九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 第2节 矩形的性质与判定课件 （新版）北师大版.ppt

北师大版九年级上册 第二节 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第一课时矩形的性质 下面几幅图片中都含有一些平行四边形 观察这些平行四边形 你能发现它们有什么样的共同特征 这些平行四边形中都有一个角是直角 像这样的平行四边形叫矩形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形在生活中随处可见 你能举出一些生活中矩形的例子吗 与同伴交流 平行四边形 有一个角是直角 矩形 矩形是特殊的平行四边形 1 矩形的定义 木门 纸张 电脑显示屏 生活中的矩形图片 1 矩形是特殊的平行四边形 它具有一般平行四边形的所有性质 你能列举一些这样的性质吗 2 你认为矩形还具有哪些特殊的性质 与同伴交流 矩形 边 角 对角线 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 1 矩形是轴对称图形吗 如果是 它有几条对称轴 对称轴之间有什么位置关系 用矩形纸片折一折 回答下列问题 矩形是轴对称图形 矩形是中心对称图形 o 2 矩形的性质 2 从边 角 对角线方面 观察或度量猜想矩形的特殊性质 边 对边平行且相等 与平行四边形相同 邻边互相垂直 角 四个角是直角 对角线 相等且互相平分 已知 如图 四边形abcd是矩形 abc 90 对角线ac与bd相交于点o 求证 1 abc bcd cda dab 90 2 ac bd 分析 1 由矩形的定义 利用对角相等 邻角互补可使问题得证 2 根据矩形的性质 可转化为全等三角形 sas 来证明 定理 矩形的四个角都是直角 两条对角线相等 证明 1 四边形abcd是矩形 abc cda bcd dab 矩形的对角相等 abc bcd 180 又 abc 90 bcd 90 abc bcd cda dab 90 2 四边形abcd是矩形 ab dc 矩形的对边相等 在 abc和 dcb中 ab dc abc dcb bc bc abc dcb ac db 矩形的特殊性质 性质1 矩形的四个角都是直角 性质2 矩形的两条对角线相等 几何语言 四边形abcd是矩形 dab abc bcd cda 90 ac bd 仔细观察rt abc bo是rt abc的什么特殊线段 与斜边有什么数量关系 bo是斜边ac上的中线 bo等于ac的一半 推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 例1 如图矩形abcd的两条对角线相交于点o 若ac 4 则od的长是 c 解析 根据矩形的对角线相等得到bd ac 4 再根据对角线互相平分得到od 2 故选c a 1b c 2d 例2 如图 矩形abcd沿ae折叠 使点d落在bc边上的点f处 如果 baf 60 那么 dae等于 a 15 b 30 c 45 d 60 a 解析 根据矩形的四个角都是直角 得到 bad 90 根据已知可以计算出 fad 30 再由折叠的性质可以得到 dae 15 例3 如图 在 abc中 ab ac 8 ad是底边上的高 e为ac的中点 则de 解析 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得 de等于ac的一半 所以de 4 答案 4 4 例4 已知 如图 ac bd是矩形abcd的两条对角线 ac bd相交于点o aod 120 ab 2 5cm 求矩形对角线的长 解 四边形abcd是矩形 bd 2ab 2 2 5 5 cm ac bd dab 90 aod 120 oda oad oa od 定理 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 求证 abc是直角三角形 已知 cd是 abc边ab上的中线 且 分析 要证明 abc是直角三角形 可以将点a b c构造平行四边形 然后证明其对角线相等 即可证明是矩形 证明 延长cd到e 使de dc 连接ae be 四边形acbe是平行四边形 ab 2cd ce 2cd ac db 四边形acbe是矩形 ad bd cd ed acb 90 abc是直角三角形 课堂总结 请各位同学回忆一下矩形的性质有哪些 请从边 角 对角线和对称性的角度进行分析 边 角 对角线 对称性 矩形的两组对边平行且相等 矩形的邻边垂直 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线互相平分 矩形的对角线相等 矩形是中心对称图形 对称中心是两条对称轴的交点 矩形是轴对称图形 对称轴分别是两条长的中点的连线和两条宽的中点的连线 1 习题2 1 知识技能第2 3两题2 预习第二课时 第二课时矩形的判定 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 3 矩形的特殊性质 1 矩形的定义 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 2 矩形的特征 矩形是一个轴对称图形和中心对称图形 我们可以怎样判定一个四边形是矩形 制作一个如图所示的平行四边形的活动框架 在一个平行四边形活动框架上 用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上 拉动一对不相邻的顶点时 平行四边形的形状会发生什么变化 探究1 当时 平行四边形为矩形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 定义 几何语言 四边形abcd是平行四边形且 a 90 四边形abcd是矩形 矩形的判定1 定义法 矩形的性质 两条对角线相等 中 对角线互相平分 是平行四边形所具有的一般性质 而 对角线相等 是矩形所特有的性质 由此 可以得到一个猜想 如果一个平行四边形的两条对角线相等 那么这个平行四边形是一个矩形 除定义法之外 还能找到其他的判定方法吗 工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形 一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度 如果对角线长相等 则窗框一定是矩形 你知道为什么吗 对角线相等的平行四边形是矩形 如图 在平行四边形abcd中 ac bd是它的两条对角线 且ac db 证明 四边形abcd是矩形 证明 四边形abcd是平行四边形 ab dc ab dc 又 bc cb ac db abc dcb abc dcb 平行四边形abcd是矩形 ab dc abc dcb 180 abc dcb 分析 要证明 abcd是矩形 只要证明有一个角是直角即可 对角线相等的平行四边形是矩形 在 abcd中 ac bd abcd是矩形 矩形的判定2 几何语言 一同学用 边 直角 边 直角 边 直角 边 这样四步 画出了一个四边形 她说这就是一个矩形 她的判断对吗 为什么 猜想 有三个角是直角的四边形是矩形 你能证明上述结论吗 已知 如图 在四边形abcd中 a b c 90 分析 利用同旁内角互补 两直线平行来证明四边形是平行四边形 可使问题得证 证明 a b c 90 a b 180 b c 180 ad bc ab cd 求证 四边形abcd是矩形 四边形abcd是平行四边形 四边形abcd是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形abcd中 a b c 90 四边形abcd是矩形 矩形的判定3 几何语言 矩形常用的判定方法 1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 2 对角线相等的平行四边形是矩形 3 有三个角是直角的四边形是矩形 例1 判断题 1 有一个角是直角的四边形是矩形 2 四个角都相等的四边形是矩形 3 对角线相等的四边形是矩形 4 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 5 两组对边分别平行 且对角线相等的四边形是矩形 例2 如图所示 已知 abcd 下列条件 ac bd ab ad 1 2 ab bc中 能说明 abcd是矩形的有 填写序号 解析 根据对角线相等的平行四边形是矩形 矩形的定义 答案 例3 如图 在平行四边形abcd中 m是ad边的中点 且mb mc 求证 四边形abcd是矩形 分析 要证明平行四边形abcd是矩形 则只需验证有一个角是直角或对角线相等即可 根据题意可得 amb dmc 从而有 a d 再结合ab cd 得到 a 90 即得证 证明 四边形abcd是平行四边形 ab dc ab dc a d 180 m是ad的中点 am md mb mc amb dmc sss a d a d 180 a 90 平行四边形abcd是矩形 例4 已知平行四边形abcd的对角线ac bd交于o aob是等边三角形 ab 4cm 求这个平行四边形的面积 巩固练习 1 如图 四边形abcd的对角线ac bd相交于点o 且ac bd 则下列条件能判定四边形abcd为矩形的是 a ab cdb oa oc ob odc ac bdd ab cd ad bc 解 a 由ab dc ac bd无法判断四边形abcd是矩形 故错误b oa oc ob od 四边形abcd是平行四边形 ac bd 四边形abcd是矩形 故正确c 由ac bd ac bd无法判断四边形abcd是矩形 故错误 d 由ab cd ac bd无法判断四边形abcd是矩形 故错误 b 2 如图 矩形abcd中 ab 20cm bc 4cm 点p从a开始沿折线a b c d以4cm s的速度运动 点q从c开始沿cd边以1cm s的速度移动 如果点p q分别从a c同时出发 当其中一点到达d时 另一点也随之停止运动 设运动时间为t s 当t 时 四边形apqd也为矩形 解 根据题意 当ap dq时 四边形apqd为矩形 此时 4t 20 t 解得t 4 s 故答案是 4 4 3 如图 在 abc中 ab 3 ac 4 bc 5 p为边bc上一动点 pe ab于e pf ac于f 则ef的最小值为 解 连接ap 在 abc中 ab 3 ac 4 bc 5 即 bac 90 又 pe ab于e pf ac于f 四边形aepf是矩形 ef ap ap的最小值即为直角三角形abc斜边上的高 即2 4 ef的最小值为2 4 2 4 4 如图 在 abc中 ab ac 5 bc 6 ad为bc边上的高 过点a作ae bc 过点d作de ac ae与de交于点e ab与de交于点f 连结be 1 求证 四边形aebd是矩形 2 求四边形aebd的面积 分析 1 利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形aebd是矩形 2 在rt adc中 由勾股定理可以求得ad的长度 由等腰三角形的性质求得bd的长度 则矩形的面积 长 宽 ad bd 即可得出结果 1 证明 ae bc be ac 四边形aedc是平行四边形 ae cd 在 abc中 ab ac ad为bc边上的高 adb 90 bd cd bd ae 四边形aebd是矩形 2 解 在rt adc中 adb 90 ac 5 bd cd bc 3 ad 四边形aebd的面积 bd ad 3 4 12 1 对角线相等的四边形是矩形吗 2 需要添加什么条件才能使对角线相等的四边形是矩形吗 归纳 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ac bd且oa ocob od 四边形abcd是矩形 等腰梯形 拓展提高 例 已知 矩形abcd的对角线ac bd相交于o e f g h分别是ao bo co do上的一点 且ae bf cg dh 求证 四边形efgh是矩形 证明 四边形abcd是矩形 ao bo co do 又 ae bf cg dh oe of og oh 四边形efgh是平行四边形 又 eo og fo oh 即eg fh 四边形efgh是矩形 一个角是直角 对角线相等 有三个角是直角 五种判定方法 四边形 矩形 矩形的判定方法 1 习题2 2 知识技能第1 2两题2 预习第三课时 第三课时矩形的判定与性质的应用 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2 矩形的特殊性质 1 矩形的定义 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 3 矩形的判定 a 有一个角是直角的平行四边形是矩形 b 对角线相等的平行四边形是矩形 c 有三个角是直角的四边形是矩形 18january2020 4 直角三角形的性质及判定方法 角 直角三角形两锐角互余 线段 边角关系 1 勾股定理 两直角边的平方和等于斜边的平方 2 斜边中线的性质 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 1 直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半 2 直角三角形中 若直角边等于斜边的一半 那么这条直角边所对的角等于30 a b c d 矩形性质和判定的应用 例1 如图 在矩形abcd中 ad 6 对角线ac与bd相交于点o ae bd 垂足为e ed 3be 求ae的长 分析 根据矩形的对角线互相平分且相等 可得到oe be 再结合ae bd 可得ab ao 从而有 abo是等边三角形 求出 ade 30 在rt ade中 即可求出ae的长 解 四边形abcd是矩形 ao bo co bd 矩形的对角线相等且互相平分 bad 90 矩形的四个角都是直角 ed 3be be oe又 ae bd ab ao ab ao bo 即 abo是等边三角形 abo 60 adb 90 abo 90 60 30 在rt aed中 ade 30 例2 abc中 ab ac ad是bc边上中线 an平分 mac ce an ac与de交于o点 求证 四边形adce是矩形 2 判断od与ab的关系 并说明理由 分析 1 根据等腰三角形性质可得ad bc ad平分 bac 又因为an平分 mac可得 dae为90 再加上ce an就可证明四边形adce是矩形 2 证得矩形后 可得o点是ac中点 那么od是 abc的中位线 就能得到od与ab的关系了 解 1 ab ac ad是中位线 ad bc ad平分 bac adc 90 又 an平分 mac 又 ce an cea 90 四边形adce是矩形 2 od ab 理由 四边形adce是矩形 oa oc 又 d是bc边中点 od是 abc的中位线 od ab 1 如图 矩形abcd的对角线ac 10 bc 8 则图中五个小矩形的周长之和为 解析 ac 10 bc 8根据勾股定理 28 图中的五个小矩形的周长之和即大矩形的周长2 ab bc 2 6 8 28 2 如图 平行四边形abcd中 对角线ac bd相交于o ae bd于e 若 dae bae 3 1 则 eac的度数是 a 18 b 36 c 45 d 72 c 解 四边形abcd是矩形 bad 90 dae 3 bae bae dae bad bae 22 5 dae 67 5 ae bd aeb 90 abo aeb bae 90 22 5 67 5 四边形abcd是矩形 ac bd oa ac ob bd oa ob oab abo 67 5 cae 67 5 22 5 45 故选c 3 矩形的一边长为6 各边中点围成的四边形的周长是20 则矩形的对角线长为 面积为 解析 矩形各边中点围成的四边形为菱形 且周长为20 菱形的边长为5 故矩形的对角线的长为10 矩形的另一边 矩形的面积 6 8 48 10 48 4 如图 在 abc中 ab ac d为边bc上一点 以ab bd为邻边作 abde 连接ad ec 1 求证 adc ecd 2 若bd cd 求证 四边形adce是矩形 解 1 四边形abde是平行四边形 ab de ab de b edc ab ac ac de b acb edc acb 又 dc cd adc