2012年数学免费讲座1.pdf

最后一题 中等数学杂志奥林匹克的值求实数满足 若例 111 1 22 yxxyyxyx 0 1 2 11 2 11 2 11 2 1 10 0 1 04 11 1 11 2 111 2 1 111 11 2 1 1 11 2 1 1 1 2 11 2 1 10 1 2 1 1 2 1 1 2 2 22 22 2 2 22 2 2 2 v vv vv v u uyx uvvuuvvu vu vuuvvuuv vu vu vu vu vu vuxyyx vu vuxy vu vu v v u uyxvu v vy u ux 同样有 则令解 02 0 11 11 11 11 11 11 2 0 0 2 2 2 2 1 12 12 1 1 2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 222 222 2 2 yxyxbayxba xy yyxx xy yyxx yx xy xy yxxyyxba yxbayx yxbayx yxxyba aaxyayb bbyxbxa abab xbyyb yaxxa bxy ayx 故只有不可能为同号 故与故 且 又因为 或所以 即 将这两式相加得则有 二个式子分别除以第一结合 令解法 akCaBkakAakfafff akCBkakaAkafaff kaCBaAaafk aaf afffaffafaf 32222 22 2 2012 2 则 所以证 设等比数列公比为 题 年北京大学自主招生试求证 为正项等比数列 为一元二次函数 且 设例 aafkkaA kkkAakAakAaaAkaAk CkkAaCaAkafkfafff CkAkaCaAk kCBkaAkaCBkaaAkakfaff 1 0 0 2 1 2 1 2223222422 3224 222 222 所以所以不为显然 式得 由 由 aafq qxxfaffafaq 1 0 因此等 所以因此其中至少有两项相 的根均为一元二次方程则列公比为另解 假设这个等比数 相加显然 因为 证明 由柯西不等式得 的小数部分 表示其中 证明 设例 yzzyzyxzzxzxxyyxyx zxyxx zxyxzxyxx zyx zyx zxyx zyx zxyx zyx zyxzy x zy xx z x y x zyx zyx y z x z x y z y z x y zyx 223322332233 223 22223 222 22 2 222 22 2 222 2 42 2 22 22222222 2 2 322 2 3 x x x 2 3 x 0 3 21 2 21 2 2 2 11 2 111 21 11 2 32 1 321 1 1 4 1 2 2 1 1 2 1 1 n 1 1 x 2 1 11 1 2 min x 2012 min 1 2 1 0 0 4 xxxxxn x n n xi n xixixx ab nn xibaxi xfnxfxfxfxf bxaxxfxxx xfxf bxaxxfxnixba n i i n i i n i i n i n i in n i i n i i n nji ji n nji ji n i ii 是因为时 显然有当 明 我们用数学归纳法来证接下来我们证明 由切比雪夫不等式得 又 故 是单调递增考虑到设解 根据对称性 不妨 题年中国数学奥林匹克试的最大值求 设满足 且 设例题 时等号成立当且仅当 所以 故 显然成立又 所以上面转化为 单调递减 故由因为 所以只要证明 即要证 时成立即可则只要证明时成立 即假设在 n xx nbna n n ab nnn ba n xfxf x n n xi xxxnnxxx xnxxxnxnxxnxn xnx n n nxx nn xxxnx xx n x n n xx n n xi x n n xi nx n n xin n nji ji n i i n i i nnn nnnn nn nn n i i n n i i n n i i n i ni n n i i n i i n i i n i i n i i 1 x 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1n min 2 1 1 0 12 2 2 1 21 1 22 1 1x 1 2 n nx 2 1 1 2 nx1 1 2 1 1 2 1 1 21 1 2 11 2 1 2 11 2 2 11 22 2 1 2 1 22 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 11 2 12ln21 1 12 2lim 1 22lim 1 1 1 12 lim 1 12 2 lim 1 lim 1 121 1 1 1lim 2 5 n 1 1 1 1 11 1 2 1 2 1 1 1 1 0 1 1 0 n 1 0 n 22 22 n n n n n n nnn nIn n dtt n Idtdxnxtx dxxxdxxxI nInndxxxI n n n n n n n n n n n n n nn nnnnnn n n n n nn n 令 解 求极限 设例 nn n nn n nnn nn n nn n n nn n nn nnnnnnnn nnnnnn nnnnnn nnn nnn n nn nn n n n i i n i i n nn n a B A BA BA bbbbbbBAb xxxbb cccbbb b bb c n b bb b bb bbbbbbnab nannanaananan nananaannaan eanaan eanaan nxfdx x xfxf A x xf xxx xfxnxxxxxxf dxxnxxxxA a an dxxixe n an aaaa 2 215 42 211363 2 215 42 2113631 42 211363 42 211363 1 2 215 2 215 3 1 305 2 215 2 215 2 215 01505b 5 9 2 1 3 3 2 1 1 1 3 1 2 1 2012111 20121 1 12531 12531x1 1 122012 1 1 1 6 100120 2 21 31321 1 2 1 211 2111 2111 2 1 2 2 2