预测资产收益与风险的模型解读.doc

预测资产收益与风险的模型解读预测资产收益与风险的模型解读一、期望收益、方差、标准差及离差关系单个证券的收益是用期望收益来度量，风险是用方差和标准差来衡量。期望收益是用过去一段时期该证券的平均收益，是一种简单的收益加权平均方法，但是它用来衡量将来投资该证券的收益高低，期望下一个时期所能获得的收益估计，评价证券收益变动的指标有很多，但其中方差和标准差是一种典型而经典的统计指标，描述了证券收益变动情况，即波动幅度。方差是一种证券的收益与其平均收益即期望收益的离差的平方和的平均值。标准差则是方差的平方根，是收益的平均变动情况的描述。其实真正直接反映实际收益和期望收益高低的统计指标是离差，存在正离差和负离差，整个离差相加就是零，但是为了更好地描述证券收益变动情况即风险，通过方差和标准差这两个指标来有效地处理数据，研究问题更方便，现在让我们举例说明离差的真正涵义。例：假设宏观经济处于市场萧条、市场衰退、市场正常和市场繁荣的可能性相等，即每种状态出现的概率是0.25，现在有Supertech公司和Slowpoke公司，在此，我把Supertech公司简称为A公司，把Slowpoke公司简称为B公司。若A公司的四种市场状况下的每种市场的期望收益为： 市场情况 概率 期望收益 繁荣 0.25 0.5 正常 0.25 0.3 衰退 0.25 0.1 萧条 0.25 -0.2则A公司期望收益E=0.250.5+0.250.3+0.250.1+0.25（-0.2）=0.175若B公司的四种市场状况下的每种市场的期望收益为：市场情况 概率 期望收益繁荣 0.25 0.09正常 0.25 -0.12衰退 0.25 0.2萧条 0.25 0.05则B公司期望收益E=0.250.09+0.25（-0.12）+0.250.2+0.250.05=0.055让我们看看证券收益变动情况为何用方差和标准差，而不是用离差，用图来说明： 从图1-1中我们可以看出，A公司在四种市场状况的实际收益率有的位于期望收益率下方；有的位于期望收益率上方，很形象地说明上下离差之和等于零。B公司存在同样的离差之和为零的现象，在这不用图表说明B公司了，是一样的原理。我们知道真正反映收益变动性的是离差，离差就是实际收益率与期望收益率相差多少，有正离差也有负离差，正因为这样，从图上四点可知为何不直接用离差来表示证券收益率的变动性或者离散程度。图表可以直观地反映某公司收益率在宏观经济状态下的变动情况即风险，但是要用数据形象说明收益率的变动情况则要用方差和标准差，这两个统计指标只是变动数据的转换，以方便问题研究和处理。二、协方差和相关系数协方差和相关系数则是研究两种证券收益之间相互关联，相互影响的情况，协方差是一个度量两种证券收益之间相互关系的统计指标，相关程度用相关系数来反映，同时协方差和相关系数是理解贝塔系数的基础（后面会用到）。仍然用A、B两个公司说明协方差的定义：这两个公司收益的协方差是A公司收益离差和B公司收益离差相乘之和的加权平均值。公式如下：的期望值 两个离差同时发生的概率这个公式的两种表达方式的含义是一样的，对于期望值表达式含义解释：对于A公司和B公司在N种市场状态下的前提条件是每种市场状态发生的概率是相等的，即概率为1/N。所以A公司离差与B公司离差的乘积之和，再除以市场状况的种类N，得到AB公司离差之和的平均值即期望值。而在A公司和B公司在这种N种市场经济状态发生概率相同的条件下，它们两个离差同时发生的概率就是1/N，所以两个离差同时发生的概率= 的期望值。我们知道方差是平方数，所以一定是正值，而协方差可能是正值，也可能是负值，协方差是正值，说明两个公司的实际收益率与平均收益变动情况相同，即在某种宏观经济环境下，A公司实际收益率高于平均收益率，则B公司实际收益率也高于其平均值，若A公司实际收益率低于期望收益率，则B公司实际收益率也低于其期望收益率。总之变动方向相同，而协方差为负值时，则A公司实际收益率高于其期望收益率，则B公司实际收益率低于其期望收益率，若A公司实际收益率低于其期望收益率，则B公司实际收益率高于其期望收益率，总之变动方向相反。由于协方差只能反映证券之间变动的方向，不能描述证券之间具体有多大的关联度，而相关系数的引入正好解决了这个问题。相关系数指标是协方差指标的延伸和完善，它不仅能够说明两种证券的变动方向，而且能够表明两种证券相关性大小，是正相关还是负相关，相关性多大，这就是相关系数的作用。相关系数，即相关系数等于两个证券的协方差除以这两个证券的标准差之积。以上提到的方差、标准差、协方差和相关系数都是为了研究投资组合的收益和风险变动情况服务的衡量指标。三、组合投资在现实中我们投资时，不单单投资一种证券，往往存在投资多元化，组合投资。假设我们投资两种证券A股票与B股票，则需要预测组合的期望收益。组合期望收益是构成组合投资的各个证券的期望收益的简单加权平均。两种组合投资的期望收益公式：组合的期望收益 从公式可以看出，因为不同证券的期望收益R是不一样的，所以投资者在选择投资组合以及每种证券的投资比例X是多少，都会影响他最终的收益，所以要慎重计算预测和考虑，选择最佳组合，获取最大利益。投资组合的风险用组合的标准差来衡量，标准差是组合方差的平方根，组合方差不是各个证券的方差的简单加权平均，而是小于它们的简单加权平均。所以标准差也是小于组合中的各个证券标准差的加权平均数，这正是投资组合多元化效应所导致的，降低了投资风险。只有当两种证券的相关系数等于1时，组合的标准差才等于两种证券标准差的简单加权平均数，这个结论证明如下： = （） () =当时， =即这两种证券的标准差SD(组合) =而两个证券标准差的加权平均数=由上面证明可知，当由两种证券构成投资组合时，在相关系数1时，组合的标准差就小于组合的各个证券的标准差的简单加权平均，这时候就发生投资组合的多元化效应，降低投资风险。 在现实市场中，组合中证券的相关系数通常是小于1。当然由两种证券可以推广到多种证券甚至是无数种证券，只要多种证券中每两两证券的收益相关系数总小于1，则整个组合的标准差一定小于组合中各种证券的标准差的加权平均数，投资风险降低，组合多元化效应发挥作用。四、两种资产组合的期望收益与组合的标准差为何是这样的图形我们已知两种资产组合的期望收益与组合的标准差的关系如图1-2 图1-2 Supertech股票（A股）与Slowpoke股票(B股)投资组合的集合（）下面证明这个图为何是曲线与直线的组合：我们已知A公司和B公司的期望收益分别是：, ,=0.066874, =0.013225, = -0.1639 A证券的投资比列为 ；B证券的投资比例为 （+=1）在此设组合的标准差为，组合的期望收益为则组合的期望收益为=0.175+0.055=0.175+0.055得出=而方差Var（组合）= =0.0898470.143496+0.066874即Var（组合）0.0898470.143496+0.066874把上面的式代入可以得出的关系式即：Var（组合）0.0898470.143496+0.066874 =6.239375- 0.987981+0.04869由公式开平方根得到组合的标准差方程式如下：显然可知这个函数方程式是一条曲线的方程式。所以在图1-2中，A股和B股投资组合的期望收益和组合的标准差是一条坐落于坐标轴右上角的曲线（），而不是其他形状的图线。但是当相关系数时，就是图上点Slowpoke到点Supertech这条直线，为何是直线，因为：组合的期望收益为=0.175+0.055=0.175+0.055得出=而方差Var（组合）=（） = =组合标准差=把式代入标准差等式里得到：这是二元一次直线方程式，所以当相关系数时，图上就有一段是直线的。所以回头去看图1-2 Supertech股票（A股）与Slowpoke股票(B股)投资组合的集合的图形是曲线和直线的组合。以下补充图1-3说明不同的相关系数，曲线的弯曲度是不一样的。图1-3 持有Supertech 股票与Slowpoke股票投资组合的机会集正如图1-3所描述的，曲线弯曲度是跟投资组合中的各个证券相关系数有关，不同的相关系数，曲线弯曲度是不同的，相关系数愈小，曲线更加弯曲。当相关系数等于-1时，弯曲度最大，甚至达到组合标准差为0，这种情况在实践中几乎不可能发生。图1-2上每一点都有其经济涵义，在确定的相关系数下，随着投资组合中的比例不同，相应的点就落在不同的位置上，该点就表示已定的投资比例下所对应的组合的标准差和组合的期望值。当相关系数时，曲线上的点MV到点Supertech这段是有效集，即现实中投资者就在这段区域选择自己的投资组合，只是根据投资者对风险的偏好程度不同而变化。点Slowpoke到点MV这段曲线的趋势看起来很乐观，很诱人，因为随着风险的下降，组合的期望收益反而上升了，但是作为理智的投资者，没人在这段曲线投资，因为点MV是最小方差组合点，相比Slowpoke到点MV这段曲线的其他任何一点的风险最小，而组合的期望值最大，所以这些点属于所有组合中的最劣的投资组合，在市场完全有效的情况，这段曲线属于无效集。但是理论上为何出现这样的弓形曲线，因为投资组合多元化效应导致的，由于A股与B股存在负相关系数，所以有套头交易的作用，即当一种证券的收益上升时，另一种证券的收益却下降；当一种证券的收益下降时，另一种证券的收益却上升。使得组合的风险下降了，收益却上升了。曲线上点1，点2，点，点3只是表示投资组合的比例不同而已。直线上的点是相关系数时的一个投资组合点，但是没有投资组合多元化效应，若取相同的标准差，曲线上的点组合期望收益高；相同的期望收益，曲线上的点标准差小。这是因为曲线上的点的相关系数小于1，产生了投资组合的多元化效应。该曲线描述的是两种证券的组合，不仅两个证券组合存在有效集，由多种证券构成的投资组合以及两个资产组合的组合也可以得到相应的有效集，曲线图是类似的。五、多种资产组合方差矩阵计算及组合风险两种证券投资组合的方差通过方差公式可以很容易获得，但是多种资产以上的组合，则用矩阵计算表计算组合方差更加直观。如表1-1表1-1 投资组合方差的矩阵计算表股票 1 2 3 N 1 2 3 N 在1-1矩阵表中有N行N列，让我们从第1列开始看起，看到第N列：我们发现每一列里只有1个某种证券的方差，共N列，则整个矩阵表里只有N个方差；但是每一列里有个协方差，共N列，则整个矩阵里协方差个数为 N ，可以看出组合中的协方差个数远远大于证券个数，例如100种证券构成的一个投资组合，则方差只有100个，但是证券之间却有9900个。而组合的方差是等于矩阵里所有项之和，所以在一个投资组合中，证券之间的协方差对组合收益的方差的影响大于每种证券的方差对组合收益的方差的影响。在多种资产组合中，假设所有的证券具有相同的方差，并且两两之间的协方差相同，每种证券在组合的比例也相等，有N种证券，那么每种证券的比例是1/N。在矩阵表格中发现，N个方差相同，N(N-1)个协方差也相等，这时候组合收益的方差为：组合收益的方差 当时，即是整个市场的证券组合时，则1/N0，那么此时组合收益的方差说明证券个数无穷大时，各种证券的方差最终完全消失，各对证券的平均协方差仍然存在，而且此时组合收益的方差等于组合中各对证券的平均协方差，这说明投资组合能分散和化解部分风险，这叫可化解风险，是非系统性的或者是特有的，通过有效投资组合可以化解的风险，但是组合中的各种证券的协方差始终存在，不能因为组合而被分解并消失。这部分风险叫着组合风险，又称为系统性风险、市场风险。是不可以化解的，是投资者在持有一个完全分散的投资组合之后，仍然需要承受的风险。为了更准确地描述组合风险和组合中证券个数的关系，我们可以由式方差的计算公式得到组合收益的标准差公式：SD（组合）=显然组合收益的标准差与组合中证券个数的函数关系式 SD（组合）=是一条曲线，如图1-4图1-4组合收益的方差与组合中证券个数间的关系从图1-4可以看出，投资组合中不管组合中证券个数有多少，甚至无穷多个，但市场风险总是存在，所以在一个组合中投资者往往关注证券这种不可化解的风险，当焴我们投资时，投资越分散，非系统性风险越小。投资者一般偏向厌恶风险，尽可胭多地分散投资，如果没有分散成本的话，但在现实中这是不可能的，所以得考虑多元化效益与成本关系。在成本可接受的范围内，尽量多元化投资，产生多元化效应，获取最大利益。六、风险资产与无风险资产组合收益与风险的线性关系证明在投资组合中还存在这样一种情况：一种风险资产和一种无风险资产构成的组合，当完全投资无风险资产则组合回报的标准差为0，如图1-5。组合的标准差由风险资产的标准差和风险资产在组合中所占的比例决定的，是一种线性关系：因为由一种风险资产和一种无风险资产构成的组合的标准差即SD（组合）=0.20（）显然这是一种线性关系。以下证明组合期望收益与组合标准差为何是图1-5那样的直线：图1-5由风险资产和无风险资产构成的组合的收益和风险的关系 为了研究问题方便，在此设风险资产为A资产，无风险资产为B资产，则它们期望值为：的期望值，由于B资产的实际收益率和期望收益率都是10%即0.1不变，所以，同时=0，因而，即风险资产和无风险资产的协方差为0。已知 = （，） = =组合的标准差为=0.20 即=组合的期望收益为 （, =0.1） = = =把上面式代入式则可以得出二元一次直线方程式：由式看出来了，风险投资和无风险投资的组合是一条直线，而不是风险投资组合那样的曲线。证明风险投资和无风险投资的整个组合回报的标准差与组合的期望收益是线性关系，是一条直线，而不是曲线。该直线上点（0，0.1）到Merville点（0.2，0.14）这段直线表示投资者贷出投资和风险投资的组合；而Merville点（0.2，0.14）以上的点表示投资者借入投资和风险投资的组合，只是借入利率等于贷出利率。由图可知，假设某个投资者借入20%资产投资，以10%的利率借入，则无风险投资为-20%，风险投资为120%，那么：由借入投资于风险资产的组合收益=由借入投资于风险资产的组合的标准差=若借入利率高于贷出利率10%，假设为12%（小于风险投资期望值 14%），则：借入投资于风险资产的组合收益=由式可以看出，其他一切条件相同的情况下，就是借入利率高于贷出利率，则在相同的组合标准差时，投资的期望收益越低，在图上用虚线表示，在实线的下方。但是无论借入利率等于还是高于贷出利率，只要风险证券Merville的期望收益大于借贷利率，借入资本投入风险资产Merville，投资组合的期望收益（例如14.4%和14.8%）总是高于单独投资Merville 14%的期望收益，若风险证券的期望收益小于借贷利率，显然只能做无风险投资。七、投资组合分离现象解释图1-6风险资产和无风险资产构成的投资组合的期望收益和标准差之间的关系从图1-6可知整个阴影部分是多种风险资产组合投资的可行集，而曲线XAY是风险资产投资组合的有效集。在整个阴影部分里，曲线XAY上的点的投资组合是最有效的，若在相同的风险下即组合的标准差相等，曲线XAY是理智投资者最佳选择的投资组合，因为同一风险下，期望值最大的点（最优点）落在曲线XAY上。直线I是无风险投资和风险投资组合Q所形成的投资组合：点到点Q表示投资者用自己的资金部分投资于无风险资产，部分投资于风险资产，只是比例不同，这跟投资者的风险偏好有关；点Q以上的点（直线I上）表示借钱投资风险资产组合Q而获得，例如点3就是表示借了40%钱投资，共投资140%钱到风险资产组合Q上。当然直线II上的点的经济涵义跟直线I的经济涵义类似的，只是直线II跟有效集曲线XAY相切于点A。从到点A这段直线表示由无风险资产和风险资产组合A所形成的新投资组合，只是投资比例不同而已，点A以上的点（直线II上）表示通过借钱来投资风险资产组合A形成，例如图上点5就是。相对于直线I，在相同的标准差下，直线II上的点的期望收益均高于它点上的期望值，直线II提供给投资者最优的投资机会，是风险资产和无风险资产组合的有效集。而点A就是切点，只要投资者知道所有资产的收益、方差和协方差，就可以确定点A，它表示有效证券市场里的客观存在的有效风险投资组合，任何投资者掌握的市场信息是完全相同的，即共同期望假设。那么他们估计的风险投资组合就是点A，而不会是曲线XAY上其他的点，也不会在可行集里面。点A不管投资者厌恶风险程度如何，是不变的。而在有效集切线II上，投资者可以根据自己的风险偏好程度去选择投资组合：若偏好风险者，可以借钱投资组合A；若厌恶风险者，可以部分投资无风险资产，部分投资资产组合A。总而言之，风险投资组合点A是所有投资者们都可以凭借已知市场信息计算出来的估计值，是对所有投资者具有一样的风险和期望值；但是由于人们的内在特性不一样，经济承受能力不一样，导致风险态度和风险承受能力不完全相同，所以出现经济实力雄厚，敢冒风险的投资者，借钱来投资风险资产组合A，往往选择超过A点的那部分直线上的某点进行投资，经济薄弱，害怕风险的投资者通常选择从点到点A这段直线上的点进行投资，投资部分无风险资产，另外投资部分风险资产组合A。即在直线II上从点A开始，整个证券市场的投资者，有的往上走，有的往下走，出现所谓的“分离”现象。这就是金融经济学家所说的分离原理的基础吧！实质是投资者投资决策两个独立的步骤：第一步确定A点，对所有人一样，不受个人特质影响。第二步是进行投资的具体决策，是借钱加大力度投资风险资产组合A？还是先部分投资无风险资产，另外再投资风险资产组合A？这步决策取决于个人承受风险的能力。从第二步开始出现分离现象。八、贝塔系数解读当投资者持有市场组合时，单个证券对组合所贡献的风险怎样衡量。研究人员发现单个证券最佳的风险度量指标是这个证券的贝塔系数（），在此举Jelco公司股票来直观地说明贝塔系数：表1-2 Jelco公司股票和证券市场的可能收益如下：状态 经济类型 证券市场收益 （%） Jelco股票收益（%）I 牛市 15 25II 牛市 15 15III 熊市 -5 -5IV 熊市 -5 -15由上面的表格可知，在市场为牛市的时候，证券市场收益只有一种情况，为15%不变的收益率，而Jelco股票收益有两种可能：25%或者15%的收益；在市场为熊市的时候，证券市场收益也只有一种可能，为-5%的收益率，同样Jelco股票收益有两种可能：-5%或者-15%的收益。利用上表格的数据分别求得证券期望收益和Jelco期望收益如下表格：表1-3 Jelco公司股票在每种经济类型即不同市场下的期望收益如下：经济类型 证券期望收益（%） Jelco期望收益（%）牛市 15% 熊市 -5% 在市场经济发生变化时，从熊市到牛市的转变，证券的期望收益变化为：；Jelco的期望收益变化为：那么 即证券期望收益每变动1% ，Jelco期望收益就变动1.5% ；1.5是Jelco的期望收益相对于证券期望收益变化的反应系数，表示对市场变动的反应程度，这就是Jelco公司股票的贝塔系数。贝塔系数是度量一种证券对于市场组合变动的反应程度的指标。它最简单地获取方法就是观察不同经济类型的市场收益和某种证券收益变化，求得市场与某种证券在不同经济类型下各自的期望收益，描绘出该证券在市场的特征线。特征线就是描述证券收益随市场变动而变动的一条直线，如图1-7。然后求出该证券特征线的斜率，这个斜率就是该证券的贝塔系数。(图1-7在下面放不下，所以放在下一页) 图1-7 Jelco股票的表现和市场组合图1-7直观形象地反映了贝塔系数简单的获取方