2017天津市大学数学竞赛试题解答(经管类).pdf

经管类 PagePage 1 1 2017 年年天津市大学数学天津市大学数学竞赛试题竞赛试题解答解答 经管类 一 填空题 本题15分 每小题3分 1 12 lim 12 1 nn n eee n nn nn 1e 解 121212 12 11 nnnnnn eeeeeeeee nnn nn nn 1211 1 1 1 1 0 limlimlim 1 1 t tt nnnn n t nnt n eeeeet ee ne ne 0 1 lim1 t t tee e t 1212 limlim1 11 nnnn nn eeeneee e nnn 两边夹法则 即得 2 0 sinln 1 lim 1 cos 1 cos x xx x 2 解 2 11 1 cos 1 cos1 cos 0 24 xxxx 2 000 1 cos sinln 1 sinln 1 1 lim4lim4lim 21 cos 1 cos xxx x xxxx x xxx 2 0 1 sin 1 4lim2 2 x x x 3 2 1 1 lim x x x x e e 则 1 解 显然0 2 2 2 1 ln 1 1 ln 1 1 1 lim limlim x x x xx x xx xxx ex e ee 2 2 0 1 ln 1 t1 lim ln 1 lim 2 x t tt xxx x t eee 故1 经管类 PagePage 2 2 4 设函数 2 1 arctanf xxx 则 50 0 f 2 50 49 解 由Taylor公式 3 2121 1 arctan 321 n nn x x xxo x n 3 222121 1 1 2 arctan1 2 321 n nn x f xxxxxxxxo x n 又 00 0 1 n nn ff f xfxxo x n 比较 50 x的系数 故有 50 02 49 f 50 得 50 2 50 0 49 f 5 已知 2 000 d xxx t xf tx dttf t dtet 则 1 0 f x dxe 解 2 000 d xxx t xf tx dttf t dtet 利用换元积分法 可得 2 000 d xxx t xf u dutf t dtet 两边对x求导 得 2 0 x x f u due 从而 1 0 f u due 二 选择题 本题15分 每小题3分 1 设函数 f x在 上连续 则以下结论不正确的是 A 若 f x为偶函数 则 0 x f x dx 为奇函数 B 若 f x为奇函数 则 0 x f x dx 为偶函数 C 若 f x为 0 T T 周期函数 则 0 x f x dx 为T周期函数 D 若 f x为 0 T T 周期函数 则 0 x f x dx 不一定为T周期函数 解 选 D 0 x F xf t dt 易验证 A B 正确 00 x TTx T T F xTf t dtf t dtf t dt 000 TxT f t dtf t dtf t dtF x 经管类 PagePage 3 3 显然 0 x f t dt 为T周期函数 0 0 T f t dt 故选 D 2 设函数 yf x 满足方程 1 210 0 nn n ya x ya x ya x ya x 若 1 000 0 n fxfxfx 10000 Va xf xa x 则正确的是 A 若n为奇数且0V 则 0 x点为极值点 B 若n为奇数且0V 则 0 x点为极小点 C 若n为偶数且0V 则 0 x点为极值点 D 若n为偶数且0V 则 0 x点为极小值点 解 选 C 由条件可得 当n为偶数 且 0 V0 n fx 时 f x在 0 x点取得极 值 特别地 0 V0 n fx f x在 0 x点取得极大值 3 设 f x在 0 上连续 且单调非增 对0ba 则一定有 A 00 ba af x dxbf x dx C 00 ba af x dxbf x dx B 00 ba af x dxbf x dx D 00 ba af x dxbf x dx 解 选 C 设 0 0 x f x dx F xx x 因为 f x在 0 上连续且单调非增 则由 积分中值定理 有 0 2 0 0 x xf xf x dx f xf F xx xx 当0ba 时 F aF b 即 00 ba af x dxbf x dx 故 C 成立 4 设函数 f x在闭区间 a b上可导 且 0f a f b 0fa f b 则 A 存在 1 a b 使 1 0f 不一定存在 2 a b 使 2 0f B 不一定存在 1 a b 使 1 0f 存在 2 a b 使 2 0f C 不存在 1 a b 使 1 0f 存在 2 a b 使 2 0f D 存在 1 a b 使 1 0f 存在 2 a b 使 2 0f 经管类 PagePage 4 4 解 选 D 由连续函数的零点定理以及导函数的零点定理即得 5 设 2 1 0 sin x Idx x 2 2 0 sin x Idx x 则正确的是 A 12 1II B 21 1II C 21 1II D 12 1II 解 选 B 显然当 0 2 x 时 2 sinxxx 2sin 1 x x 2 1 0 sin 1 x Idx x sin xx 则 22 sin xx 从而 sin sin xx xx 则 22 12 00 sin sin xx IdxIdx xx 即有 21 1II 选 B 三 6分 求极限 0 arcsin arcsin arctan arctan lim arcsinarctan x xx xx 解 33 1 arcsin 6 xxxo x 33 1 arctan 3 xxxo x 33 1 arcsin arcsin 3 xxxo x 33 2 arctan arctan 3 xxxo x 4分 33 00 33 arcsin arcsin arctan arctan limlim 1 arcsinarctan 2 xx xxxo x xx xo x 2 6分 四 6分 求常数 a b之值 使得函数 cos 0 12 1 lim 1 coscoscos 0 n axbxx f x xxnx nx x nnnn 在 0 x处可导 解 因为 12 1 lim 1 coscoscos n xxnx nx nnnn 1 1 0 0 1sin limcos cos n n i ix xxtx dtxx nnx 2分 此时 cos 0 sin 0 axbx x f x x x x x 函数 f x在0 x 处连续 则有1b 经管类 PagePage 5 5 2 000 00 sin 1 0 sin 0 limlimlim 1 1 0 cos1 0 limlim xxx xx x x f xfxx x f xxx f xfaxx fa xx 由函数 f x在 0 x处可导 则1a 故满足条件的值为 1a 1b 6分 五 6分 计算 sin3 cossin 1 cos2 x exxx dx x 解 sin3 sin 2 cossin 1sin cos 1 cos22cos x x exxxx dxexxdx xx sin sin 2 11 sincos 22cos x x e xedxdx x sinsin 111 22cos xx xdeed x 4分 sin sinsinsin 111 222cos2 x xxx e xeedxedx x sin 11 2cos x xec x 6分 六 7 分 有一平底容器 侧面由一平面曲线 0 xf yy 绕y轴旋转而成 容器底 面半径为r米 根据实际要求 当以每分钟a立方米的速度向空容器内注入液体时 液 面将以每分钟b平方米的速度均匀扩大 1 给出 f y与时间t的关系 2 求曲线 0 xf yy 的方程 解 1 由题意 液面面积 2 Sfy 将以每分钟b平方米的速度均匀扩大 且初 始时刻始时刻容器底面半径为r米 即即 2 0 dfy b dt fr 故 22 fybtr 此时 f y与时间t的关系为 2 b f ytr 或 22 tfyr b 3 分 经管类 PagePage 6 6 2 任意时刻t 容器中液体的体积 2 0 y Vatfu du 即 222 0 y a fyrfu du b 5 分 在上式两边对y求导 化简得 2 fyb f ya 积分可得 2 b y a f yce c为任意常数 由条件 0 fr 可得 2 b y a f yre 7 分 七七 7 分 求 空 间 曲 面 2222 16 4040zyxxyxyx 与 空 间 平 面 0 4zx 在坐标系oxyz 第一卦限所围立体的体积 解 积分区域D如图带斜线部分 此时所围立体体积为 2 16 D Vyx dxdy 其中 2 04 44 Dx yxxxyx 3 分 2 44 2 04 16 x x x Vdxyx dy 4 22 0 1 16 2 xx dx 换元积分 4sinxt 2 22 00 32sin 2 161 cos4 8tdtt dt 7 分 分 八 7 分 设函数 f x在在 2 2 上连续 且上连续 且 22 22 0 sin0f x dxf xxdx 证 证 明 在明 在区间区间 2 2 内至少存在两个不同的点内至少存在两个不同的点 12 使使 12 0ff 证明 设证明 设 2 x F xf t dt 则则 F xf x 且且 0 22 FF 22222 22222 sinsin sin cos cos0f xxdxxdF xF xxF xxdxF xxdx 由积分中值定理 2 2 2 2 cos cos0F xxdxF 从而有 从而有 0F 由由 0 22 FFF 5 5 分分 由由 RolleRolle 微分中值定理 微分中值定理 1 2 2 2 12 0FF 即在区间在区间 2 2 内至少存在两个不同的点内至少存在两个不同的点 12 有有 12 0ff 证毕证毕 7 7 分 分 九 7 分 已知 3 3ln 3 60 证明 33 231 x xx 0 1 x 2 40yx 经管类 PagePage 7 7 证明 设 3 31 x F xx 0 1 x 且 0 0 1 1FF 2 3 ln3 3 x F xx 2 3 ln 3 6 x F xx 3 3 ln 3 6 x Fx 44 3 ln 3 x Fx 因为 4 0 0 1 Fxx 故 Fx 在 0 1 x 上严格单调递增 3 分 由于 3 1 3ln 3 60 F 则 0 0 1 Fxx 从而 F x 在 0 1 x 向上凸 0 ln30 1 3 ln3 1 0FF 则 0F x 0 1 x 故当 0 1 x 时 1 0 FF xF 即 33 231 x xx 证毕 7 分 十 8 分 已知圆 22 1 1xy 含在椭圆 22 22 1 xy ab 内 问 a b取何值时 此椭圆的 面积最小 并求出此时的椭圆方程和椭圆面积 解 椭圆 22 22 1 xy ab 的面积为Sab 由题要求 定圆 22 1 1xy 包含在待定椭圆 22 22 1 xy ab 内 且要求待定椭圆的 面积最小 此时椭圆与圆必相切 设定圆 22 1 1xy 与待定椭圆 22 22 1 xy ab 相 切于点 00 P x y 此时 圆与椭圆在 00 P x y点切线斜率分别为 0 0 1 x K y 圆切 和 2 0 2 0 b x K a y 椭切 则在 00 P x y点 斜率相等并同时满足圆与椭圆方程 即 22 00 22 22 00 2 00 2 00 1 1 1 1 xy ab xy xb x ya y 可得 2224 0ba ba 即 4 2 2 1 a b a 4 分 此时椭圆面积Sab 最小等价于 2222 Sa b 最小 设 62 2 2 1 a f aS a 令 522 22 2 23 1 aa f a a 0 可得 6 0 2 aa 舍 此时 3 2 2 b 易求 2 6 1080 2 f 故当 6 2 a 3 2 2 b 时 椭圆面积最小 椭圆 经管类 PagePage 8 8 面积为 3 3 S 2 椭圆标准方程为 22 1 39 22 xy 8 分 十一 8 分 设连续函数 f x y满足 12 22 32 8 DD f x yxyxf x y dxdyyf x y dxdy 其 中 1 11 11 Dx yxy 22 2 1 Dx yxy 求 f x y在 22 1xy 上的最值 解 令 1 D f x y dxdy A 2 D f x y dxdy B 则 22 32 8 f x yxyAxBy 分别对函数 f x y在 1 D和 2 D上积分 则有 1111 22 DD 32 A 8 DD f x y dxdyxydxdyAxdxdyBydxdy 222 22 DD2 32 B 8 DD f x y dxdyxydxdyAxdxdyBydxdy 由于 1122 0 DDDD xdxdyydxdyxdxdyydxdy 则 则 1 22 D 8 A 3 xydxdy 2 22 D B 2 xydxdy 3 3 分 分 从而从而 22 f x yxyxy 令 210 210 x y fx yx fx yy 得唯一驻点 00 1 1 2 2 xy 且 00 00 20 40 20 02 xxxy xx yxyy xy ff fxy ff 故 00 x y为 22 f x yxyxy 的最小值点 00 1 2 f xy 5 分 在闭区域 22 1xy 的边界上 考虑函数 22 f x yxyxy 的最值 引入 L 函数 2222 1 L