第二讲 函数与方程.doc

清华附中自主招生辅导讲义1/18/2020第二讲 函数与方程一、基础知识1.函数的性质2.函数的最值3.函数的迭代4.函数的零点与不动点5.方程的根及根与系数关系6.简单的函数方程二、典型例题1.(2007年北京大学)设函数,求.答案:6602.(2008年复旦大学)设是的三个根,则行列式= .答案:03.(2004年上海交大)已知,若,则求的值.答案:4. (2010年江苏五校)已知函数f(x)x4ax3bx2c，在y轴上的截距为5，在区间0，1上单调递增，在1，2上单调递减，又当x0，x2时取得极小值（）求函数f(x)的解析式；（）能否找到函数f(x)垂直于x轴的对称轴,并证明你的结论;（）设使关于x的方程f(x)2x25恰有三个不同实根的实数的取值范围为集合A,且两个非零实根为x1、x2试问：是否存在实数m，使得不等式m2tm2|x1x2|对任意t3，3, A恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由解：（）函数f(x)x4ax3bx2c，在y轴上的截距为5, c5.函数f(x)在区间0，1上单调递增，在1，2上单调递减,x1时取得极大值，又当x0，x2时函数f(x)取得极小值x0，x1， x2为函数f(x)的三个极值点，即f(x)0的三个根为0，1，2，f (x)4x33ax22bx4x(x1)(x2)4x312x28x.a4，b4, 函数f(x)的解析式： f(x)x44x34x25.（）解：若函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴,设对称轴方程为xt,则f(t +x)f(tx)对xR恒成立.即: (t +x)44(t +x)34(t +x)25(tx)44(tx)34(tx)25.化简得(t1)x3+( t23 t +2)x0对xR恒成立.t1即函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴x1.（）解：x44x34x252x25恰好有三个不同的根，即x44x34x22x2=0恰好有三个不同的根,即x2（x24x42）0，x0是一个根，方程x24x420应有两个非零的不相等的实数根，164(42)420，且x1x24l20，l0，2，2若存在实数m，使得不等式m2tm2|x1x2|对任意t3，3, A恒成立.|x1x2|2|l|0，要使m2tm2|x1x2|对任意t3，3, A恒成立,只要m2tm20对任意t3，3 恒成立,令g(t)tm +m22 , 则g(t)是关于t的线性函数.只要解得不存在实数m，使得不等式m2tm2|x1x2|对任意t3，3, A恒成立. 5.(2008年上海交大)已知函数,且没有实根,试判断是否有实根?说明理由.答案:没有6. (2002年上海交大)已知函数,有且.(1)求满足的关系;答案:(2)证明:存在这样的,使.7. (2005年上海交大)已知的三根分别为,并且为不全为0的有理数,求的值.答案:8.(2006年清华大学)已知函数满足:对任意实数有,且,求证:恒为零.(可以用结论:若,则)9.(2000年上海交大)若函数满足,求函数的解析式.答案:10. Let N=0,1,2,.Determine all functions NN,such that for all and in N （Note: The answer can be in Chinese.）原题：设N=0,1,2,.，求所有的 NN，使得对任意，均有提示：设有，则即，因为易得： 三、针对性训练1.(2005年复旦大学)定义在R上的函数满足,则 .答案:2.(2004年同济大学)求函数的最大值与最小值.答案:3.(2009年清华大学)已知是三次项系数为的三次函数,并且有的解集为.(1)若仅有一解,求的解析式;答案:(2)若在单调增,求实数的取值范围.答案:4.已知,若为正整数,求的最小值.答案:31215.(2008年清华大学)已