高考数学一轮复习 5.3 平面向量的数量积与平面向量的应用课件 理 新人教B版.ppt

5 3平面向量的数量积与平面向量的应用 2 知识梳理 考点自测 1 平面向量的数量积 1 定义 已知两个非零向量a与b 它们的夹角为 则数量 a b cos 叫做a与b的数量积 或内积 记作a b 即a b 规定零向量与任一向量的数量积为0 即0 a 0 2 几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 a b cos 3 知识梳理 考点自测 2 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a x1 y1 b x2 y2 为向量a b的夹角 1 数量积 a b a b cos x1x2 y1y2 5 已知两非零向量a与b a b a b 0 a b a b a b 6 a b a b 当且仅当a b时等号成立 即 x1x2 y1y2 0 4 知识梳理 考点自测 3 平面向量数量积的运算律 1 a b b a 交换律 2 a b a b a b 结合律 3 a b c a c b c 分配律 5 知识梳理 考点自测 6 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 1 判断下列结论是否正确 正确的画 错误的画 1 一个非零向量在另一个非零向量方向上的投影为数量 且有正有负 2 若a b 0 则a和b的夹角为锐角 若a b 0 则a和b的夹角为钝角 3 若a b 0 则必有a b 4 a b c a b c 5 若a b a c a 0 则b c 答案 7 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 2 已知向量a 1 m b 3 2 且 a b b 则m a 8b 6c 6d 8 答案 解析 8 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 a 30 b 45 c 60 d 120 答案 解析 9 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 4 2017全国 理13 已知向量a b的夹角为60 a 2 b 1 则 a 2b 答案 解析 10 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 5 已知向量a 2 3 b 3 m 且a b 则m 答案 解析 11 考点1 考点2 考点3 例1 1 2017浙江 10 如图 已知平面四边形abcd ab bc ab bc ad 2 cd 3 ac与bd交于点o 记a i1 i2 i3b i1 i3 i2c i3 i1 i2d i2 i1 i3 2 2017北京 文12 已知点p在圆x2 y2 1上 点a的坐标为 2 0 o为原点 则 答案 解析 12 考点1 考点2 考点3 思考求向量数量积的运算有几种形式 解题心得1 求两个向量的数量积有三种方法 1 当已知向量的模和夹角时 利用定义求解 即a b a b cos 其中 是向量a与b的夹角 2 当已知向量的坐标时 可利用坐标法求解 即若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 3 利用数量积的几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 2 解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时 可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简 但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补 13 考点1 考点2 考点3 对点训练1 1 已知 abc是边长为1的等边三角形 点d e分别是边ab bc的中点 连接de并延长到点f 使得de 2ef 则值为 答案 1 b 2 c 14 考点1 考点2 考点3 15 考点1 考点2 考点3 16 考点1 考点2 考点3 2 2017浙江 15 已知向量a b满足 a 1 b 2 则 a b a b 的最小值是 最大值是 17 考点1 考点2 考点3 18 考点1 考点2 考点3 19 考点1 考点2 考点3 思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法 解题心得1 求向量的模的方法 1 公式法 利用及 a b 2 a 2 2a b b 2 把向量的模的运算转化为数量积运算 2 几何法 先利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量 再利用余弦定理等方法求解 2 求向量模的最值 或范围 的方法 1 求函数最值法 把所求向量的模表示成某个变量的函数再求最值 或范围 2 数形结合法 弄清所求的模表示的几何意义 结合动点表示的图形求解 20 考点1 考点2 考点3 对点训练2 1 2017山东潍坊一模 已知向量a b a 2 b 1 且 a b a 则 a 2b 答案 解析 21 考点1 考点2 考点3 思考两个向量数量积的正负与两个向量的夹角有怎样的关系 答案 解析 22 考点1 考点2 考点3 考向2平面向量a在b上的投影例4已知 a 2 b 1 2a 3b 2a b 9 1 求向量a与b的夹角 2 求 a b 及向量a在a b方向上的投影 答案 23 考点1 考点2 考点3 考向3求参数的值或范围例5 2017天津 理13 在 abc中 a 60 ab 3 ac 2 若思考两向量的垂直与其数量积有何关系 答案 解析 24 考点1 考点2 考点3 考向4在三角函数中的应用例6 2017江苏 16 已知向量a cosx sinx b 3 x 0 1 若a b 求x的值 2 记f x a b 求f x 的最大值和最小值以及对应的x的值 思考利用向量求解三角函数问题的一般思路是什么 25 考点1 考点2 考点3 26 考点1 考点2 考点3 考向5在解析几何中的应用 思考在向量与解析几何相结合的题目中 向量起到怎样的作用 答案 解析 27 考点1 考点2 考点3 解题心得1 数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角 数量积等于0说明不共线的两个向量的夹角为直角 数量积小于0说明不共线的两个向量的夹角为钝角 3 解决与向量有关的三角函数问题的一般思路是应用转化与化归的数学思想 即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题 4 向量在解析几何中的作用 1 载体作用 解决向量在解析几何中的问题时关键是利用向量的意义 运算脱去 向量外衣 导出曲线上点的坐标之间的关系 从而解决有关距离 斜率 夹角 轨迹 最值等问题 2 工具作用 利用数量积与共线定理可解决垂直 平行问题 特别地 向量垂直 平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直 平行问题是一种比较可行的方法 28 考点1 考点2 考点3 对点训练3 1 2017山西晋中二模 理13 若两个非零向量a b满足 a b a b 2 a 则向量a b与a b的夹角是 2 已知非零向量a b满足 a 2 且 a b a b 则向量b a在向量a方向上的投影是 3 2017山东 理12 已知e1 e2是互相垂直的单位向量 若e1 e2与e1 e2的夹角为60 则实数 的值是 29 考点1 考点2 考点3 30 考点1 考点2 考点3 31 考点1 考点2 考点3 32 考点1 考点2 考点3 33 考点1 考点2 考点3 34 考点1 考点2 考点3 1 平面向量的坐标表示与向量表示的比较 已知a x1 y1 b x2 y2 是向量a与b的夹角 35 考点1 考点2 考点3 2 计算数量积的三种方法 定义 坐标运算 数量积的几何意义 要灵活选用 与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用 3 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧 4 向量在三角函数中的应用对于向量与三角函数结合的题目 其解题思路是用向量运算进行转化 化归为三角函数问题或三角恒等变形等问题或解三角形问题 5 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用 主要是以向量的数量积给出一种条件 通过向量转化 进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来解答 36 考点1 考点2 考点3 6 向量在物理中的应用物理学中的力 速度 位移都是矢量 它们的分解 合成与向量的加减法相似 因此可以用向量的知识来解决某些物理问题 物理学中的功是一个标量 是力f与位移s的数量积 即w f s cos 为f与s的夹角 1 根据两个非零向量夹角为锐角或钝角与数量积的正 负进行转化时 不要遗漏向量共线的情况 2 a b a b 当且仅当a b时等号成立 3 注意向量夹角和三角形内角的关系 37 思想方法 函数思想与数形结合思想在数量积中的应用典例1设e1 e2为单位向量 非零向量b xe1 ye2 x y r 若e1 e2的夹角为的最大值等于 答案 2 38 39 典例2若平面向量 满足 1 1 且以向量 为邻边