中考数学押轴题备考复习 解直角三角形2.doc

解直角三角形一、选择题1. （2011贵州毕节,14,3分）如图，将一个rtabc形状的楔子从木桩的底端点p处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前移8cm(如箭头所示)，则木桩上升了( )pabcpabca、 b、 c、 d、【解题思路】设木桩与ab 的交点为e,过e作ehbc,垂足为h,在rtbeh中，tanb=,【答案】a【点评】本题考查解直角三角形的知识在实际中的应用，在解题时，要从实际问题中构建直角三角形的模型，再运用三角函数知识解决。难度中等。2.（2011湖北黄石，7，3分）将一个有45角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30角，如图(3)则三角板的最大边的长为a3cm b5cm ccm dcm 【解题思路】过点a作ad垂直纸带下边沿于点d, 因为acd=30,所以ac=2ad=6cm,所以等腰直角三角板的最大边的长为cm【答案】d【点评】本题以学生身边的三角板和纸带为背景，把锐角三角函数融合在内，图是学生熟知的，符合学生的生活常识和认知基础，使学生身边的实际问题与数学问题发生一种自然的联系，同时考查了学生从图形中获取信息的能力，体现了数学与学生生活息息相关的基本理念构造直角三角形，用好30，求出ac长是解题的关键难度中等3. （2011年湖北省武汉市3分）如图，铁路mn和公路pq在点o处交汇，qon=30.公路pq上a处距离o点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路mn上沿on方向以72千米/时的速度行驶时，a处受噪音影响的时间为a.12秒. b.16秒. c.20秒. d.24秒.分析：求出点a到on的距离，也就是台风中心到a处的最短距离，找出a处受影响的起点和终点，计算之间的距离，得出受影响的时间答案：b点评：本题以受台风影响或噪音等影响为背景考查解直角三角形、勾股定理等知识点是常见的题目，关键是理解点a到直线on的距离就是台风中心到点a的最短距离4. （2011湖北荆州，8，3分）在中，,ab=4，ac=2，则的值是（ ）a. b. c. d. 【解题思路】如图，作cdab于d，则,在中,ac=2可得ad=1，cd=,所以bd=5，在中，,所以【答案】d【点评】解决本题的关键是通过添加辅助线把锐角三角形转化为直角三角形，再正确运用三角函数的有关知识解决.5.10（2011四川绵阳10，3）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度如图，小芳站在a处测得她看塔顶的仰角为45，小丽站在b处测得她看塔顶的仰角为30她们又测出a、b两点的距离为30米假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为(结果精确到0.01，参考数据：1.414，1.732) （ ）a36.21米b37.71米c40.98米d42.48米【解题思路】如下图，abef30米，cd1.5米，gde90，deg45，dfg30设dgx米，在rtdgf中，tandfg，即tan30，dfx在rtdge中，gde90，deg45，dedgx根据题意，得xx30，解得x40.98cg40.98+1.542.48(米)【答案】d【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，分别在两个直角三角形中，设出未知数，由锐角三角函数把与已知线段在同一条直线上的两条未知线段表示出来，然后构建方程，解方程即可求出未知线段的长1. （2011湖北黄石，7，3分）将一个有45角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30角，如图(3)则三角板的最大边的长为a3cm b5cm ccm dcm 【解题思路】过点a作ad垂直纸带下边沿于点d, 因为acd=30,所以ac=2ad=6cm,所以等腰直角三角板的最大边的长为cm【答案】d【点评】本题以学生身边的三角板和纸带为背景，把锐角三角函数融合在内，图是学生熟知的，符合学生的生活常识和认知基础，使学生身边的实际问题与数学问题发生一种自然的联系，同时考查了学生从图形中获取信息的能力，体现了数学与学生生活息息相关的基本理念构造直角三角形，用好30，求出ac长是解题的关键难度中等二、填空题1. （2011甘肃兰州，17，4分）某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：，坝外斜坡的坡度i=1:1，则两个坡角的和为 .【解题思路】依题意先作出图形，如下图所示，坝内斜坡的坡度 ，即为de与ae的比，坝外斜坡的坡度i=1：1，即为cf与bf的比，进而可分别求出两个坡角如图所示，ed：ae=1：，a=30cf：bf=1：1，b=45a+b=30+45=75【答案】75【点评】本题属于解直角三角形的应用坡度坡角问题，知道一些特殊角的边长之间的比例，会求解简单的直角三角形难度较小.2. （2011湖北襄阳，14，3分）在207国道襄阳段改造工程中，需沿ac方向开山修路（如图3所示），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从ac上的一点b取abd140，bd1000m，d50，为了使开挖点e在直线ac上，那么de_m（供选用的三角函数值：sin500.7660，cos500.6428，tan501.192）【解题思路】本题就是在rtbde中，已知斜边bd1000m，d50，求d的邻边de由cosd得de1000cos5010000.6428642.8（米）【答案】642.8【点评】本题是解直角三角形应用题，直接由教材中的练习题改编而成，解答关键是阅读题意，从中建立恰当的解直角三角形模型难度较小3.16（2011内蒙古乌兰察布，16，4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯a射出的光线ab,ac 与地面mn 所夹的锐角分别为 8和 10，大灯a与地面离地面的距离为lm则该车大灯照亮地面的宽度bc是 m .（不考虑其它因素）【解题思路】过点a作admn于d，则bc=bd-cd,而bd、cd分别在直角三角形abd、acd中求出：，则bc=bd-cd=【答案】【点评】本题主要考查了直角三角形的边角关系及其应用，解决本题的关键是构造直角三角形，考查了考查考生应用知识解决问题的能力.难度中等. 三、解答题1. （2011安徽，19，10分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道ab的长度.已知在离地面1500m高度c处的飞机，测量人员测得正前方a、b两点处的俯角分别为60和45，求隧道ab的长.（取1.73）【解题思路】在rtcoa中，由条件可求出oa的长；而在rtcob中，由条件可求出ob的长，最后由ab=ob-oa.解决问题.第19题图【答案】解：在rtcoa中，oca=90- 60= 30，oa ，在rtcob中，ocb=cbo=dcb=45，ob=oc=1500，ab=(m).答：隧道ab的长约为635m.【点评】这是一道三角函数应用题，利用特殊角的三角函数值通过计算而不需要列方程就可以解决问题，但应注意结果的精确要求.难度较小.2. （2011安徽芜湖，18，8分）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔bd的高度，他们先在a处测得古塔顶端点的仰角为，再沿着的方向后退20m至处，测得古塔顶端点的仰角为.求该古塔bd的高度(,结果保留一位小数).【解题思路】在rtbcd和rtabd中，利用已知条件，根据三角函数知识都不能直接求出bd长，因此应考虑用bd长的代数式表示出相关量，列方程来求解.【答案】解：根据题意可知: 在中,由得. 在中,由.得又,.(m).答：该古塔的高度约为27.3m. 【点评】本题是一道常规的三角函数应用题，主要考查利用三角函数相关知识解决实际问题的能力，而特殊角的三角函数值往往是考查的重点.本题不能直接通过计算求解，需要列方程求解.难度中等.3. (2011广东广州，23， 12分)（12分）已知rtabc的斜边ab在平面直角坐标系的x轴上，点c(1,3)在反比例函数y=的图象上，且sinbac=。（1）求k的值和边ac的长；（2）求点b的坐标。【解题思路】（1）求k的值，可以根据点c(1,3)在反比例函数y=的图象上，把点c(1,3)的坐标代入y=中可以计算出k的值。根据点c(1,3)，可以得点c到x 轴的距离为3，作cdab于点d，可以得到rtacd，所以cd3。在rtacd中，已知一直角边和一锐角的正弦，可以解直角三角形，计算出边ac的长。（2）由于仅已知点c的坐标，ab位置未定，有两种可能，一种是点a在点b的左侧，另一种可能是点a在点b的右侧，故应该分类讨论。解直角三角形acd，可以计算出ad的长度。求点b的坐标,可以先计算出线段ob的长度，根据ob=ab-oa，oa=ad-od计算。【答案】解：(1)点a（1,3）在反比例函数的图像上 作cdab于点d，所以cd3在rtacd中，sinbac=， ，解得 ac=5(2) 在rtacd中， cosbac=如图1，在rtacd中，cosbac=， 点b的坐标为如图2， 点b的坐标为【点评】本题考查了数学中解直角三角形的知识，而且把三角形放在了平面直角坐标系中。根据图形位置关系的不确定性，需要对点a的位置分类讨论：一种是点a在点b的左侧，另一种可能是点a在点b的右侧。第一步属于较基础题目，面向大多数同学，难度较低。第二步，由于涉及到分类讨论，学生或许由于思考问题不全面而出现失误，难度较大，具有一定的挑战性 4. （广东省，17，7分）如图，小明家在a处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，ab是a到l的小路. 现新修一条路ac到公路l. 小明测量出acd=30，abd=45，bc=50m. 请你帮小明计算他家到公路l的距离ad的长度（精确到0.1m；参考数据：，）.bclda【解题思路】由题意可知ad=db，在rtacd中，把dc、ad作为直角边，解这个直角三角形。【答案】因为在rtabd中，abd=45，所以ad=db，设ad=，在rtacd中，=，=68.3【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易入手，容易出错的地方是近似值的取舍，难度中等5. （2011广东省，19，7分）如图，直角梯形纸片abcd中，ad/bc，a=90，c=30折叠纸片使bc经过点d，点c落在点e处，bf是折痕，且bf=cf=8（1）求bdf的度数；（2）求ab的长bcedaf【解题思路】（1）由折叠纸片可知bdf=cbf易知cbf=c=30，所以在bcd中可知bdf=90；（2）在rtbfd中可求出bd=4，在rtbad中就可以求出ab。【答案】 （1）根据折叠纸片可知bdf=cbf，因为bf=cf=8，所以cbf=c=30，所以bdf=180-30-60=90；（2）在rtbfd中，cos30=,所以因为ad/bc，所以bdc=bda在rtbad中,sin60=，所以ab=bdsin60=6.【点评】本题主要考查解直角三角形相关内容，解题关键是对正、余弦函数表达式的正确使用通过梯形将两个直角三角形整合在一起是本题的特点，难度中等6. （2011贵州安顺，21，8分）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点a处观测到河对岸水边有一点c，测得c在a北偏西31的方向上，沿河岸向北前行40米到达b处，测得c在b北偏西45的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度（参考数值：tan31）【解题思路】根据题意，结合图形，求河的宽度可过点c作cdab于d，线段cd的长度即为要求的值，设cd=x，则bd = x，ad =40+x，tan=，则，解得x = 60。【答案】过点c作cdab于d ，d由题意，设cd = bd = x米，则ad =ab+bd =（40+x）米，在rt中，tan=，则，解得x = 60（米）【点评】本题主要考查锐角三角函数，已知量与待求边分别是直角三角形的两条直角边所以用切，做此类题的关键在于熟练的运用锐角三角函数来表示直角三角形的各边，最易出错的地方弄混边角之间的关系。难度较小。7. （2011湖北黄石，22，8分）东方山是鄂东南地区的佛教胜地，月亮山是黄荆山脉第二高峰，山顶上有黄石电视塔据黄石地理资料记载：东方山海拔453.20米，月亮山海拔442.00米，一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶d的正上方a处测得月亮山山顶c的俯角为，在月亮山山顶c的正上方b处测得东方山山顶d处的俯角为，如图（7）已知tan=0.15987，tan=0. 15847，若飞机的飞行速度为180米/秒，则该飞机从a到b处需多少时间？(精确到0.1秒)图（7）月亮山东方山abcd【解题思路】由题意，得东方山和月亮山的海拔高度差为453.20442.00=11.20米，可用、和ab的代数式表示bc、ad长，从而得出关于ab的方程，求出ab长【答案】解：在中，在中, 故到所需的时间为（秒）答：飞机从到处需44.4秒【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度不大，本题主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易入手，容易出错的地方是近似值的取舍，属于简单题8. （2011湖北鄂州，21，8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡ab的坡比（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）且ab=20 m身高为1.7 m的小明站在大堤a点，测得高压电线杆端点d的仰角为30已知地面cb宽30 m，求高压电线杆cd的高度（结果保留三个有效数字，1.732）.dcnmab第21题图【解题思路】如图：延长ma交cb于点e. cd=dn+cn=dn+me.在中，背水坡ab的坡比可知，得。又ab=20 m，所以ae= 20=10m,be=20= m所以nc=me=ma=ae=1.7+10=11.7m，中，amn=30，mn=ce=cb+be=(30+)m，dn= ，所以旗杆高度cd=dn+cn=dn+me=11.7+= 36.0m【答案】 36.0【点评】此题首先将cd分成两部分dn和cn，再将坡度概念转化成解直角三角形的知识，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，运用线段间的关系即可求出相关线段的长。 难度中等。9. （2011广东河源，13,6分）某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量东江宽度的活动。如图2，他们在河东岸边的a点测得河西岸边的标志物b在它的正西方向，然后从a点出发沿河岸向正北方向行进200米到点c处，测得b在点c的南偏西60 的方向上，他们测得东江的宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据： ）cab【解题思路】根据题意构造rtabc,利用正切ancab=求解。【答案】在rtabc中， tancab=,tan600=,ab=2002001.732346（米）【点评】主要考查直角三角形的边角关系及其应用，容易出错的地方是近似值的取舍，难度较小。.10. （2011广东清远，21，6分）如图6，小明以3米/秒的速度从山脚a点爬到山顶b点，已知点b到山脚的垂直距离bc为24米，且山坡坡角的度数为，问小明从山脚爬上山顶需要多少时间？（结果精确到0.1）（参考数据：）【解题思路】在rtabc中，,得,代入求值，即可求出ab的值，已知速度为3米/秒，即可求出时间。【答案】解：在rtabc中，,得 则小明从山脚爬上山顶需要多少时间为：.答：小明从山脚爬上山顶需要17秒的时间【点评】本题考查了直角三角形中，三角函数的应用。难度中等。11. （2011广东珠海，16，7分）如图，在鱼塘两侧有两棵树a、b，小华要测量此两棵树之间的距离。他在距离a树30米的c处测得acb=300，又在b处测得abc=1200。求两树之间的距离。（结果精确到0.1米）(参考数据：1.414, 1.732) 【解题思路】知道两角和一角的对边，根据正弦定理和三角函数可直接求出另一角的对边。【答案】解：，即，得ab=10=5.8答：两树之间的距离约5.8米。【点评】本题考查了正弦定理和三角函数的运用。中等难度。12. （2011江西南昌，23，8分）图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形当点o到bc（或de）的距离大于或等于o的半径时（o是桶口所在圆，半径为oa），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格，现在用金属材料做了一个水桶提手（如图丙a-b-c-d-e-f，c-d是弧cd，其余是线段），o是af的中点，桶口直径af=34cm，ab=fe=5cm,abc=fed=149请通过计算判断这个水桶提手是否合格（参考数据：17.72，tan73.63.40，sin75.40.97）【解题思路】水桶提手是否合格主要是看点o到线段bc（或de）的距离是否大于或等于o的半径，所以过点o做线段bc的垂线，如图所示，构造成直角三角形，通过计算可以求出og的长度，再与半径oa比较就可以检验是否合格【答案】解：连结ob，过点o作ogbc于点g.在rtabo中，ab=5，ao=17，tanabo=,abo=73.6,gbo=abc-abo=149-73.6=75.4又ob=17.72，在rtobg中，og=obsingbo=17.720.9717.1917.水桶提手合格. 【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一,主要考查直角三角形的边角关系及其应用,难度一般不会很大,本题通过生活中的水桶这个实际问题要求学生能建立几何模型，解决实际生活中的数学问题，主要考查学生应用知识解决问题的能力,容易出错的地方是近似值的取舍. 同时，通过本题，可以充分看出命题人细心观察生活，用心感悟熟悉的能力数学其实应更多的关注生活，要让数学更多的回归生活！19（2011年河南，19，9分）如图所示，中原福塔(河南广播电视塔)是世界第高钢塔小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点d处，测得地面上点b的俯角为45，点d到ao的距离dg为10米；从地面上的点b沿bo方向走50米到达点c处，测得塔尖a的仰角为60。请你根据以上数据计算塔高ao，并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差(参考数据：1.732，1.414.结果精确到0.1米)【解题思路】先根据debo，=45可判断出dbf是等腰直角三角形，进而可得出bf的值，再根据四边形dfog是矩形可求出fo与co的值，在rtaco中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出ao的长，进而可得出其误差.【解】 debo，45，dbf45.rtdbf中，bfdf268.bc50，cfbfbc26850218.由题意知四边形dfog是矩形，fodg10.cocf+fo218+10228.在rtaco中，60，aocotan602281.732394.896误差为394.8963886.8966.9（米）.即计算结果与实际高度的误差约为6.9米.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用:仰角俯角问题.涉及到的知识点为：等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值.熟知以上知识是解答此题的关键应用解直角三角形的知识解决实际问题的应用题常与特殊的四边形、圆、相似等知识相结合，要注意仔细分析题意，把握知识点的内在联系.平时一定要注意培养分析问题、解决问题的能力.图7abcef20（2011辽宁大连，20，12分）如图7，某建筑物bc上有一旗杆ab，小明在与bc相距12m的f处，由e点观测到旗杆顶部a的仰角为52、底部b的仰角为45，小明的观测点与地面的距离ef为1.6m求建筑物bc的高度；求旗杆ab的高度（结果精确到0.1m参考数据：1.41，sin520.79，tan521.28）【解题思路】在rtbed中bd=ed，再加上小明的身高，就可以求楼高，在rtaed中，利用三角函数求出ad，再减去bd，就可以得到旗杆高度ab了【答案】解：过e作ed于，在rtbed中，bed45,de=12bd=12，bc=bd+dc=12+1.6=13.6在rtaed中, aed=52，de=12，tanaed=，ab=ac-bc=15.4-12=3.4【点评】本题是解直角三角形的一个应用，常见的图形有两种，一是套着的（此题就是套着的），一是背靠背的，都比较典型。难度中等。22（2011四川眉山，22，8分）在一次数学课外活动中，一位同学在教学楼的点a处观察旗杆bc，测得旗杆顶部b的仰角为30，测得旗杆底部c的俯角为60，已知点a距地面的高ad为15cm求旗杆的高度【解题思路】过a作aebc，构造两个直角三角形，然后利用解直角三角形的知识解答【答案】过a作aebc，垂足为e，由题意可知，四边形adce为矩形，ec=ad=15，在rtaec中，taneac=，ae=（米），在rtaeb中，tanbae=，be=aetaneab=tan30=5（米），bc=ce+be=20（米）故旗杆高度为20米【点评】此题考查了解直角三角形的知识，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键难度中等 （2011四川内江，20，10分）放风筝是大家喜欢的一种运动星期天的上午小明在大洲广场上放风筝他在a处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在d处此时风筝线ad与水平线的夹角是30为了便于观察，小明迅速向前移动边收线到达了离a处7米得b处，此时风筝线bd与水平线的夹角是45已知点a、b、c在一条直线上，acd=90，请你求出此时小明收回的风筝线的长度是多少（本题中风筝线均视为线段，1.414，1.732，结果精确地1米） 【思路分析】在两个直角三角形中分别用dc表示出bc、ac，根据ab=7，ab+bc=ac列关于dc的方程求解dc，再通过解两个直角三角形求解ad、bd，二者差即收回风筝线长度【答案】解：在rtdbc中，dbc=45，bc=dc；在在rtdac中，dac=30，ac= dcab=7，ab+bc=ac7+dc= dc，dc9.6（米）bd= dc13.6（米），ad=2 dc=19.2（米）ad-bd6（米），即小明收回的风筝线的长度是6米【点评】在含有多个直角三角形的题目中，如果有能解的直角三角形则选用恰当的三角函数求出有关的量，为解其他直角三角形提供条件；如果所有直角三角形均不能直接解，则用含有未知数的式子表示有关的量运用方程思想来解答2. （2011湖北黄石，22，8分）东方山是鄂东南地区的佛教胜地，月亮山是黄荆山脉第二高峰，山顶上有黄石电视塔据黄石地理资料记载：东方山海拔453.20米，月亮山海拔442.00米，一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶d的正上方a处测得月亮山山顶c的俯角为，在月亮山山顶c的正上方b处测得东方山山顶d处的俯角为，如图（7）已知tan=0.15987，tan=0. 15847，若飞机的飞行速度为180米/秒，则该飞机从a到b处需多少时间？(精确到0.1秒)图（7）月亮山东方山abcd【解题思路】由题意，得东方山和月亮山的海拔高度差为453.20442.00=11.20米，可用、和ab的代数式表示bc、ad长，从而得出关于ab的方程，求出ab长【答案】解：在中，在中, 故到所需的时间为（秒）答：飞机从到处需44.4秒【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度不大，本题主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易入手，容易出错的地方是近似值的取舍，属于简单题3. （2011年湖北省武汉市3分）如图，铁路mn和公路pq在点o处交汇，qon=30.公路pq上a处距离o点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路mn上沿on方向以72千米/时的速度行驶时，a处受噪音影响的时间为a.12秒. b.16秒. c.20秒. d.24秒.分析：求出点a到on的距离，也就是台风中心到a处的最短距离，找出a处受影响的起点和终点，计算之间的距离，得出受影响的时间答案：b点评：本题以受台风影响或噪音等影响为背景考查解直角三角形、勾股定理等知识点是常见的题目，关键是理解点a到直线on的距离就是台风中心到点a的最短距离4. （2011湖北荆州，8，3分）在中，,ab=4，ac=2，则的值是（ ）a. b. c. d. 【解题思路】如图，作cdab于d，则,在中,ac=2可得ad=1，cd=,所以bd=5，在中，,所以【答案】d【点评】解决本题的关键是通过添加辅助线把锐角三角形转化为直角三角形，再正确运用三角函数的有关知识解决.5. （2011湖北鄂州，21，8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡ab的坡比（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）且ab=20 m身高为1.7 m的小明站在大堤a点，测得高压电线杆端点d的仰角为30已知地面cb宽30 m，求高压电线杆cd的高度（结果保留三个有效数字，1.732）.dcnmab第21题图【解题思路】如图：延长ma交cb于点e. cd=dn+cn=dn+me.在中，背水坡ab的坡比可知，得。又ab=20 m，所以ae= 20=10m,be=20= m所以nc=me=ma=ae=1.7+10=11.7m，中，amn=30，mn=ce=cb+be=(30+)m，dn= ，所以旗杆高度cd=dn+cn=dn+me=11.7+= 36.0m【答案】 36.0【点评】此题首先将cd分成两部分dn和cn，再将坡度概念转化成解直角三角形的知识，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，运用线段间的关系即可求出相关线段的长。 难度中等。6. （2011湖北襄阳，14，3分）在207国道襄阳段改造工程中，需沿ac方向开山修路（如图3所示），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从ac上的一点b取abd140，bd1000m，d50，为了使开挖点e在直线ac上，那么de_m（供选用的三角函数值：sin500.7660，cos500.6428，tan501.192）【解题思路】本题就是在rtbde中，已知斜边bd1000m，d50，求d的邻边de由cosd得de1000cos5010000.6428642.8（米）【答案】642.8【点评】本题是解直角三角形应用题，直接由教材中的练习题改编而成，解答关键是阅读题意，从中建立恰当的解直角三角形模型难度较小7. （2011广东清远，21，6分）如图6，小明以3米/秒的速度从山脚a点爬到山顶b点，已知点b到山脚的垂直距离bc为24米，且山坡坡角的度数为，问小明从山脚爬上山顶需要多少时间？（结果精确到0.1）（参考数据：）【解题思路】在rtabc中，,得,代入求值，即可求出ab的值，已知速度为3米/秒，即可求出时间。【答案】解：在rtabc中，,得 则小明从山脚爬上山顶需要多少时间为：.答：小明从山脚爬上山顶需要17秒的时间【点评】本题考查了直角三角形中，三角函数的应用。难度中等。8. （2011广东珠海，16，7分）如图，在鱼塘两侧有两棵树a、b，小华要测量此两棵树之间的距离。他在距离a树30米的c处测得acb=300，又在b处测得abc=1200。求两树之间的距离。（结果精确到0.1米）(参考数据：1.414, 1.732) 【解题思路】知道两角和一角的对边，根据正弦定理和三角函数可直接求出另一角的对边。【答案】解：，即，得ab=10=5.8答：两树之间的距离约5.8米。【点评】本题考查了正弦定理和三角函数的运用。中等难度。9. （2011江西南昌，23，8分）图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形当点o到bc（或de）的距离大于或等于o的半径时（o是桶口所在圆，半径为oa），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格，现在用金属材料做了一个水桶提手（如图丙a-b-c-d-e-f，c-d是弧cd，其余是线段），o是af的中点，桶口直径af=34cm，ab=fe=5cm,abc=fed=149请通过计算判断这个水桶提手是否合格（参考数据：17.72，tan73.63.40，sin75.40.97）【解题思路】水桶提手是否合格主要是看点o到线段bc（或de）的距离是否大于或等于o的半径，所以过点o做线段bc的垂线，如图所示，构造成直角三角形，通过计算可以求出og的长度，再与半径oa比较就可以检验是否合格【答案】解：连结ob，过点o作ogbc于点g.在rtabo中，ab=5，ao=17，tanabo=,abo=73.6,gbo=abc-abo=149-73.6=75.4又ob=17.72，在rtobg中，og=obsingbo=17.720.9717.1917.水桶提手合格. 【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一,主要考查直角三角形的边角关系及其应用,难度一般不会很大,本题通过生活中的水桶这个实际问题要求学生能建立几何模型，解决实际生活中的数学问题，主要考查学生应用知识解决问题的能力,容易出错的地方是近似值的取舍. 同时，通过本题，可以充分看出命题人细心观察生活，用心感悟熟悉的能力数学其实应更多的关注生活，要让数学更多的回归生活！19（2011年四川省南充市，19，8分）如图，点e是矩形abcd中cd边上一点，bce沿be折叠为bfe,点f落在ad上。(1)求证：abfdfe;(2)若sindfe=,求tanebc的值.【解题思路】本题中由折叠易得角的关系，利用三角形的外角或内角和均可得出角相等的结论。由两对等角则可证明两三角形相似。由两三角形相似可进一步得出边的关系。再利用三角函数与直角三角形的边的关系求解。【答案】（1）证明：四边形abcd是矩形bce沿be折叠为bfeabfdfe (2)解在rtdef中，设bce沿be折叠为bfe,又由（1）abfdfe【点评】结合图形变换三角函数等知识考查相似图形的判定与性质。由图形折叠可得全等形，进而得到边角的相等关系。三角形相似的判定思路：条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两边的比相等；条件中若有两边的比相等，可找夹角相等或找第三边的比等于前两组边的比。26（2011四川广安，26，9分）某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图7所示，测得树底部中心a到斜坡底c的水平距离为8. 8m在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分cd= 3.2m已知斜坡cd的坡比i=1：，求树高ab。（结果保留整数，参考数据：1.7）_d_c_b_ai=1：图7【解题思路】化特殊为一般，利用转化的思想进行解题【答案】解：如图，延长bd与ac的延长线交于点e，过点d作dhae于hcd=3.2 dh=1.6 ch= he=1.28 ab=16_d_c_b_ai=1：_h_e【点评】本题属应用题，主要考察了坡度比及相似三角形的应用18（2011四川乐山，18，9分）如图（10），在直角abc中，c=90，cab的平分线ad交bc于d，若de垂直平分ab，求b的度数。【解题思路】：根据角平分线性质、线段垂直平分线的意义及直角三角形的锐角互余可得：bac=2b,即3b=900，求得b的度数。【答案】解：cab的平分线ad交bc于d（已知）cad=dab(角平分线的定义)；又de垂直平分ab（已知）da=db,b=dab, 又c=90，b+cad+dab=900，即3b=900，b=300.【点评】此题属于解直角三角形的问题，利用角平分线性质、线段垂直平分线的意义，正确分析图形，明确本题中角的关系，根据直角三角形中两锐角互余列式计算。本题难度中等。18（2011湖南省益阳，18，8）如图8,ae是位于公路边的电线杆，为了使拉线cde不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆bd，用于eadbc图8撑起拉线已知公路的宽ab为8米，电线杆ae的高为12米，水泥撑杆bd高为6米，拉线cd与水平线ac的夹角为67.4求拉线cde的总长l（a、b、c三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）(参考数据:sin67.4 ,cos67.4 ,tan67.4)【解题思路】应用锐角三角函数和勾股定理解问题，本题转化为求拉线的周长，需要分别计算出各边长【答案】解：在rt中，（m）. ， ， （m）. （m） 【点评】在直角三角形中经常用的是三角函数和勾股定理，根据角和边的关系可以有三角函数构成联系，三边之间可以有勾股定理来联系灵活应用锐角三角函数和勾股定理解决实际问题是一个热点问题（2011江苏泰州，23，8分）一幢房屋的侧面外墙壁的形状如图所示，它由等腰三角形ocd和矩形abcd组成，ocd=25，外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边形efgh，测得fgeh，gh=2.6m，fgb=65。（1）求证：gfoc；（2）求ef的长（结果精确到0.1m）。（参考数据：sin25=cos650.42，cos25=sin650.91）m【解题思路】（1）在四边形bcfg中，fgb、b、fcb都可以知道或者求出，根据四边形内角和等于360度，从而求得cfg的度数；（2）因为ehfg，所以heoc，于是作fmhg交ae于m，构造出直角三角形efm，设法求出一个efm和fm的长，问题可解。【答案】解：（1）正方形abcd中，因为b=bcd=90，fgb=65，fcd=25，所以gfc=90，gfoc。（2）作fmhg交ae于m，hefg，四边形agfm为平行四边形。mf=hg=2.6m.又因为fmhg，正方形abcd中dcab，fmdc，所以efm=ocd=25.由（1）得gfoc，易得hec=90。在rtmef中，cosefm=ef=cos252.60.912.6=2.3662.4m。【点评】本题以生活题材为背景，设计了一道关于锐角三角函数的综合题，主要考查了锐角三角函数的计算，四边形的内角和、等腰三角形的性质、平行的性质等。情境新颖、语言简洁，一改以往这类问题阅读量大的特点。解题的关键是如何把复杂图形转化成简单图形，以前常见的辅助线的添法。难度中等。（2011江苏盐城，24，10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂ab长为40cm，灯罩bc长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的bad=60. 使用发现，光线最佳时灯罩bc与水平线所成的角为30，此时灯罩顶端c到桌面的高度ce是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：1.732）【解题思路】过点b作bfcd于f，作bgad于g，在rtbcf求得线段cf的长，在rtabg求得线段bg的长，所以ce = cf+fd+de = cf+bg+de【答案】解：过点b作bfcd于f，作bgad于g. 在rtbcf中，cbf=30，cf=bcsin30= 30 =15. 在rtabg中，bag=60，bg=absin60= 40 = 20. ce=cf+fd+de=15+20+2=17+2051.6451.6 cm. 答：此时灯罩顶端c到桌面的高度ce约是51.6cm.【点评】本题考查了解直角三角形的知识利用解直角三角形相关知识求解非规则图形时，往往通过作垂线将非规则图形分解或拼凑成几个规则图形（矩形、直角三角形等）的和或差难度中等（2011江苏连云港，24，10分）如图，自来水厂a和村庄b在小河l的两侧，现要在a，b间铺设一条输水管道为了搞好工程预算，需测算出a，b间的距离一小船在点p处测得a在正北方向，b位于南偏东24.5方向，前行1200m，到达点q处，测得a位于北偏东49方向，b位于南偏西41方向24.54941北东南西（1）线段bq与pq是否相等？请说明理由；（2）求a，b间的距离（参考数据cos410.75）【解题思路】对于（1），根据给出的3个角的度数，计算pbq与bpq是否相等进行判别；对于（2），可知三角形aqb是直角三角形，考虑用勾股定理来求出ab。【答案】解：（1）相等 由图易知，qpb65.5，pqb49，aqp41，pbq18065.54965.5pbqbpqbqpq（2）由（1）得，bqpq1200 m在rtapq中，aq1600（m）又aqbaqppqb90，rtaqb中，ab2000（m）答：a，b间的距离是2000 m【点评】本题考查了等腰三角形的判定及性质，角度的计算、三角函数及勾股定理等知识点，对计算能力的要求也有个提高，是道综合性好题。（2011江苏省淮安市，23， 10分）(本题满分10分) 题23-l图为平地上一幢建筑物与铁塔图，题232图为其示意图建筑物ab与铁塔cd都垂直于地面，bd=30m，在a点测得d点的俯角为45，测得c点的仰角为60求铁塔cd的高度【解题思路】过点a作aecd于e，如图，则四边形abde是正方形，得ae=bd=de=30m，在rtace中，tancae=,所以ce=30tan60=15m，故cd=（30+15）m。【答案】过点a作aecd于e，dae=45，且ab、ed都与bd垂直，四边形abde是正方形，得ae=bd=de=30m，在rtace中，tancae=,所以ce=30tan60=15m，故cd=（30+15）m。【点评】本例