高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词课件 新人教A版选修21.ppt

1 4 1全称量词1 4 2存在量词 学习目标1 理解全称量词与存在量词的含义 2 理解并掌握全称命题和特称命题的概念 3 能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一全称量词 全称命题 观察下面的两个语句 思考下列问题 p m 5 q 对所有的m r m 5 1 上面的两个语句是命题吗 二者之间有什么关系 语句p无法判断真假 不是命题 语句q在语句p的基础上增加了 所有的 可以判断真假 是命题 语句p是命题q中的一部分 答案 2 常见的全称量词有哪些 至少写出五个 常见的全称量词有 任意一个 一切 每一个 任给 所有的 凡是 等 答案 梳理 1 概念短语 在逻辑中通常叫做量词 并用符号 表示 含有全称量词的命题 叫做 2 表示将含有变量x的语句用p x q x r x 表示 变量x的取值范围用m表示 那么 全称命题 对m中任意一个x 有p x 成立 可用符号简记为 读作 对任意x属于m 有p x 成立 x m p x 所有的 任意一个 全称 全称命题 3 全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题 需要对集合m中每个元素x 证明p x 成立 但要判定全称命题是假命题 只需举出一个x0 m 使得p x0 不成立即可 知识点二存在量词 特称命题 思考 观察下面的两个语句 思考下列问题 p m 5 q 存在一个m0 z m0 5 1 上面的两个语句是命题吗 二者之间有什么关系 语句p无法判断真假 不是命题 语句q在语句p的基础上增加了 存在一个 可以判断真假 是命题 语句p是命题q中的一部分 答案 2 常见的存在量词有哪些 至少写出五个 常见的存在量词有 存在一个 至少有一个 有些 有一个 对某个 有的 等 答案 梳理 1 概念短语 在逻辑中通常叫做量词 并用符号 表示 含有存在量词的命题 叫做 2 表示特称命题 存在m中的元素x0 使p x0 成立 可用符号简记为 读作 存在m中的元素x0 使p x0 成立 3 特称命题真假判定要判定一个特称命题是真命题 只需在集合m中找到一个元素x0 使p x0 成立即可 否则这一特称命题就是假命题 存在一个 至少有一个 存在 特称命题 x0 m p x0 题型探究 命题角度1全称命题与特称命题的不同表述例1设p x 2x是偶数 试用不同的表述方式写出下列命题 1 全称命题 x n p x 解答 类型一全称命题与特称命题的判断 全称命题 对所有的自然数x 2x是偶数 对一切的自然数x 2x是偶数 对每一个自然数x 2x是偶数 任选一个自然数x 2x是偶数 凡自然数x 都有2x是偶数 2 特称命题 x0 n p x0 解答 特称命题 存在一个自然数x0 使得2x0是偶数 至少有一个自然数x0 使得2x0是偶数 对有些自然数x0 使得2x0是偶数 对某个自然数x0 使得2x0是偶数 有一个自然数x0 使得2x0是偶数 全称命题或特称命题的表述形式虽然很多 但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个 解题时注意理解 反思与感悟 跟踪训练1 有些整数是自然数 这一命题为 命题 填 全称 或 特称 依据特称命题的构成易得 答案 解析 特称 命题角度2全称命题与特称命题的识别例2判断下列命题是全称命题 还是特称命题 1 凸多边形的外角和等于360 解答 可以改写为 所有的凸多边形的外角和等于360 故为全称命题 2 有的向量方向不定 解答 含有存在量词 有的 故是特称命题 3 对任意角 都有sin2 cos2 1 解答 含有全称量词 任意 故是全称命题 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词 由于某些全称命题的量词可能省略 所以要根据命题表达的意义判断 同时要会用相应的量词符号正确表达命题 反思与感悟 跟踪训练2判断下列命题是全称命题还是特称命题 并用符号 或 表示下列命题 1 自然数的平方大于或等于零 解答 是全称命题 表示为 x n x2 0 2 圆x2 y2 1上存在一个点到直线y x 1的距离等于圆的半径 解答 3 有的函数既是奇函数又是增函数 解答 是特称命题 f x 函数 f x 既是奇函数又是增函数 解答 类型二全称命题与特称命题的真假的判断 例3判断下列命题的真假 1 在平面直角坐标系中 任意有序实数对 x y 都对应一点p 解答 真命题 2 存在一个函数 既是偶函数又是奇函数 解答 真命题 如函数f x 0 既是偶函数又是奇函数 3 每一条线段的长度都能用正有理数来表示 解答 假命题 如边长为1的正方形 其对角线的长度为 就不能用正有理数表示 4 存在一个实数x0 使得等式 x0 8 0成立 解答 假命题 方程x2 x 8 0的判别式 31 0 故方程无实数解 5 x r x2 3x 2 0 解答 假命题 只有x 2或x 1时 等式x2 3x 2 0才成立 6 x0 r 3x0 2 0 解答 真命题 x0 2或x0 1 都能使等式 3x0 2 0成立 要判定全称命题 x m p x 是真命题 需要对集合m中每个元素x 证明p x 都成立 如果在集合m中找到一个元素x0 使得p x0 不成立 那么这个全称命题就是假命题 要判定特称命题 x0 m p x0 是真命题 只需在集合m中找到一个元素x0 使p x0 成立即可 如果在集合m中 使p x 成立的元素x不存在 那么这个特称命题就是假命题 反思与感悟 跟踪训练3判断下列命题的真假 1 有一些奇函数的图象过原点 解答 该命题中含有 有一些 是特称命题 如y x是奇函数 其图象过原点 故该命题是真命题 2 x0 r 2 x0 1 0 解答 该命题是特称命题 故该命题是假命题 3 x r sinx cosx 解答 该命题是全称命题 类型三利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围 例4已知下列命题p x 为真命题 求x的取值范围 1 命题p x x 1 x 解答 x 1 x 1 0 此式恒成立 x r 2 命题p x x2 5x 6 0 解答 x2 5x 6 0 x 2 x 3 0 x 3或x 2 3 命题p x sinx cosx 解答 已知含量词的命题真假求参数的取值范围 实质上是对命题意义的考查 解决此类问题 一定要辨清参数 恰当选取主元 合理确定解题思路 解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识 利用函数 方程 不等式等知识求解参数的取值范围 解题过程中要注意变量取值范围的限制 反思与感悟 跟踪训练4若方程x2 ax 1 0 x2 2ax 2 0 x2 ax 4 0中至少有一个方程有实根 求a的取值范围 由方程x2 ax 1 0无实根 可知a2 4 0 即a2 4 即 2 a 2 由方程x2 ax 4 0无实根 可知a2 16 0 即a2 16 即 4 a 4 解答 当堂训练 2 3 4 5 1 1 下列命题中 不是全称命题的是a 任何一个实数乘以0都等于0b 自然数都是正整数c 每一个向量都有大小d 一定存在没有最大值的二次函数 d选项是特称命题 答案 解析 2 3 4 5 1 2 命题p x n x3 x2 命题q a 0 1 1 函数f x loga x 1 的图象过点 2 0 则a p假q真b p真q假c p假q假d p真q真 x3 x2 x2 x 1 0 x 0或0 x 1 故命题p为假命题 易知命题q为真命题 故选a 答案 解析 2 3 4 5 1 3 已知函数f x 2x 1 若命题 存在x1 x2 a b 且x1f x2 为真命题 则下列结论一定成立的是a a 0b a1 函数f x 2x 1 的图象如图所示 由图可知f x 在 0 上为减函数 在 0 上为增函数 要满足存在x1 x2 a b 且x1f x2 为真命题 则必有a 0 故选b 答案 解析 2 3 4 5 1 4 特称命题 x0 r x0 2 0 是 命题 填 真 或 假 不存在任何实数 使得 x 2 0 所以是假命题 答案 解析 假 2 3 4 5 1 5 若命题 x0 r mx0 2m 3 0 为假命题 则实数m的取值范围是 由已知得 x r x2 mx 2m 3 0 为真命题 则 m2 4 1 2m 3 m2 8m 12 0 解得2 m 6 即实数m的取值范围是 2