高考数学总复习 6.3 等比数列及其前n项和课件 文 新人教A版.ppt

6 3等比数列及其前n项和 2 3 知识梳理 考点自测 1 等比数列的定义一般地 如果一个数列从起 每一项与它的前一项的比等于常数 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 公比通常用字母q q 0 表示 2 等比数列的通项公式设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 则它的通项an 3 等比中项如果成等比数列 那么g叫做a与b的等比中项 即g是a与b的等比中项 a g b成等比数列 4 等比数列的前n项和公式等比数列 an 的公比为q q 0 其前n项和为sn 当q 1时 sn na1 第二项 同一个 公比 a1qn 1 a g b g2 ab 4 知识梳理 考点自测 5 知识梳理 考点自测 1 判断下列结论是否正确 正确的画 错误的画 1 满足an 1 qan n n q为常数 的数列 an 为等比数列 2 g为a b的等比中项 g2 ab 3 等比数列中不存在数值为0的项 4 如果 an 为等比数列 bn a2n 1 a2n 那么数列 bn 也是等比数列 5 如果数列 an 为等比数列 那么数列 lnan 是等差数列 6 若数列 an 的通项公式是an an 则其前n项和为 6 知识梳理 考点自测 2 已知数列 an 中 a1 3 an 1 3an 0 bn log3an 则数列 bn 的通项公式bn a 3n 1b 3nc nd n 13 已知 an 为等差数列 公差为1 且a5是a3与a11的等比中项 sn是 an 的前n项和 则s12的值为 a 21b 42c 63d 54 c 解析 由an 1 3an 0 得an 1 3an 又a1 3 数列 an 是以3为首项 以3为公比的等比数列 则an 3n bn log3an n 故选c d 7 知识梳理 考点自测 4 2017全国 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题 远望巍巍塔七层 红光点点倍加增 共灯三百八十一 请问尖头几盏灯 意思是 一座7层塔共挂了381盏灯 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍 则塔的顶层共有灯 a 1盏b 3盏c 5盏d 9盏 b 解析 设塔的顶层共有x盏灯 则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列 由 可得x 3 故选b 5 2017北京朝阳二模 等比数列 an 的前n项和为sn 已知a1 2 a4 2 则 an 的通项公式an 2 1 n 1 解析 a1 2 a4 2 则a4 2 a1q3 q3 1 q 1 即an 2 1 n 1 8 考点一 考点二 考点三 考点四 等比数列的基本运算例1 1 设 an 是由正数组成的等比数列 sn为其前n项和 已知a2a4 1 s3 7 则s5等于 2 2017陕西咸阳二模 在等比数列 an 中 已知a3 a7是方程x2 6x 1 0的两根 则a5 a 1b 1c 1d 3 3 2017全国 设等比数列 an 满足a1 a2 1 a1 a3 3 则a4 b a 8 9 考点一 考点二 考点三 考点四 10 考点一 考点二 考点三 考点四 思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些 解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法 1 方程思想 等比数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 求关键量a1和q 问题可迎刃而解 2 分类讨论思想 因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论 所以当某一参数为公比进行求和时 就要对参数是否为1进行分类求和 3 整体思想 应用等比数列前n项和公式时 常把qn或当成整体进行求解 11 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练1 1 2017山西太原二模 文4 已知公比q 1的等比数列 an 前n项和sn a1 1 s3 3a3 则s5 2 2017安徽安庆二模 在等比数列 an 中 a3 3a2 2 且5a4为12a3和2a5的等差中项 则 an 的公比等于 a 3b 2或3c 2d 6 d c 12 考点一 考点二 考点三 考点四 13 等比数列的判定与证明例2已知数列 an 的前n项和sn 1 an 其中 0 1 证明 an 是等比数列 并求其通项公式 2 若 求 考点一 考点二 考点三 考点四 14 考点一 考点二 考点三 考点四 思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法 解题心得1 证明数列 an 是等比数列常用的方法 3 通项公式法 若数列通项公式可写成an c qn 1 c q均是不为0的常数 n n 则 an 是等比数列 2 若判断一个数列不是等比数列 则只要证明存在连续三项不成等比数列即可 15 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练2 2017吉林市模拟 已知数列 an 中 a1 1 an an 1 记t2n为 an 的前2n项的和 bn a2n a2n 1 n n 1 判断数列 bn 是否为等比数列 并求出bn 2 求t2n 16 考点一 考点二 考点三 考点四 17 考点一 考点二 考点三 考点四 等比数列性质的应用 多考向 考向1等比数列项的性质的应用 b a 18 考点一 考点二 考点三 考点四 思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程 19 考点一 考点二 考点三 考点四 考向2等比数列前n项和的性质的应用例4 1 设等比数列 an 的前n项和为sn 若s2 3 s4 15 则s6 a 31b 32c 63d 64 2 在公比为正数的等比数列 an 中 a1 a2 2 a3 a4 8 则s8等于 a 21b 42c 135d 170 c d 20 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 1 s2 3 s4 15 由等比数列前n项和的性质 得s2 s4 s2 s6 s4成等比数列 s4 s2 2 s2 s6 s4 即 15 3 2 3 s6 15 解得s6 63 故选c 2 解法一 s8 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 2 8 32 128 170 21 考点一 考点二 考点三 考点四 思考本题应用什么性质求解比较简便 解题心得1 在解答等比数列的有关问题时 为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质 1 通项公式的推广 an amqn m 2 等比中项的推广与变形 am an m n 2p 及ak al am an k l m n 2 对已知条件为等比数列的前几项和 求其前多少项和的问题 应用公比不为 1的等比数列前n项和的性质 sn s2n sn s3n s2n仍成等比数列比较简便 22 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练3 1 2017广东广州综合测试 已知数列 an 为等比数列 若a4 a6 10 则a7 a1 2a3 a3a9 a 10b 20c 100d 200 2 2017江西宜春二模 各项均为正数的等比数列 an 的前n项和为sn 若s4 10 s12 130 则s8 a 30b 40c 40或 30d 40或 50 c b a4 a6 2 102 100 2 由等比数列的性质 知s4 s8 s4 s12 s8成等比数列 则 s8 10 2 10 130 s8 整理可得 s8 30 s8 40 0 故s8 40 23 考点一 考点二 考点三 考点四 等差数列与等比数列的综合问题例5 2017全国 文17 已知等差数列 an 的前n项和为sn 等比数列 bn 的前n项和为tn a1 1 b1 1 a2 b2 2 1 若a3 b3 5 求 bn 的通项公式 2 若t3 21 求s3 解设 an 的公差为d bn 的公比为q 则an 1 n 1 d bn qn 1 由a2 b2 2得d q 3 1 由a3 b3 5 得2d q2 6 因此 bn 的通项公式为bn 2n 1 2 由b1 1 t3 21得q2 q 20 0 解得q 5或q 4 当q 5时 由 得d 8 则s3 21 当q 4时 由 得d 1 则s3 6 24 考点一 考点二 考点三 考点四 思考解决等差数列 等比数列的综合问题的基本思路是怎样的 解题心得等差数列和等比数列的综合问题 涉及的知识面很宽 题目的变化也很多 但是万变不离其宗 只要抓住基本量a1 d q 充分运用方程 函数 转化等数学思想方法 合理调用相关知识 就不难解决这类问题 25 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练4 2017湖南邵阳一模 文17 在等差数列 an 中 a2 1 a5 4 1 求数列 an 的通项公式an 2 设 求数列 bn 的前n项和sn 解 1 由题意知 a5 a2 3d 3 d 1 an n 1 n n 2 由 1 得bn 2n 1 数列 bn 是以1为首项 公比为2的等比数列 26 考点一 考点二 考点三 考点四 1 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 便可迎刃而解 2 判定等比数列的方法 1 定义法 q是不为零的常数 n n an 是等比数列 2 通项公式法 an cqn 1 c q均是不为零的常数 n n an 是等比数列