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第20讲 第五章 轴测图 5-1概述5-2正等轴测图的画法教学目标：1、掌握轴测投影的基本概念、性质、分类；2、掌握正等轴测图的基本概念及各种轴测图的画法教学重点：正等轴测图的画法教学难点：曲面立体的正等轴测图的画法教学方法：结合实例课堂讲授教学用具：多媒体、各种绘图工具教学过程：一、5-1 轴测投影的基本知识（一）轴测投影的形成（GB/T 16948-1997）将物体连同其直角坐标体系，沿不平行与任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得到的图形，称为轴测投影（轴测图），如图5-2a 、b中投影P上所得到的图形。轴测投影被选定的单一投影P，称为轴测投影面。直角坐标轴OX、OY、OZ在轴测投影P上的轴测投影OX、OY、OZ，称为轴测投影轴，简称轴测轴。直角坐标体系 由三根相互垂直的轴（直角坐标轴）和相同的原点及其计量单位所构成的坐标体系。坐标体系 确定空间每个点及其相应位置之间关系的基准体系。直角坐标轴 在直角体系中垂直相交的坐标轴。坐标平面 任意两根坐标轴所确定的平面。原点 坐标轴的基准点。轴测投影也属于平行投影，且只有一个投影面。当确定物体的三个坐标平面不与投射方向一致时，则物体上平行于三个坐标平面的平面图形的轴测投影，在轴测投影面上都得到反映，因此，物体的轴测投影才有较强的立体感。轴测投影（轴测图）通常不画不可见轮廓的投影（虚线）。（二）、轴间角和轴向伸缩系数1.轴间角轴测投影中任意两根直角坐标轴在轴测投影面上的投影之间的夹角，称为轴间角。如图5-2所示，两轴侧轴之间夹角（XOY、XOZ、YOZ），用它来控制轴测投影的形状变化。2. 轴向伸缩系数直角坐标轴的轴测投影的单位长度，与相应直角坐标轴上的单位长度的比值，称为轴向伸缩系数，如图5-2a、b所示，其中，用p表OX轴轴向伸缩系数，q表示OY轴轴向伸缩系数，r表示OZ轴轴向伸缩系数，用轴向伸缩系数控制轴测投影的大小变化。（三）、轴测投影的基本性质轴测投影同样具有平行投影的性质：（1）若空间两直线段相互平行，则其轴测投影相互平行。（2）凡与直角坐标轴平行的直线段，其轴测投影必平行于相应的轴测轴，且其伸缩系数于相应轴测轴的轴向伸缩系数相同。因此，画轴测投影时，必沿轴测轴或平行于轴测轴的方向才可以度量。轴测投影因此而得名。（3）直线段上两线段长度之比，等于其轴测投影长度之比。（四）、轴测投影的分类按获得轴测投影的投射方向对轴测投影面的相对位置不同，轴测投影可分为两大类：1.正轴测投影用正投影法得到的轴测投影，称为正轴测投影。2.斜轴测投影用斜投影法得到的轴测投影，称为斜轴测投影。由于确定空间物体位置的直角坐标轴对轴测投影面的倾角大小不同，轴向伸缩系数也随之不同，故上述两类轴测投影又个分为三种：正轴测投影分为：（1）正等轴测投影（正等轴测图）三个轴向伸缩系数均相等（p= q=r）的正轴测投影，称为正等轴测投影（简称正等测）。（2）正二等轴测投影（正二轴测图）两个轴向伸缩系数相等（p=qr或p=rq或q=rp）的正轴测投影，称为正二等轴测投影（简称正二测）。（3）正三轴测投影（正三轴测图）。三个轴向伸缩系数均不相等（pqr）的正轴测投影，称为正三轴测投影（简称正三测）。斜轴测投影分为：（1）斜等轴测投影（斜等轴测图）三个轴向伸缩系数均相等（p=q=r）的斜轴测投影，称为斜等轴测投影（简称斜等测）。（2）斜二等轴测投影（斜二轴测图） 轴测投影面平行一个坐标平面，且平行于坐标平面的两根轴的轴向伸缩系数相等（p=qr或p=rq 或q=rp）的斜轴测投影，称为斜二等轴测投影（简称斜二测）。 （3）斜三轴测投影（斜三轴测图）三个轴向伸缩系数均不等（pqr）的斜轴测投影，称为斜三轴测投影（简称斜三测）。在实际工作中，正等测、斜二等测用得交多，正（斜）三测的作图较繁，很少采用。本章只介绍正等测和斜二测的画法。二、5-2正等轴测图的画法（一）、正等轴测投影的形成 正等轴测投影的投射方向S垂直于轴测投影间P，如图5-2 a所示，且确定物体空间位置的三个坐标平面与轴测投影面均倾斜，其上的三根直角坐标轴与轴测投影面的倾角均相等，物体上平行于三个坐标平面的平面图形的正等轴测投影的形状和大小的变化均相同，因此，物体的正等轴投影的立体感颇强。（二）、正等轴测投影的轴间角和轴向伸缩系数 1、轴间角 正等轴测投影，由于物体上的三根直角坐标轴与轴测投影面的倾角均相等，因此，与之相对应的轴测轴之间的轴间角也必须相等，即XOY=YOZ=XOZ=120，如图5-3a 所示。2、 轴向伸缩系数 正等轴测投影中OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数相等，即 p=q=r。经数学推导得：p=q=r0.82。为作图方便，取简化轴向伸缩系数p=q=r=1，这样，画出的图形，在沿各轴向长度上均分别放大到10.821.22倍，如图5-3c所示。（三）、平面立体的正等轴测图画法由多面正投影图画轴测图时，应先选好适当的坐标体系，画出对应的轴测轴，然后，按一定方法作图，画平面立体轴测图的基本方法是按坐标画出各顶点的轴测图，称为坐标法，见以下两例。 例5-1 根据三棱锥的三面投影图，画出它的正等轴测图。 作图步骤，如图5-4所示。 例5-2 根据六棱柱的三面投影图，画出它的正等轴测图。作图步骤，如图5-5所示。本题关键在于选定坐标轴和坐标圆点，如先确定顶面各点的坐标，可避免画不必要的作图线。（四）、曲面立体的正等轴测图的画法 1、坐标平面（或其平面）上的圆的正等轴测投影坐标平面（或其平行面）上圆的正等轴测投影为椭圆。立方体平行于坐标平面的各表面上的内切圆的正等轴测投影，如图5-6所示。 从图5-6中可以看出： （1）分别平行于坐标平面的圆的正等轴测投影均为形状和大小完全相同的椭圆，但其长轴和短轴方向各不相同。 （2）各椭圆的长轴方向垂直于不属于轴测投影（即轴测轴），且在菱形（圆的外切正方形的轴测投影）的长对角线上；短轴方向平行于不属于此坐标平面的那根坐标轴的轴测投影（即轴测轴），且在菱形的短对角线上。 （3）各椭圆的长轴等于圆的直径d，短轴等于0.58d，如图5-6a。按简化轴向伸缩系数作图，长轴等于1.22d，短轴等于0.7d，如图5-6b。为作图方便，一般采用轴向伸缩系数。 2、圆的正等轴测投影（椭圆）的画法 椭圆常用的近似画法是菱形法，现以坐标平面XOY上的圆（或其平行圆）的正等轴测投影为例，说明作图方法，如图5-7所示。3、常见曲面立体的正等轴测投影画法 （1）圆柱的画法，如图5-8所示。 （2）圆锥台的画法，如图5-9所示。 （3）圆球的画法，如图5-10所示。 4、圆角正等轴测投影的画法 从图5-7用菱形法近似画椭圆可以看出，菱形的钝角与大圆弧相对，锐角与小圆弧相对，菱形相邻两边的中垂线的交点就是大圆弧（或小圆弧0的圆心，由此可得出圆