推理与证明、数系的扩充与复数的引入.ppt

第十四单元推理与证明 数系的扩充与复数的引入 知识体系 第一节合情推理与演绎推理 基础梳理 1 合情推理 1 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳推理 简言之 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 2 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简言之 类比推理是由特殊到特殊的推理 3 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理 我们把它们统称为合情推理 2 演绎推理 1 演绎推理 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 我们把这种推理称为演绎推理 简言之 演绎推理是由一般到特殊的推理 2 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 典例分析 题型一归纳推理 例1 如图所示 一个质点在第一象限运动 在第一秒钟内它由原点运动到 0 1 而后接着按图所示在与x轴 y轴平行的方向上运动 且每秒移动一个单位长度 那么2000秒后 这个质点所处位置的坐标是 A 44 25 B 45 25 C 25 45 D 24 44 分析归纳走到 n n 处时 移动的长度单位及方向 解质点到达 1 1 处 走过的长度单位是2 方向向右 质点到达 2 2 处 走过的长度单位是6 2 4 方向向上 质点到达 3 3 处 走过的长度单位是12 2 4 6 方向向右 质点到达 4 4 处 走过的长度单位是20 2 4 6 8 方向向上 猜想 质点到达 n n 处 走过长度单位是2 4 6 2n n n 1 且n为偶数时运动方向与y轴相同 n为奇数时运动方向与x轴相同 所以2000秒后是指质点到达 44 44 后 继续前进了20个单位 由图中规律可得向左前进了20个单位即质点位置是 24 44 学后反思归纳推理的一般步骤 1 通过观察个别情况发现某些相同的性质 2 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 猜想 举一反三 在数列 an 中 n N 试猜想这个数列的通项公式 解析 题型二类比推理 例2 类比实数的加法和向量的加法 列出它们相似的运算性质 分析实数的加法所具有的性质 如结合律 交换律等 都可以和向量加以比较 解 1 两实数相加后 结果是一个实数 两向量相加后 结果仍是向量 2 从运算律的角度考虑 它们都满足交换律和结合律 即 a b b a a b b a a b c a b c a b c a b c 3 从逆运算的角度考虑 二者都有逆运算 即减法运算 即a x 0与a x 0都有唯一解 x a与x a 4 在实数加法中 任意实数与0相加都不改变大小 即a 0 a 在向量加法中 任意向量与零向量相加 既不改变该向量的大小 也不改变该向量的方向 即a 0 a 学后反思 1 类比推理是个别到个别的推理 或是由一般到一般的推理 2 类比是对知识进行理线串点的好方法 在平时的学习与复习中 常常以一到两个对象为中心 把与它有类似关系的对象归纳整理成一张图表 便于记忆运用 举一反三 2 类比圆的下列特征 找出球的相关特征 1 平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆 2 平面内不共线的三个点确定一个圆 3 圆的周长和面积可求 4 在平面直角坐标系中 以点为圆心 r为半径的圆的方程为 解析 1 在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球 2 空间中不共面的四个点确定一个球 3 球的表面积与体积可求 4 在空间直角坐标系中 以点为球心 r为半径的球的方程为 题型三演绎推理 例3 12分 已知函数 其中a 0 b 0 x 0 试确定f x 的单调区间 并证明在每个单调区间上的增减性 分析利用演绎推理证明 证明设 1 则 3 当 时 6 0 即 7 f x 在 0 上是减函数 8 当时 10 0 即 11 f x 在 上是增函数 12 学后反思这里用了两个三段论的简化形式 都省略了大前提 第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义 第二个三段论所依据的大前提是增函数的定义 小前提分别是f x 在 0 上满足减函数的定义和f x 在 上满足增函数的定义 这是证明该问题的关键 举一反三 3 用三段论证明函数f x 2x在 1 上是增函数 证明设 1 1 则 易错警示 例 在Rt ABC中 三边长分别为a b c 则 类比在三棱锥中有何结论 错解在三棱锥V ABC中 有 错解分析错误在于没有注意到原命题中的三角形是直角三角形 在解题中没有把三棱锥的题设与其进行类比 正解在三棱锥V ABC中 VA VB VC 则 考点演练 11 观察下列等式 由上面两式的结构规律 你是否能提出一个猜想 并证明你的猜想 10 2010 宁夏银川模拟 观察下列不等式 1 由此猜想第n个不等式 解析 由1 可猜想第n个不等式为 答案 解析由 可看出 两角差为30 则它们的相关形式的函数运算式的值均为 猜想 若 30 则 30 也可直接写成下面进行证明 故 12 用 三段论 的形式写出下列演绎推理 1 若两角是对顶角 则这两角相等 所以若两角不相等 则这两角不是对顶角 2 矩形的对角线相等 正方形是矩形 所以正方形的对角线相等 3 0 332 是有理数 4 y sinx x R 是周期函数 解析 1 两个角是对顶角 则两角相等 大前提 1和 2不相等 小前提 1和 2不是对顶角 结论 2 每一个矩形的对角线相等 大前提 正方形是矩形 小前提 正方形的对角线相等 结论 3 所有的循环小数都是有理数 大前提 0 332 是循环小数 小前提 0 332 是有理数 结论 4 三角函数是周期函数 大前提 y sinx是三角函数 小前提 y sinx是周期函数 结论 第二节直接证明与间接证明 基础梳理 1 证明 1 证明分为与 直接证明包括 等 间接证明主要是 2 综合法 一般地 利用 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 3 分析法 一般地 出发 逐步寻求使 直至最后 把要证明的结论归结为 已知条件 定义 定理 公理等 这种证明的方法叫做分析法 直接证明 间接证明 综合法 分析法 反证法 已知条件和某些数学定义 定理 公理等 从要证明的结论 它成立的充分条件 判定一个明显成立的条件 原命题不成立 正确的推理 假设错误 证明了原命题成立 由因导果 4 反证法 一般地 假设 即在原命题的条件下 结论不成立 经过 最后得出矛盾 因此说明 从而 这样的证明方法叫做反证法 2 直接证明 1 综合法是 它是从已知条件出发 顺着推证 经过一系列的中间推理 最后导出所证结论的真实性 用综合法证明题的逻辑关系 B A为已知条件或数学定义 定理 公理 B为要证结论 它的常见书面表达是 或 2 分析法是 它是从要证的结论出发 倒着分析 逐渐地靠近已知 3 间接证明用反证法证明问题的一般步骤 1 假定所要证的结论不成立 而设结论的反面 否定命题 成立 否定结论 2 将 反设 作为条件 由此出发经过正确的推理 导出矛盾 与已知条件 已知的公理 定义 定理及明显的事实矛盾或自相矛盾 推导矛盾 3 因为推理正确 所以产生矛盾的原因在于 反设 的谬误 既然结论的反面不成立 从而肯定了结论成立 结论成立 执果索因 反设 归谬 结论 典例分析 分析从已知条件和已知不等式入手 推出所要证明的结论 题型一综合法的应用 例1 已知a b 0 求证 证明 a b 0 b 即2b 进而 2b a b a b 2b 即0 2 a b 学后反思综合法从正确地选择已知真实的命题出发 依次推出一系列的真命题 最后达到我们所要证明的结论 在用综合法证明命题时 必须首先找到正确的出发点 也就是能想到从哪里起步 我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质 逐层推进 从而由已知逐渐引出结论 举一反三 1 设a 0 b 0 a b 1 求证 证明 a b 1 当且仅当a b 时 成立 题型二分析法的应用 例2 设a b c为任意三角形三边长I a b c S ab bc ca 试证 I2 4S 分析将I平方得出a b c两两乘积及a2 b2 c2和的式子 比较已知条件和结论 宜采用分析法 证明I2 a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ac a2 b2 c2 2S 故要证I2 4S 只需证a2 b2 c2 2S 4S 即a2 b2 c2 2S 这对于保证结论成立是充分必要的 欲证上式 只需证a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 0 即证 a2 ab ac b2 bc ba c2 ca cb 0 只需证三括号中的式子均为负值即可 即证a2 ab ac b2 bc ba c2 ca cb 即a b c b a c c a b 它们显然成立 因为三角形任一边小于其他两边之和 故I2 4S 学后反思 1 应用分析法易于找到思路的起始点 可探求解题途径 2 应用分析法证明问题时要注意 严格按分析法的语言表达 下一步是上一步的充分条件 2 若sin cos 1 求证 sin6 cos6 1 举一反三 证明 由sin cos 1 sin2 cos2 2sin cos 1sin cos 0 欲证sin6 cos6 1 只需证 sin2 cos2 sin4 sin2 cos2 cos4 1 即证sin4 cos4 sin2 cos2 1 即证 sin2 cos2 2 3sin2 cos2 1 即证sin2 cos2 0 由 式知 上式成立 故原式成立 题型三反证法的应用 例3 14分 若a b c均为实数 且a x2 2y b y2 2z c z2 2x 求证 a b c中至少有一个大于0 分析命题伴有 至少 不都 都不 没有 至多 等指示性语句 在用直接方法很难证明时 可以采用反证法 证明假设a b c都不大于0 即a 0 b 0 c 0 2 则a b c 0 4 而a b c x2 2y y2 2z z2 2x x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 6 3 0 且 x 1 2 y 1 2 z 1 2 0 8 a b c 0 10 这与a b c 0矛盾 12 因此a b c中至少有一个大于0 14 学后反思反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立 反证法的主要依据是逻辑中的排中律 排中律的一般形式是 或者是A 或者非A 即在同一讨论过程中 A和非A有一个且仅有一个是正确的 不可能有第三种情况出现 举一反三3 已知a b c是一组勾股数 且 求证 a b c不可能都是奇数 证明 假设a b c都是奇数 且a b c是一组勾股数 又 a b c都是奇数 也都是奇数 是偶数 与已知相矛盾 a b c不可能都是奇数 分析证明函数是偶函数 关键是证明函数关于y轴对称 即对称轴是x 0 题型四利用分析综合法证明题目 例4 12分 设f x a bx c a 0 若函数f x 1 与f x 的图象关于y轴对称 求证 fx 12为偶函数 证明要证f x 为偶函数 只需证明其对称轴为x 0 即只需证 只要证a b 4 由已知 抛物线f x 1 的对称轴x 与对称轴x 关于y轴对称 8 即有 a b f x 为偶函数 12 学后反思 1 本题证明的前半部分用的是分析法 要证结论成立 只需证明a b 后半部分用综合法证明了a b 这一例是典型的分析综合法证明 2 在用分析综合法证明时 可先分析再综合 也可以先综合再分析 举一反三4 2009 豫南七校联考 数列中 1 n 2时 其前n项的和满足 1 求证 数列是等差数列 2 设 数列的前n项和为 求证 解析 1 将 n 2 代入得两边取倒数得 n 2 2n 1 n 2 即 n 2 当n 1时 上式也成立 数列构成以为首项 公差为2的等差数列 2 易错警示 例 用反证法证明 若a b 0 则 错解假设不大于 即 因为a 0 b 0 所以即a b 这与已知矛盾 所以假设不成立 原命题正确 错解分析否定结论时 没有全面否定 a不大于b包括或 正解假设不大于 即或 因为a 0 b 0 所以又由这些都与已知条件a b 0矛盾 所以 考点演练 10 完成反证法证题的全过程 已知 a1 a2 a7是1 2 7的一个排列 求证 乘积p a1 1 a2 2 a7 7 为偶数 证明 假设p为奇数 则均为奇数 因奇数个奇数之和为奇数 故有奇数 0 但奇数 0 这一矛盾说明p为偶数 答案 证明 由余弦定理 得a2 b2 c2 2bccosA 则 又由正弦定理 得 11 在 ABC中 角A B C所对的边为a b c 求证 12 已知a b c d都是正数 且bc ad 求证 解析 a b c d R 且bc ad 又 不等式成立 第三节数学归纳法 基础梳理 1 数学归纳法的适用对象一般地 对于某些与有关的数学命题 我们用数学归纳法公理 2 数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时 其步骤如下 1 如果当n取第一个值n0 例如n0 1 2等 时结论正确 2 假设当时结论正确 证明当n 时结论也正确 那么 命题对于从n0开始的所有正整数n都成立 正整数 n k k N 且k n0 k 1 典例分析 题型一与自然数n有关的等式的证明 例1 用数学归纳法证明 分析用数学归纳法证明问题 应严格按步骤进行 并注意过程的完整性和规范性 证明 1 当n 1时 左边 12 4 18 右边 18 等式成立 2 假设当n k k N 时 成立 当n k 1时 所以当n k 1时 等式也成立 综上可得 等式对于任意n N 都成立 学后反思用数学归纳法证题时两个步骤缺一不可 证当n k 1时命题成立 必须要用当n k时成立的结论 否则 就不是数学归纳法证明 举一反三1 用数学归纳法证明 解析 1 当n 1时 左边 右边 等式成立 2 假设n k k N 时 成立 当n k 1时 左边 n k 1时 等式成立 综上可得 对于任意n N 等式都成立 题型二用数学归纳法证明整除问题 例2 求证 n N 能被9整除 分析当n 1时 原式 27能被9整除 因此要研究与之间的关系 以便利用归纳假设能被9整除来推证也能被9整除 证明设 1 f 1 3 1 1 7 1 27能被9整除 因此当n 1时命题成立 2 假设n k k N 时命题成立 即 k N 能被9整除 则 由于f k 能被9整除 能被9整除 所以能被9整除 由 1 2 知 对所有正整数n 能被9整除 学后反思整除问题一般是将n k 1时的结论设法用n k时的结论表达 而后利用假设来讨论判断是否满足整除 举一反三2 用数学归纳法证明 n N 能被x 2整除 证明 1 当n 1时 1 3 x 2 x x 2 能被x 2整除 2 假设当n k时 能被x 2整除 则可设 f x 为k 1次多项式 当n k 1时 能被x 2整除 综上可知 对任意n N 1 3 x n能被x 2整除 题型三用数学归纳法证明不等式 例3 求证 n 2 n N 分析和正整数有关 因此可用数学归纳法证明 证明 1 当n 2时 左边 不等式成立 2 假设当n k k 2 k N 时不等式成立 即成立 则当n k 1时 所以当n k 1时不等式也成立 由 1 2 可知原不等式对一切n 2 n N 都成立 学后反思在用数学归纳法证明不等式时 往往需综合运用不等式证明的其他方法 如比较法 放缩法 配方法 分析法 基本不等式等 举一反三3 求证 n N 证明 1 当n 1时 左边 n 1时不等式成立 2 假设n k k N 时原不等式成立 即则当n k 1时 左边 左边 1 n k 1时原不等式成立 综上可得 原不等式对于一切n N 都成立 题型四用数学归纳法证明有关数列问题 例4 14分 在数列 an 中 当n N 时满足 且设 求证 各项均为3的倍数 分析由于要证的是与正整数n有关的命题 可用数学归纳法证明 这里要注意是由递推关系给出的 证明 1 2 当n 1时 能被3整除 6 2 假设n k k N 时命题成立 即bk a4k是3的倍数 则当n k 1时 10 由归纳假设 是3的倍数 故可知是3的倍数 当n k 1时命题成立 12 综合 1 2 知 对任意n N 数列各项都是3的倍数 14 学后反思在证n k 1时 对应用递推关系式裂项 裂项后需产生项 这样便于应用归纳假设 除此之外就是凑成3的倍数 举一反三4 是等比数列 公比为q 求证 对于一切n N 都成立 证明 1 当n 1时 等式成立 2 假设当n k k N 时 等式成立 即 则当n k 1时 即当n k 1时等式也成立 由 1 2 可得 等式对一切n N 都成立 易错警示 例 已知 n N 用数学归纳法证明时 错解 错解分析 中共有n项相加 中应有项相加 中应有项相加 中应有项 正解 解析 1 当n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 2 假设当n k k N 时等式成立 即1 4 7 3k 2 k 3k 1 成立 则当n k 1时 1 4 7 3k 2 3 k 1 2 k 3k 1 3k 1 3k2 5k 2 12 k 1 3k 2 k 1 3 k 1 1 解析 首先必须应用归纳假设 然后采用配凑法 10 改编题 用数学归纳法证明 能被6整除 的过程中 当n k 1时 对式子应变形为 答案 11 用数学归纳法证明 1 4 7 3n 2 n 3n 1 考点演练 即当n k 1时等式成立 由 1 2 可知 原等式对任意n N 都成立 12 已知数列计算数列和 根据计算结果 猜想Sn的表达式 并用数学归纳法进行证明 解析 上面四个结果中 分子与项数n一致 分母可用项数n表示为3n 1 于是可以猜想证明 1 当n 1时 左边 右边 猜想成立 2 假设当n k k N 时猜想成立 即成立 则当n k 1时 所以当n k 1时 猜想成立 根据 1 2 知猜想对任意n N 都成立 第四节数系的扩充与复数的引入 基础梳理 a bi a b b b 0 b 0 a 0且b 0 a c且b d a 0且b 0 1 复数的有关概念 1 形如的数叫做复数 其中和都是实数 其中a叫做复数z的实部 叫做复数z的虚部 对于复数a bi a b R 当且仅当时 它是实数 当时 叫做虚数 当时 叫做纯虚数 2 复数的相等如果a b c d都是实数 那么a bi c di a bi 0 直角坐标系 实数 实轴 虚轴 原点 纯虚数 虚数 一一对应的 一一对应的 相等 互为相反数时 a bi 2 复平面的概念建立来表示复数的平面叫做复平面 x轴叫做 y轴叫做 实轴上的点都表示 除外 虚轴上的点都表示 各象限内的点都表示 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是 复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是 3 共轭复数概念当两个复数的实部 虚部 这两个复数叫做互为共轭复数 复数z的共轭复数用z表示 即 a bi 则 a b R a c b d i 交换律 结合律 4 复数的加法与减法 1 复数的加 减法运算法则 a bi c di 2 复数加法的运算定律复数的加法满足 即对任何 C 有 3 复数加 减法的几何意义 复数加法的几何意义若复数对应的向量不共线 则复数是以为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数 复数减法的几何意义 ac bd bc ad I 复数是连接向量的终点 并指向被减向量的向量所对应的复数 5 复数的乘法与除法设 a bi c di 1 复数的乘法运算法则 a bi c di 交换律 结合律 分配律 2 复数的除法运算法则 a bi c di c di 0 典例分析 题型一复数的概念 例1 已知复数z 1 i m 3 i 6i 则当m为何实数时 复数z是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 4 零 5 对应点在第三象限 分析复数z a bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值 解 z 3m m 6 i m m 3 m 2 m 3 i 1 当m 2或m 3时 z为实数 2 当m 2且m 3时 z为虚数 3 当m 0时 z为纯虚数 4 当m 3时 z 0 5 由m m 3 0 m 2 m 3 0 解得0 m 3 当m 0 3 时 z对应的点在第三象限 学后反思利用复数的有关概念求解 使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法 也是化归思想的重要表现 举一反三1 求适合等式 2x 1 i y y 3 i的x y的值 其中x R y是纯虚数 解析 x R y是纯虚数 可设x a y bi a b R且b 0 代入等式得 2a 1 i bi bi 3 i 即2a 1 i b b 3 i 2a 1 b 1 b 3 解得a b 4 x y 4i 题型二复数代数形式的运算 例2 计算 学后反思复数除法一般是将分母实数化 即分子分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简 分析熟练掌握复数代数形式的运算法则及i的方幂的运算和 2i i等运算结果 能使运算更加简捷 解原式 2 求7 24i的平方根 题型三复数集上的代数方程 例3 12分 已知1 i是方程 bx c 0的一个根 b c R 1 求b c的值 2 试说明1 i也是方程的根 解析 设平方根为x yi x y R 则 7 24i 即 2xyi 7 24