高考数学一轮复习 第十四章 点、线、面之间的位置关系 14.3 垂直的判定与性质课件.ppt

高考数学 江苏省专用 14 3垂直的判定与性质 1 2017江苏 15 14分 如图 在三棱锥a bcd中 ab ad bc bd 平面abd 平面bcd 点e f e与a d不重合 分别在棱ad bd上 且ef ad 求证 1 ef 平面abc 2 ad ac a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 证明 1 在平面abd内 因为ab ad ef ad 所以ef ab 又因为ef 平面abc ab 平面abc 所以ef 平面abc 2 因为平面abd 平面bcd 平面abd 平面bcd bd bc 平面bcd bc bd 所以bc 平面abd 因为ad 平面abd 所以bc ad 又ab ad bc ab b ab 平面abc bc 平面abc 所以ad 平面abc 又因为ac 平面abc 所以ad ac 方法总结立体几何中证明线线垂直的一般思路 1 利用两平行直线垂直于同一条直线 a b a c b c 2 线面垂直的性质 a b a b 2 2016江苏 16 14分 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 d e分别为ab bc的中点 点f在侧棱b1b上 且b1d a1f a1c1 a1b1 求证 1 直线de 平面a1c1f 2 平面b1de 平面a1c1f 证明 1 在直三棱柱abc a1b1c1中 a1c1 ac 在 abc中 因为d e分别为ab bc的中点 所以de ac 于是de a1c1 又因为de 平面a1c1f a1c1 平面a1c1f 所以直线de 平面a1c1f 2 在直三棱柱abc a1b1c1中 a1a 平面a1b1c1 因为a1c1 平面a1b1c1 所以a1a a1c1 又因为a1c1 a1b1 a1a 平面abb1a1 a1b1 平面abb1a1 a1a a1b1 a1 所以a1c1 平面abb1a1 因为b1d 平面abb1a1 所以a1c1 b1d 又因为b1d a1f a1c1 平面a1c1f a1f 平面a1c1f a1c1 a1f a1 所以b1d 平面a1c1f 因为直线b1d 平面b1de 所以平面b1de 平面a1c1f 3 2014江苏 16 14分 0 92 如图 在三棱锥p abc中 d e f分别为棱pc ac ab的中点 已知pa ac pa 6 bc 8 df 5 求证 1 直线pa 平面def 2 平面bde 平面abc 证明 1 证明 因为d e分别为棱pc ac的中点 所以de pa 又因为pa 平面def de 平面def 所以直线pa 平面def 2 因为d e f分别为棱pc ac ab的中点 pa 6 bc 8 所以de pa de pa 3 ef bc 4 又因为df 5 故df2 de2 ef2 所以 def 90 即de ef 又pa ac de pa 所以de ac 因为ac ef e ac 平面abc ef 平面abc 所以de 平面abc 又de 平面bde 所以平面bde 平面abc 考点一线面垂直的判定与性质1 2016浙江理 2 5分 已知互相垂直的平面 交于直线l 若直线m n满足m n 则以下说法正确的是 m l m n n l m n b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案 解析对于 m与l可能平行或异面 故 错 对于 m与n可能平行 相交或异面 故 错 对于 因为n l 所以n l 故 正确 故填 评析本题考查了线面平行与垂直的性质及空间两条直线的位置关系 2 2016课标全国 18 12分 如图 已知正三棱锥p abc的侧面是直角三角形 pa 6 顶点p在平面abc内的正投影为点d d在平面pab内的正投影为点e 连接pe并延长交ab于点g 1 证明 g是ab的中点 2 在图中作出点e在平面pac内的正投影f 说明作法及理由 并求四面体pdef的体积 解析 1 证明 因为p在平面abc内的正投影为d 所以ab pd 因为d在平面pab内的正投影为e 所以ab de 2分 又pd de d 所以ab 平面ped 故ab pg 又由已知可得 pa pb 从而g是ab的中点 4分 2 在平面pab内 过点e作pb的平行线交pa于点f f即为e在平面pac内的正投影 5分 理由如下 由已知可得pb pa pb pc 又ef pb 所以ef pa ef pc 又pa pc p 因此ef 平面pac 即点f为e在平面pac内的正投影 7分 连接cg 因为p在平面abc内的正投影为d 所以d是正三角形abc的中心 由 1 知 g是ab的中点 所以d在cg上 故cd cg 9分 由题设可得pc 平面pab de 平面pab 所以de pc 因此pe pg de pc 由已知 正三棱锥的侧面是直角三角形且pa 6 可得de 2 pe 2 在等腰直角三角形efp中 可得ef pf 2 11分 所以四面体pdef的体积v 2 2 2 12分 评析本题考查了线面垂直的判定和性质 考查了锥体的体积的计算 考查了空间想象能力和逻辑推理能力 属中档题 3 2016课标全国 19 12分 如图 菱形abcd的对角线ac与bd交于点o 点e f分别在ad cd上 ae cf ef交bd于点h 将 def沿ef折到 d ef的位置 1 证明 ac hd 2 若ab 5 ac 6 ae od 2 求五棱锥d abcfe的体积 解析 1 证明 由已知得ac bd ad cd 又由ae cf得 故ac ef 2分 由此得ef hd ef hd 所以ac hd 4分 2 由ef ac得 5分 由ab 5 ac 6得do bo 4 所以oh 1 d h dh 3 于是od 2 oh2 2 2 12 9 d h2 故od oh 由 1 知ac hd 又ac bd bd hd h 所以ac 平面bhd 于是ac od 又由od oh ac oh o 所以od 平面abc 8分 又由 得ef 五边形abcfe的面积s 6 8 3 10分 所以五棱锥d abcfe的体积v 2 12分 评析本题考查了线线垂直的判定 线面垂直的判定和性质 考查了锥体的体积的计算 考查了空间想象能力和逻辑推理能力 属中档题 4 2014辽宁 19 12分 如图 abc和 bcd所在平面互相垂直 且ab bc bd 2 abc dbc 120 e f g分别为ac dc ad的中点 1 求证 ef 平面bcg 2 求三棱锥d bcg的体积 附 锥体的体积公式v sh 其中s为底面面积 h为高 解析 1 证明 由已知得 abc dbc 因此ac dc 又g为ad的中点 所以cg ad 同理bg ad 因此ad 平面bgc 又ef ad 所以ef 平面bcg 2 在平面abc内 作ao cb 交cb延长线于o 由平面abc 平面bcd 知ao 平面bdc 又g为ad中点 因此g到平面bdc的距离h是ao长度的一半 在 aob中 ao ab sin60 所以vd bcg vg bcd s dbc h bd bc sin120 评析本题考查了线面垂直的判定与性质 面面垂直的性质及几何体的体积的求法 考查了空间想象能力 5 2015重庆 20 12分 如图 三棱锥p abc中 平面pac 平面abc abc 点d e在线段ac上 且ad de ec 2 pd pc 4 点f在线段ab上 且ef bc 1 证明 ab 平面pfe 2 若四棱锥p dfbc的体积为7 求线段bc的长 解析 1 证明 由de ec pd pc知 e为等腰 pdc中dc边的中点 故pe ac 又平面pac 平面abc 平面pac 平面abc ac pe 平面pac pe ac 所以pe 平面abc 从而pe ab 因 abc ef bc 故ab ef 从而ab与平面pfe内两条相交直线pe ef都垂直 所以ab 平面pfe 2 设bc x 则在直角 abc中 ab 从而s abc ab bc x 由ef bc知 得 afe abc 故 即s afe s abc 由ad ae得s afd s afe s abc s abc x 从而四边形dfbc的面积为s四边形dfbc s abc s afd x x x 由 1 知 pe 平面abc 所以pe为四棱锥p dfbc的高 在直角 pec中 pe 2 体积vp dfbc s四边形dfbc pe x 2 7 故得x4 36x2 243 0 解得x2 9或x2 27 由于x 0 可得x 3或x 3 所以 bc 3或bc 3 评析本题考查了线面垂直的判定 棱锥体积的计算 考查了推理论证能力及空间想象能力 体现了函数与方程的思想 6 2013安徽 18 12分 如图 四棱锥p abcd的底面abcd是边长为2的菱形 bad 60 已知pb pd 2 pa 1 证明 pc bd 2 若e为pa的中点 求三棱锥p bce的体积 解析 1 证明 连接ac 交bd于o点 连接po 因为底面abcd是菱形 所以ac bd bo do 由pb pd知 po bd 再由po ac o知 bd 平面apc 因此pc bd 2 因为e是pa的中点 所以vp bce vc peb vc pab vb apc 由pb pd ab ad 2知 abd pbd 因为 bad 60 所以po ao ac 2 bo 1 又pa po2 ao2 pa2 即po ac 故s apc po ac 3 由 1 知 bo 面apc 因此vp bce vb apc bo s apc 评析本题考查空间直线与直线 直线与平面的位置关系 三棱锥体积等基础知识和基本技能 考查学生空间观念 推理证明能力和运算求解能力 7 2014重庆 20 12分 如图 四棱锥p abcd中 底面是以o为中心的菱形 po 底面abcd ab 2 bad m为bc上一点 且bm 1 证明 bc 平面pom 2 若mp ap 求四棱锥p abmo的体积 解析 1 证明 如图 连接ob 因为abcd为菱形 o为菱形的中心 所以ao ob 因为 bad 所以ob ab sin oab 2sin 1 又因为bm 且 obm 所以在 obm中 om2 ob2 bm2 2ob bm cos obm 12 2 1 cos 所以ob2 om2 bm2 故om bm 又po 底面abcd 所以po bc 从而bc与平面pom内两条相交直线om po都垂直 所以bc 平面pom 2 由 1 可得 oa ab cos oab 2 cos 设po a 由po 底面abcd知 poa为直角三角形 故pa2 po2 oa2 a2 3 又 pom也是直角三角形 故pm2 po2 om2 a2 连接am 在 abm中 am2 ab2 bm2 2ab bm cos abm 22 2 2 cos 由于mp ap 故 apm为直角三角形 则pa2 pm2 am2 即a2 3 a2 得a 或a 舍去 即po 此时s四边形abmo s aob s omb ao ob bm om 1 所以vp abmo s四边形abmo po 考点二面面垂直的判定与性质1 2017山东文 18 12分 由四棱柱abcd a1b1c1d1截去三棱锥c1 b1cd1后得到的几何体如图所示 四边形abcd为正方形 o为ac与bd的交点 e为ad的中点 a1e 平面abcd 1 证明 a1o 平面b1cd1 2 设m是od的中点 证明 平面a1em 平面b1cd1 证明本题考查线面平行与面面垂直 1 取b1d1的中点o1 连接co1 a1o1 由于abcd a1b1c1d1是四棱柱 所以a1o1 oc a1o1 oc 因此四边形a1oco1为平行四边形 所以a1o o1c 又o1c 平面b1cd1 a1o 平面b1cd1 所以a1o 平面b1cd1 2 因为ac bd e m分别为ad和od的中点 所以em bd 又a1e 平面abcd bd 平面abcd 所以a1e bd 因为b1d1 bd 所以em b1d1 a1e b1d1 又a1e em 平面a1em a1e em e 所以b1d1 平面a1em 又b1d1 平面b1cd1 所以平面a1em 平面b1cd1 易错警示a b a b 2 2016北京 18 14分 如图 在四棱锥p abcd中 pc 平面abcd ab dc dc ac 1 求证 dc 平面pac 2 求证 平面pab 平面pac 3 设点e为ab的中点 在棱pb上是否存在点f 使得pa 平面cef 说明理由 解析 1 证明 因为pc 平面abcd 所以pc dc 2分 又因为dc ac ac pc c 所以dc 平面pac 4分 2 证明 因为ab dc dc ac 所以ab ac 6分 因为pc 平面abcd 所以pc ab 7分 又ac pc c 所以ab 平面pac 又ab 平面pab 所以平面pab 平面pac 9分 3 棱pb上存在点f 使得pa 平面cef 证明如下 10分 取pb中点f 连接ef ce cf 又因为e为ab的中点 所以ef pa 13分 又因为pa 平面cef 所以pa 平面cef 14分 评析本题考查了线面垂直的性质和判定 面面垂直的判定以及线面平行的判定 属中档题 1 2015安徽 19 13分 如图 三棱锥p abc中 pa 平面abc pa 1 ab 1 ac 2 bac 60 1 求三棱锥p abc的体积 2 证明 在线段pc上存在点m 使得ac bm 并求的值 c组教师专用题组 解析 1 由题设ab 1 ac 2 bac 60 可得s abc ab ac sin60 由pa 平面abc 可知pa是三棱锥p abc的高 又pa 1 所以三棱锥p abc的体积v s abc pa 2 在平面abc内 过点b作bn ac 垂足为n 在平面pac内 过点n作mn pa交pc于点m 连接bm 由pa 平面abc知pa ac 所以mn ac 由于bn mn n 故ac 平面mbn 又bm 平面mbn 所以ac bm 在直角 ban中 an ab cos bac 从而nc ac an 由mn pa 得 评析本题考查线面垂直的判定与性质及三棱锥的体积计算 2 2014湖北 20 13分 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f p q m n分别是棱ab ad dd1 bb1 a1b1 a1d1的中点 求证 1 直线bc1 平面efpq 2 直线ac1 平面pqmn 证明 1 连接ad1 由abcd a1b1c1d1是正方体 知ad1 bc1 因为f p分别是ad dd1的中点 所以fp ad1 从而bc1 fp 而fp 平面efpq 且bc1 平面efpq 故直线bc1 平面efpq 2 如图 连接ac bd 则ac bd 由cc1 平面abcd bd 平面abcd 可得cc1 bd 又ac cc1 c 所以bd 平面acc1 而ac1 平面acc1 所以bd ac1 因为m n分别是a1b1 a1d1的中点 所以mn bd 从而mn ac1 同理可证pn ac1 又pn mn n 所以直线ac1 平面pqmn 评析本题考查线面平行 线面垂直的判定与性质 考查学生的空间想象能力 一 填空题 每题5分 共10分 1 2017南京 盐城二模 已知 为两个不同的平面 m n为两条不同的直线 下列命题中正确的是 填上所有正确命题的序号 若 m 则m 若m n 则m n 若 n m n 则m 若n n m 则m 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 60分钟分值 70分 答案 解析由题意得 m 所以m 所以 正确 由m n 得m与n可能平行或异面 所以 不正确 由 n m n 得m 或m 所以 不正确 由n m 根据线面垂直的性质可得m n 又知n 所以m 所以 正确 故真命题的序号为 2 2016江苏徐州调研测试 9 设 是空间两个不同的平面 m n是平面 及 外的两条不同直线 从 m n n m 中选取三个作为条件 余下一个作为结论 写出你认为正确的一个命题 用代号表示 答案 或 解析以 为条件 为结论的命题不正确 直线m也有可能与平面 平行或斜交 同理以 为条件 为结论的命题也不正确 以 为条件 为结论的命题正确 以 为条件 为结论的命题也正确 二 解答题 共60分 3 2017苏锡常镇四市教学情况调研 一 16 如图 在斜三棱柱abc a1b1c1中 侧面aa1c1c是菱形 ac1与a1c交于点o e是棱ab上一点 且oe 平面bcc1b1 1 求证 e是ab的中点 2 若ac1 a1b 求证 ac1 cb 证明 1 连接bc1 因为oe 平面bcc1b1 且oe 平面abc1 平面bcc1b1 平面abc1 bc1 所以oe bc1 因为侧面aa1c1c是菱形 ac1 a1c o 所以o是ac1的中点 所以e是ab的中点 2 因为侧面aa1c1c是菱形 所以ac1 a1c 又ac1 a1b a1c a1b a1 a1c a1b 面a1bc 所以ac1 面a1bc 因为bc 平面a1bc 所以ac1 bc 4 2017苏北四市高三上学期期中 16 如图 在正三棱柱abc a1b1c1中 已知d e分别为bc b1c1的中点 点f在棱cc1上 且ef c1d 求证 1 直线a1e 平面adc1 2 直线ef 平面adc1 证明 1 连接ed 因为d e分别为bc b1c1的中点 所以b1e bd且b1e bd 所以四边形b1bde是平行四边形 所以bb1 de且bb1 de 又bb1 aa1且bb1 aa1 所以aa1 de且aa1 de 所以四边形aa1ed是平行四边形 所以a1e ad 又因为a1e 平面adc1 ad 平面adc1 所以直线a1e 平面adc1 2 在正三棱柱abc a1b1c1中 bb1 平面abc 又ad 平面abc 所以ad bb1 又 abc是正三角形 且d为bc的中点 所以ad bc 又bb1 bc 平面b1bcc1 且bb1 bc b 所以ad 平面b1bcc1 又ef 平面b1bcc1 所以ad ef 又ef c1d 且c1d ad 平面adc1 c1d ad d 所以直线ef 平面adc1 5 2016江苏泰州中学期初考试 16 正方形abcd所在的平面与三角形cde所在的平面交于cd 且ae 平面cde 1 求证 ab 平面cde 2 求证 平面abcd 平面ade 证明 1 正方形abcd中 ab cd 又ab 平面cde cd 平面cde 所以ab 平面cde 2 因为ae 平面cde 且cd 平面cde 所以ae cd 又正方形abcd中 cd ad 且ae ad a ae ad 平面ade 所以cd 平面ade 又cd 平面abcd 所以平面abcd 平面ade 6 2016江苏南通调研测试 如图 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd是菱形 点e是a1c1的中点 求证 1 be ac 2 be 平面acd1 证明 1 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 连接bd交ac于点f 连接b1d1 则由已知得b1d1交a1c1于点e 因为四边形abcd是菱形 所以bd ac 因为abcd a1b1c1d1为直棱柱 所以bb1 平面abcd 又ac 平面abcd 所以bb1 ac 又bd bb1 b bd 平面b1bdd1 bb1 平面b1bdd1 所以ac 平面b1bdd1 而be 平面b1bdd1 所以be ac 2 连接d1f 因为四棱柱abcd a1b1c1d1为直棱柱 所以四边形b1bdd1为矩形 所以bf d1e 又四边形abcd 四边形a1b1c1d1均为菱形 所以e f分别是b1d1 bd的中点 所以bf d1e 所以四边形bed1f是平行四边形 所以be d1f 又d1f 平面acd1 be 平面acd1 所以be 平面acd1 7 2015江苏苏州 无锡 常州 镇江四市一模 16 如图 四边形aa1c1c为矩形 四边形cc1b1b为菱形 且平面cc1b1b 平面aa1c1c d e分别为a1b1 c1c的中点 1 求证 bc1 平面ab1c 2 求证 de 平面ab1c 证明 1 四边形aa1c1c为矩形 ac c1c 又平面cc1b1b 平面aa1c1c 平面cc1b1b 平面aa1c1c cc1 ac 平面aa1c1c ac 平面cc1b1b c1b 平面cc1b1b ac c1b 又四边形cc1b1b为菱形 b1c bc1 b1c ac c ac 平面ab1c b1c 平面ab1c bc1 平面ab1c 2 取aa1的中点f 连接df ef 四边形aa1c1c为矩形 e f分别为c1c aa1的中点 ef ac 又ef 平面ab1c ac 平面ab1c ef 平面ab1c 又 d f分别为a1b1 aa1的中点 df ab1 又df 平面ab1c ab1 平面ab1c df 平面ab1c ef df f ef 平面def df 平面def 平面def 平面ab1c de 平面def de 平面ab1c 解答题 共60分 1 2017江苏南京师范大学附属中学调研 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 侧棱pd 底面abcd pd dc 点e是pc的中点 作ef pb交pb于点f 1 求证 pa 平面ebd 2 求证 pb 平面efd b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 50分钟分值 50分 证明 1 连接be bd ac 设ac交bd于g 连接eg 则g为ac的中点 在 pac中 e为pc的中点 g为ac的中点 则pa eg 又eg 面bed pa 面bed 所以pa 平面ebd 2 pd 面abcd pd bc bc cd pd cd d pd cd 面pcd bc 面pcd 又de 面pcd bc de pd cd e为pc的中点 de pc 又bc pc c bc pc 面pbc de 面pbc 又pb 面pbc de pb 又 pb ef pb 平面efd 2 2017江苏南通 扬州 泰州三模 16 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 平面pad 平面abcd ap ad m n分别为棱pd pc的中点 求证 1 mn 平面pab 2 am 平面pcd 证明 1 因为m n分别为棱pd pc的中点 所以mn dc 又因为底面abcd是矩形 所以ab dc 所以mn ab 又ab 平面pab mn 平面pab 所以mn 平面pab 2 因为ap ad m为pd的中点 所以am pd 因为平面pad 平面abcd 又平面pad 平面abcd ad cd ad cd 平面abcd 所以cd 平面pad 又am 平面pad 所以cd am 因为cd pd 平面pcd cd pd d 所以am 平面pcd 思路分析 1 利用三角形中位线的性质可得mn cd 从而得mn ab 利用线面平行的判定定理可得结论 2 由平面pad 平面abcd可证得cd 平面pad 所以cd am 结合am pd可证得结论 失分警示在利用面面垂直的性质定理时 一定要把条件找全 写够 才不致失分 3 2016江苏姜堰期初联考 15 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 侧棱pd 底面abcd pd dc 1 点e是pc的中点 作ef pb交pb于点f 连接df de bd be 1 求证 pa 平面ebd 2 求证 pb 平面efd 证明 1 连