位同学很有生活经验，确实，同时做两件事耗时一样时间的事有时候会出现顾此失彼的情况，那你有更好的安排么？ 生3：老师，我是这样安排的。洗水壶 接水 烧水 沏茶 洗茶杯找茶叶 1+1+8+1=11分钟 师：你是同时做三件事省出的时间，那还能同时做更多的事情么？ 生：不行，除了这三件事可以同时做，其他事情必须按照事情发展的先后顺序去做。 师：那11分钟是最短时间么？有没有比这个方案用时更短的了？ 生1：我认为应该没有比11分钟更短的时间了，因为可以同时做的都同时做了，不能同时做的必须按照事情的先后顺序去做。 师：回头看看这几种方法，你们更愿意选择谁的方法，来谈谈你的感受？ 生1：我喜欢第三种方法，而且我用的也是第三种，这种方法很节约时间。 生2：我也选择第三种，这样做事情不但节约时间，而且做每件事时间都很充沛，不会出现 两件事情同时做顾头不顾尾的情况。 生3：我原来是按第二种方法安排的，可是发现虽然都是用时11分钟，但是第四种比第三种更轻松一些。 师：看来我们做事情，除了要考虑使用最少的时间，还要考虑是否合理、周到，我们要学会选择最科学的方法也就是最优的方案来解决问题。 【评析】本环节是以“沏茶”的生活素材为背景，通过温馨提示中出示的问题串，让学生经历不同层次的思考，鼓励学生经历优化程序节省时间的过程，尝试在解决问题的多种方案中寻找最优方案。在计算出各种方案所需要的时间后，让学生回顾自己的方案并且对方案不断调整。 2.解决烙饼问题 （1）课件播放不完整的例2 师：谁来读读图中的信息？学生沉默片刻，有的同学皱起了眉头，有的在窃窃私语。 师：同学们，是不是遇到什么困难了？ 生：老师，你给的信息不够，里面没有具体的数字。 师：是啊！缺少信息，少了很多关键的数字，你能从找到图上找到这些隐藏的答案么？也可以用你的生活经验来分析一下图中所缺少的时间。 生：我想试一试，也许是“每次只能烙两张饼，两面都要烙，每面需要2分钟或者3分钟”。出示完整的课件图例 师：你的分析比较接近答案，看来我们在解决问题时除了要用到数序思维，有时候也需要生活经验的帮助。 师：谁能解释一下“每次只能烙两张饼是什么意思？”“两面都要烙又是什么意思呢？” 生1：只能烙两张饼就是锅里只能放两张，多了就放不下。 生2：两面都要烙是说要是只烙一面，饼是不会熟的。 【评析】苏联数学教育家斯托利亚尔则认为：“数学教学也就是数学语言的教学”。读图，分析图中的信息是数学阅读能力的培养的重要手段，活用情境图，隐去里面的总要信息，从学生的生活经验和已有的背景知识出发，让学生在把生活问题数学化，利用已有的生活经验尝试找出关键的数字信息，这对于学生后续的发展大有裨益。 （1）创境激疑，引起认知冲突 师：小明的爸爸、妈妈和他每人一张饼，怎样才能尽快吃上饼？ 生1：我想需要12分钟。 生2：大概要18分钟。 生3：或许是9分钟。 师：看来，这个问题比较复杂，不过，我们解决比较复杂的问题可以从简单的问题入手，我们先来研究这两个问题。烙一张饼最快需要多少时间？烙两张饼呢，最快时间又是多少？教师出示课件 生1：烙一张饼的一面需要1分钟，两面就需要6分钟。 生2：两张饼需要12分钟。 师：你是怎么烙的？ 生2：我是一张一张烙的，1张烙2次用6分钟，2张烙4次就是12分钟。 师：有不同意见么？ 生3：我不同生2的说法，既然是最短时间，就应该2张同时烙，这样就只需要烙2次用6分钟，如果一张一张烙，不但费时而且还浪费燃气。师：看来想法各不相同，同学们，你们认为谁的方法更节约时间，节约资源。学生都倾向于第二种方法 师：咦？奇怪了？都是烙2张饼，为什么第一种比第二种多用了6分钟时间，问题出在哪儿？ 生1：老师，用12分钟的那种方法，锅里还可以放一张饼，但是生2的锅里另一半是闲着的，没有充分利用锅 生2：因为12分钟的烙了4次，而6分钟的只烙2次，所以时间就省下来了。 师：看来，要想节约时间和资源，我们必须让锅保持什么状态（满满的） 师：那烙3张饼呢？你打算如何烙才能尽快吃上饼呢？ （1） 动手操作，建立数学模型 师：同桌互相合作，拿出一本数学书当锅，取三个学具饼动手烙一烙，再动手操作之前，请认真阅读活动要求。课件出示活动要求：活动要求：1.同桌两位同学合作，拿出一本数学书当锅，再取出三个“饼”在书上“烙一烙”。2.为了表达方便，请想办法区分每张饼和它们的正反面。3.和同桌说一说自己的烙法。 【评析】本环节在“活动要求”2中注重发展学生运用符号的意识，通常区分学具饼的正反面是老师事先要准备的事情，但是如此一来，会忽视了课标中关于数学形式化的具体要求。众所周知，形式化是现代数学的本质特征之一，培养形式化的意识和能力已经成为数学教育的重要教学原则。 （1） 交流比较，择优选择学生上台边操作边汇报方法 生1：我是用来区分张饼，用正反面来区分每张饼的两个面。第一次先烙1号饼和2号饼的正面，第2次再烙他们的反面，第3次烙3号饼的正面，第4次烙3号饼的反面，一共烙了4次，用时12分钟。 生2：我是用a，b，c来区分3张饼，用数字1，2来区分每张饼的两个面。第一次烙a，b 饼的第1面；第二次把b饼拿出来，把c饼放进去，烙c的第1面和a饼的第2面；第三次把熟了的a饼拿出来，把半熟的b饼和半熟的c饼的放在一起烙它们的第2面。 师：他的这种9分钟烙法，你们看明白了，如果你明白了说给同桌听听。 师：谁愿意再把这种方法说给大家听一听。引导学生比较两种方法的不同，选择最优的方案。 师：为什么大家都选择9分钟的烙法，说说这种方法好在什么地方? 生：这种安排是最省时的。 师：最省时的？有没有比9分钟更少的时间？ 生摇头否认，一致认为没有比9分钟更少的时间。 师：怎么证明你们的方法是用时最少的？从哪一点可以看出？ 生：我们一共烙了3次，每次锅里都是满满的，没有剩余的空间，如果还有更少的时间，除非每次锅里放的饼比我们多或者是次数比我们少，但是例图中说的很清楚，一口锅只能放2张饼，我们每次都最大化的使用了锅，所以，没有比9分钟更少的时间了。师播放课件，动画再次展示3张饼交替烙的方法。 师：现在你明白这种烙法了么？用一个词来给这种烙法起个名字吧 生1：替换烙 生2：循环烙 生3：交换烙 师：我们就给它起名叫“替换烙”，现在请同学们再动手体验一下这种最省时的“替换烙”。学生再次操作学具，巩固烙法。 【评析】对于学生来说，找出3张饼的省时烙法是很不容易也是很难理解的，而且在实际生活的并不采用这种方法，学生没有足够的生活经验来支撑整个思路，让学生放手进行实际操作，并以合作交流的方式帮助他们打开思维的窗户显得尤为重要，学生思维的碰撞，智慧的结合、传递可以让问题迎刃而解。 （1）调整顺序，归纳推理 师：请同学们仔细观察我们通过研究所获得的经验（引导学生看板书）1张饼 先后 6分钟2张饼 同时 6分钟3张饼 替换 9分钟 师：这3种张数中，谁能找到最短的烙饼时间，谁不能？ 生：我发现2、3张饼都能找到最短的时间，1张饼由于受到数量限制，怎么烙都不能把锅放满，所以1张饼时没有最优方案。 师：你的观察和分析很有说服力，那如果老师给你们一堆饼，你们准备把它们怎么分组？每组出现的张数是多少才能保证能找到最少时间？ 生：我觉得可以分成很多组，每组2张、3张都行，但是在任何一组绝对不能出现只有1张饼的情况，因为一张饼只有一种先后烙法，没有其他选择，也就不存在省时的方案。 师：你很有数学思想，能利用我们探索出的经验来判断方案的可行性，非常了不起！ 【评析】在这个环节中，教师有意渗透“基底”思想，在每个锅只能放2张饼的情境下(2,3)是一组基底，对于任何一个正整数，总可以分解成若干个基底（2,3)组合，烙饼时可以用这组基底来总结出除“1”之外的所有饼数分解的规律，“基底”的思想在以后的学习中还会经常涉及，设计的目的只是初步感知。 师：那么你现在知道4张饼该如何烙才能最省时么？ 生1：4张饼可以让他们之间相互交替烙，这样只要烙4次，一共12分钟。 生2：我是2张2张烙的，这样一共烙4次，也是12分钟。 师：同样是12分钟，你们更愿意选择哪一种烙法？ 生：我喜欢第二种，2张2张地烙，这样比较方便。 师：看来，我们在选择最优方案时，除了要考虑省时，还有考虑省事。 【评析】学生在此处想到了4张饼也可以交替烙，同时烙和交替烙两种方法出现了碰撞，这个矛盾提前出现在了6张或者9张之前，教师适时提出了最优方案除了要考虑“省时”，还要考虑“省事”，从而引导学生明白最优方案最终要达到的目标是省时、省力、省资源。 师：除了4张饼，还有哪些张数可以2张2张的烙？ 生1：6张，可以分成2，2，2烙3次，最短用时18分种。 生2：8张，可以分成2，2，2，2烙4次，最短用时24分钟。 生3：10张、20张 生4：36张、100张 生5：老师，我发现了，所有的偶数张都可以2个2个地烙。 师：同学们真是太了不起了，这是个伟大的发现，所有的偶数张都可以用2张同时烙的方法来解决问题，而且是最优方案。 师：仔细观察我们的发现，它完整么？还缺少哪些张数？ 生1：5张、7张、9张。 生2：除了1之外的所有奇数张。 师：你们想从哪个奇数开始研究？ 生：5张。 师：积累了一定的经验，现在你能抛开学具饼，自己独立的思考么？ 生：我是把它们分成2，3这样去烙，第一组的2张饼同时烙，2次，用了6分钟，第二组的3张饼替换烙，3次，9分钟，一共用了15分钟。 师：你们都是选择这种方法么？为什么不选择2，2，1这种方案？ 生：因为最后一组只有一张饼，一张饼是无法节约出时间的。 师：7张呢？ 生：7张饼可以分成2，2，3，这样一共烙了7次，用时21分钟。 师：9张呢？11张呢？你能用一句话总结出除了1之外所有奇数张饼该怎样烙最省时么？ 生：所有的奇数张都可以分成若干组3张的加若干组2张的。 师：是不是一组3张的情况越多越好，这样交替烙更省时间？ 生：不是的，奇数饼分出3张一组的情况越少越好，因为同样的时间，2张饼同时烙的方法要省事的多。 师：老师很欣赏你们思考问题的广度和深度，在短短的时间内就推理出了烙饼省时的规律。 【评析】在安排探索规律时，调整了研究的张数，在4张饼之后利用学生积累的成功经验，先是挖掘到了所有偶数张饼的最优烙法，而后引导学生继续把不完整的经验补充完整。从1、2张开始逐一研究，进而归纳推理得出最少时间。这不仅增强了学生归纳推理的意识，而且从解决问题的过程中积累了数学经验。 （1）走进生活，质疑共振 师：我们在烙饼的问题中，学会了用先后，同时，交替等方法来找到合理安排事情的方法，知道了选择最省时，最省事，最省资源的方法，但是生活中，你的妈妈会这样使用交替的方法去烙饼么？ 生：不会，那样饼会凉的. 师：既然这样，我们学交替烙的方法还有价值么？ 生：我觉得这种方法虽然不会应用在烙饼问题上，可是也许它能用在解决其他问题上。 师：说的很精彩，我们研究烙饼问题，是要学习如何合理安排时间、充分利用资源的这种优化数学方法及数学思想，用它们来指导我们今后的学习和生活。其实，古代早就有人已经运用这个方法来解决问题了。 三、引经据典，渗透数学文化 播放课件，让学生阅读-数学小百科 【评析】课堂教学是传播数学文化的重要途径，因此，在数学课堂上渗透具有文化底蕴的数学知识显得尤为重要。本环节在古代运用运筹法与今天运用的情境进行了纵向比较，彰显出古人的智慧和现代数学应用的广泛性。 四、拓展延伸，预留作业 通过今天的学习，相信大家对统筹思想，优化方法有了一些了解，课后，请同学们搜集一些世界上比较著名的关于统筹学的事例或者是历史故事。 五、回忆过程，深度思考 师：同学们，通过今天的学习，相信你一定有所收获，回忆本节课，用一个词或一句话来说明你在某一个环节所学到的知识。教师把课件从第一页缓缓重放到最后一页，学生可以在任意环节喊停并说出他的收获。 生1：从第1张幻灯片中我认识到了一定要用心观察，才能捕捉到信息。 生2：从“烙饼”缺失的信息中，我知道了要想解决一些问题，除了需要数学思维有时还需要生活经验。 生3：从动手操作的环节中，我明白了问题弄不明白时可以动手试一试。 生4：从烙3张饼的环节中，我学会了替换的烙法。 生5：从阅读数学小百科这个环节，我知道了统筹学的由来。 师：我很感动，同学们，你们收获的已经不仅仅是一个解题的方法，而是太多太多珍贵且值得珍藏的数学思想和方法，新的思想和方法需要更多的人去探索和传承，我希望，那是-（学生齐答-我们） 【评析】对一节课的总结，很多教师习惯于询问-你学到了什么？对很多学生来说，没有实物实景作依托的思绪整理和经验总结总是混乱且无力的。随着课件的从头播放，学生再一次入情入境地回到当初，通过回忆，对认知的几次不同碰撞，他们的感触和收获与第一次是不同的，思维的深度和广度都会显得更加厚重。 【总评】本节课教学设计巧妙，环环相扣，衔接自然，在教学的处理上条理清晰，课堂气氛活跃。教师在教学中润物细无声地融入了多种教学思想和理念，通过问题串的形式让学生在解决问题时逐步打开思路，本节课重点不是通过一个数学公式或者模型来进行简单的解题，而是重在培养学生体会和探索优化的过程，让学生经历、感受优化的价值。教师不仅教会了学生使用优化方法来解决生活中的问题，同时对学生进行数学文化的熏陶。具体说来，有如下几个特点： 1.激趣导入，让学生在愉快的氛围中走进课堂 本节课内容曾经隶属于奥数的范畴，对四年级的学生来说，“烙饼”问题是枯燥且艰涩的，单刀直入地进行例题的解读、学习是有一定难度的，通过游戏的引入，让学生体会到到原来在游戏中也能学到知识，进而意识到运筹思想在生活中的运用是如此地普通和普遍，从而增加了学生学习的兴趣，也为新知的教学埋下了伏笔。 2.动脑动手，让学生在独立思考和合作交流中学习数学 在“沏茶”这一环节的教学中，内容相对简单，教师让学生独立思考，此时的课堂是自主的，学生用心观察、仔细分析，放手让学生自主尝试探索解决新知，再通过交流汇报，经历了方法优化的全过程。“烙饼”问题相对比较复杂，尤其是本课的重难