柯西不等式在中学数学中的证明和应用.pdf

第 2 9卷第 2期 2 0 0 8年 2月 井冈山学院学报 自然科学 J o u r n a l o f J i n g g a n g s h a n U n i v e r s i t y S c i e n c e s a n d T e c h n o l o g y V0 1 2 9 N o 2 F e b 2 O 0 8 柯西不等式在中学数学中的证明和应用 孕 斤 吉安市白鹭洲中学 江西吉安3 4 3 0 0 0 摘要 柯西不等式是一个非常重要的不等式 灵活巧妙地应用它 可以使一些较为困难的问题迎刃而解 本文 通过几个例子来讲述柯西不等式在证明不等式 解三角形相关问题 求 函数最值 解方程等问题 中的应用 关键词 柯西不等式 证明 应用 中图分类号 01 5 1 2 5 文献标识码 A 文章编号 1 6 7 3 4 7 1 8 2 0 0 8 0 2 0 1 2 4 0 2 靖司 育 教材 2 页的 窆 6 练 习 中 有 这 样 一 个不等式 求证 h 2 a c b d a b 一 一 一 c 这个不等式有很 多证明方法 如 比较法 显然 当且仅当 a k b 1 2 几 时等号成立 构造函数法 构造 向量法等都可以很快得 出结论 而本文开头提 出的问题恰好是柯西不等式 的 这个不等式为柯西不等式 的二维形式 在此基础上 二维形式 其证明思路同上 本文就不一一累述 攀 誓 要 茎 2柯 西 不 等 式 的 应 用 从 中 发 现 在 中 学 范 围 内 灵 活 地 应 用 柯 西 不 等 式 可 一 一 以使一些较为困难地问题迎刃而解 本文就柯西不 2 1 证明不等式 证明和应用两个方面 探讨其在高中数学 中 例 1 设 口 6 R 叶 6 1 求 证 4 的 应 用 1 柯西 c a u c h y 不等式的证明 1 证明 1 1 叶 6 口 6 6 6 2 口 6 2 6 R 1 2 几 等号当 且仅当口 口 2 4 篆 常 数 2 现 将 当 且 仅 当 2 m I等 号 成 立 它 的 证 明 介 绍 如 下 且L x 可 肌且 分析 从不等式结构上分析 若 两边 同乘 以 4 例 2 设 R i 1 2 几 求证 口 c 2 i 1 n 2 耋 类 竺 于 鍪 的 判 别 式 A b 4 a c 故 可 2 2 2 J J 2 J 2 2 构 造 一 元二次函数来证明 证 舭 耋 6l2 当 竺 一成 1 若 全为 O 则结论显然成立 立 舢 测 艏 数 墨 攀 且 大于 的一元二次函数 并且 戈 一 6 o 几 2 求证 故厂 的判别式 分析 要证明 2 主 6 靴 1 g 收稿日期 2 0 0 7 1 2 一 I l 作者简介 李芹 1 9 7 9 一 女 江西安 福人 在读北京师范大学教育硕士 中教一级 主要研究方 向 高中数学教学 维普资讯 第 2 9卷第 2期 李芹 柯 西不等式在中学数学中的证明和应用 1 2 5 2 1 g 业 只需证 塑 凡 竺 证明 n 1 厶 2 厶 3 凡 一 1 厶 m 厶 1 2 1 1 1 厶 2 厶 3 厶 凡 一 1 2 帆厶 1 2 3 也 凡 一 1 1 又因 O 口 1 n 且 凡 2 故 1 1 2 3 n 1 帆 竺 竺 三 兰 二 旦 n 即 1 g 塑 塑 一 n 2 1 g 旦 塾 2 x 2 2求参数范围 例 4 已知对于满足等式 x 3 y z 3的任意实数 对 恒有l a x y l 2 求实数a的取值范围 Iax y l 古 l a 2 厮 师 要使对 恒有l a x y l 2 l a x y l 2 即 勺 2 一 1 口 1 2 3 解三角形的相关问题 例 5 AA C的三边长为 a b C 其外接圆半径 为R 求证 6 2 c 1 3 6 R 证明 由三角形中的正弦定理得 s i n A a 所 以 丽 1 等 同 理丽 1 等 等 于 是左 边 6 2 c J 4 R 2 等 4 R 2 堡 忆 丝 3 6 Ra 2 I 口 一 也 故原不等式得证 例 6 设 P是 V AB C内的一点 x y z是 P到三边 a b C的距离 R是 V A B C外接圆的半径 证明 VT 1 2 R l 口 6 c l 一 I s i n A s i n B s i n C一 I 所 以 僦 c 2 S V T X ax by cz 僦 b y c 2 S 2 等 鲁 b c ca 一 击 岍 当且仅当 4 3X 3 2 x V3 即 5 4 2 3 时 J L 6 2 3 9 维普资讯 井冈山学院学报 自然科学 第 2 9卷第 2期 书的现象 目前 在使用的义务教育课程标 准实验 教科书共有 四套 分别 由江苏教育出版社 人 民教 育出版社 北京师范大学 出版社 河北少儿出版社 出版 在使用的普通高中课程标准实验教科书共有 五套 分别 由江苏教育 出版社 人 民教育出版社 河 北少儿 出版社 浙 江科技出版社 中国地图出版社 出版 这些新教科书都体现了课程标准的基本思路 和内容要求 总之 传统生物课 程与新课 程在课 程评价方 式 课程管理制度与师生 的角色等方 面也存在不 同 但要将这将这些不同贯彻到教学实践 中 还需 广大生物学教师大力开展探索性工作 参考文献 1 中华人民共和国教育部 全 日制义务教育 生物课程标准 实验稿 M 北京 北京师范大学出版社 2 0 0 1 2 中华人民共和国教育部 普通高中生物课程标准 M 北京 人民教育出版社 2 0 0 3 3 生物课 程标 准研制组 全 日制义务教育 生物课程标准解 读 M 北京 北京师范大学出版社 2 0 0 2 4 陆建身 生物教育展望 M 上海 华东师范大学出版社 2 0 0 1 5 汪忠 生物新课程教 学论 M 北京 高等教育 出版社 2 0 0 3 6 刘恩山 普通高中生物课程标准 的设计思路和主要特点 J 生物学通报 2 0 0 3 3 8 5 2 8 3 0 Co mp a r i s o n o f b i o l o g y t r a d i t i o n c u r r i c u l u m a n d n e w CUrn CU 眦 n ZHOU SHe n g t u a n XU Do n g f e n g D e p a r t me n t o f L i f e S c i e n c e J i n g g a n s h a n U n i v e r s i t y J i p a n 3 4 3 0 0 9 C h i n a Ab s t r a c t C u r r i c u l u m r e f o r m i s t h e mo s t i mp o r t a n t t a s k o f o u r p r e s e n t f o u n d a t i o n e d u c a t i o n T h e p a p e r ma d e a c o mp a r i s o n i n t h e c u r r i c u l u m g o a l c u r r i c u l u m i d e a c u r r i c u l u m o b j e c t i v e c u r r i c u l u m c o n t e n t a n d s y s t e m b e t w e e n b i o l o g y t r a d i t i o n c u r ri c u l u m a n d n e w c u r ri c u l u m h o p e t h a t C an h e l p n u me r o u s mi d d l e s c h o o l b i o l o g y t e a c h e r s Ke y wo r d s b i o l o g y t r a d i t i o n c u r r i c u l u m n e w c u r ric u l u m 责任校对 罗辉 上接 第 1 2 5页 6 9 1 8 一 i 一 一 一 1 一 以上几例可以看出 柯西不等式不仅在高等数 学中是一个十分重要的不等式 而且它对初等数学 也有很好的指导作用 利用它能方便地解决一些 中 学数学中的有关问题 参考文献 1 李永新 李德禄 中学数学教材教法 M 长春 东北师范大学 出版社 I d e n t i fic a t i o n a n d a p p l i c a t i o n 0 f c a u c h y i n e q u a l i t y i n 1 11 l m l d dl e S C n0 0 1 m a t he m a t i C S L I Q i n B l u z h o u S e n i o r M i d d l e S c h o o l o f J i a n J i a n 3 4 3 0 0 0 C h i n a Ab s t r a c t Ca u e h y i ne q ua l i t y i s a n e x t r e me l y i mp o rta n t i n e q u a l i t y t h e ni mb l e i n g e ni o u s a p p l i c a t i o n i t ma y c a u s e s o m e mo r e d i f fi c u l t q u e s t i o n t o b e e a s i l y s o l v e d 1 h i s a rt i c l e n a r r a t e s c a u c h y i n e q u a l i f y t h r o u g h s e v e r a l e x a mp l e s t h e i n e q u a l i t y i n t h e p r o o f i n e q u a l i t y s o l v e s the t r i a n g l e c o r r e l a t i o