空间与图形77226.doc

空间与图形大连嘉汇中学 王松林点、线、面角一、知识结构空间与图形图形的认识图形与变换图形与坐标图形与证明证明的依据相交线与平行线三角形四边形圆尺规作图视图与投影图形的轴对称iddui图形的平移图形的旋转图形的相似三角形圆等腰三角形识别特征矩形菱形正方形等腰梯形垂径定理切线长定理有关切线性质轴对称三角形二、从变换角度看几何图形性质及应用平行线四边形平行四边形点与圆直线与圆圆与圆平移与代数相结合两要素：方向与距离平移通过点的移动来反映整个图形的移动平移与代数相结合坐标变换圆旋转三要素：旋转中心、旋转角度、旋转方向性质及应用中心对称图形三角形正多边形的旋转对称性质等边三角形三角形中位线定理勾股定理四边形平行四边形是中心对称图形圆圆具有旋转不变性即任意角都是它的旋转角度等对等定理：圆心角、弦、弧、弦的弦心距扇形面积、弧长公式推导三、从变换角度看几何证明2006年大连中考全等三角形部分3、如图，RtABCRtDEF, B=60则E的度数为（ ）A.30 B.45 C.60 D.90ABCDEF17如图9，已知1 = 2，AB = AC 求证：BD = CD （要求：写出证明过程中的重要依据）23如图131、图132分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处求图131中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；求图132中，重叠部分面积与阴影部分面积之比(直接出答案)；根据前面探索和图133，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，(n为大于2的偶数)？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由25如图141，P为RtABC所在平面内任意一点(不在直线AC上)，ACB = 90，M为AB边中点操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME = PM，连结DE探究：请猜想与线段DE有关的三个结论；请你利用图142，图143选择不同位置的点P按上述方法操作；经历之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图142或图143加以说明；(注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分)若将“RtABC”改为“任意ABC”，其他条件不变，利用图144操作，并写出与线段DE有关的结论(直接写答案)26如图15，点P(m，m2)抛物线：y = x2上一点，将抛物线E沿x轴正方向平移2m个单位得到抛物线F，抛物线F的顶点为B，抛物线F交抛物线E于点A，点C是x轴上点B左侧一动点，点D是射线AB上一点，且ACD = POM问ACD能否为等腰三角形？若能，求点C的坐标；若不能，请说明理由说明：如果你反复探索，没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写3步)；在你完成之后，可以从、中选取一个条件，完成解答(选取得7分；选取得10分)m = 1；m = 2附加题：如图16，若将26题“点C是x轴上点B左侧一动点”改为“点C是直线y =m2上点N左侧一动点”，其他条件不变，探究26题中的问题复习策略：1 课时：4课时 基础复习：1课时 中档题：2课时 相似与位似：1课时2 知识网络和知识点题型化比如：（一）知识点回顾：（1） 全等三角形的性质_一般三角形直角三角形（2） 全等三角形的识别方法 （二）知识点题型化（1）如图（1）F、C在线段BE上且DFE=ACB，BC=EF，使ABCDEF,需补充的一个条件是_。（2）如图（2）在AOB与COD中，AC、BD交于点O，ABCD，OA=OC,则AOB_,理由_。（3）在横线上填一个适当的条件，使得命题是真命题，如图（3），若B=C,_则ABDACE.（4）能确定ABC与ABC全等的是（ ）A、AC=AC BC=BC B=BB、AC=AC A=A B=BC、AC=CB A=A B=BD、A=A B=B C=C(5)如图（4），D在AB上，E在AC上且B=C那么补充一个条件后，仍无法判定ABEACD的是（ ）A、AD=AE B、AEB=ADC C、BE=CD D、AB=AC（4）（3）ABCDO（2）（1）3 重视书写规范，应该说这是初中几何逻辑推理表达的最初级最佳训练内容。4 抓基本图形 5 重视实际应用问题、情境问题和现实结合比如：巧用三角形全等侧距离1、一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离。（1） 按这个战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证。（2） 你能解释其中的道理吗？2、如图1，是一个正方形的门窗，在装修房屋时，为了把它设计成美观大方的图案，设计师要求在正方形中设计若干个全等的三角形，使其面积和等于正方形的面积，请你按要求在正方形中画出你的设计图形。图图图图6 重能力提升 近年来，围绕全等三角形的知识，出现了许多能力考查题，主要有：一. 补充条件型 例1. 如图1边上的高，且，请你补充条件_（只需填写一个你认为适当的条件）图1二. 探索结论 例2. 如图2，相交于E，请写出由这些条件可得的结论（不再添加辅助线，不再标注其他字母，不写推理过程）。图2 三. 构造真命题 例3. 如图3，在ABC和ABC中，分别是AB边和边上的中线，再从以下三个条件：（1）；（3）中任取两个为题设，另一个为结论，则最多可以构成_个正确的命题。图3 四. 说明理由 例4. 如图4，D是等边内一点，且BD=AD，BP=AB，问的度数是否一定的，若是，求出它的度数，若不是，说明理由。图4ABCDE7从变换角度想辅助线引法如图：正ABC操作：延长BA到D，延长BC到E，使AD=BE，连结DC、DE。探究：DCE的形状，并给出证明。方法一：延长BE到M使BM=BD连结MD，可证ABCDEMBCDMED(SAS)方法二：过A点作AFBC，且使AF=BE,连结EF、DF则可证等边ADF,平行四边行ABEF，再证明ACDFED.ABCDEF方法三：延长CA到F，使AF=AD，连结DF，则可证等边EABCDF三角形ADF，再证CFDDBEABCDEF方法四：过点E作EFCA交BD于点F,则可证等边BEF，再证DACEFD方法五：将DAC以DA为对称轴翻折得DAF，连接FE、FB，则可证DAFEFB 方法六：将DAC绕点C逆时针旋转60度得FBC，连接DF，则可证DBEDBF 8精心选题：初中九年级上P106第一题：1、 如图：AB=DE，BCEF，ABC与DEF全等吗？拓展1将DEF经过怎样的变换可得到ABC？拓展2如图，ABC绕C点旋转30到ABC的位置。（1） 旋转角度是_，旋转方向_ . （2） 找出图中与BCB相等的角_.（3） 你能确定AB与AB的夹角吗？拓展3如图：在拓展2问题中的三角形ABC继续旋转，使B点落在AB上成为B。(1) 找出图中相等线段。(2) B和哪些角相等？(3) 与BCB相等的角有几个？拓展4若ABC中，ACB=90。操作 ：把ABC绕C点顺时针旋转到ABC的位置，旋转度数为（090），AB交直线CA于点D。若 BC=6，AC=8，在旋转过程中，ACD能否为等腰三角形？若可能，求出ACD是等腰三角形时的值。拓展如图，ABC中，ACB=90，ACBC，ABC绕点C逆时针旋转角BCB（0BCB90）得到ABC，连接BB，设CB交AB于点D。（） 当BBD是等腰三角形时，求BCB；（） 当BCB=60时，求BD的长。拓展6如图，直角三角形ABC，AB=AC=5cm, ，ABO=度，B点坐标（，）。（）求、两点坐标。y（）三角板绕点顺时针旋转度成为ABC，求点坐标。OACBx拓展7如图14，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点在第二象限内，点，点在轴的负半轴上，（1）求点的坐标；（2）如图15，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线于点，分别交直线于点，则除外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）（3）在（2）的基础上，将绕点按顺时针方向继续旋转，当的面积为时，求直线的函数表达式ACO11xyGFE图15ABCO11xy图149注重纠错：1 强调对应 策略：图形认识与强化，设置题目陷阱。2 在一个三角形中找三角形全等。3 SSA的错误应使学生思维不朝着这个错误方向发展。4 错把HL当成边角边定理使用。5 当引辅助线或识别全等三角形能力不足。四、数学思想1、分类讨论思想（1）已知圆A和圆相切，两圆的圆心距为cm，圆的半径为cm，则圆B的半径是（ ）A5cm B.11cm C.3cm D.5cm或11cm （2）如图：在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，设P、Q分别是、上的动点，在点自点沿方向做匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P、Q移动的时间为t（0t4）DAPQCB写出PBQ的面积S（）与时间（）之间的函数表达式，当为何值时，有最大值？最大值是多少？当为何值时，PBQ为等腰三角形？PBQ能否为等边三角形？若能，求的值；若不能，说明理由。2、数形结合思想如图，已知最大正三角形的面积是，依次连接各边中点得三角形，利用这个图形计算：在数学活动中，小丽为了求的值（结果用n表示）。设计如图所示的几何图形。请你利用这个几何图形求出A的值为_请你利用图，再设计一个能求A值的几何图形。 3、转化与化归思想(1)如图，扇形OAB的半径为10cm，AOB90，分别以OA、OB为直径作半圆，两半圆交于点C，则图中阴影部分的面积为_cm.(2)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法，如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到ABCD的位置，连接CC，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCCD的面积证明勾股定理: CDBAacBbD4、函数思想(1)如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O作0-90的旋转，那么旋转时露出的ABC的面积（）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表示S与n的关系的图象大致是SSSnnnSnOOOO BACDxy(2)已知ABC，BAC=90,AB=AC=4,BD是AC边上的中线，分别以AC、AB所在直线为X轴，Y轴建立直角坐标系（如图）。在所在直线上找出一点，使四边形ABCP为平行四边形，画出这个平行四边形，并简要叙述其过程；求直线BD的函数解析式；直线BD上是否存在点M，使AMC为等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由。5、方程思想如图所示，有一圆弧形门拱的拱高AB为1cm，跨度CD为4cm，则这个门拱的半径为_cm.如图：矩形纸片ABCD在坐标系中，AB=CD=，AD=1.将纸片沿DE折叠，使点落在对角线上处 ，求点E和点的坐标。若将 BDC沿BD翻折，求点的对应点的坐标。6、统计思想【05内江】小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2和3的同心圆（如图），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判。 你认为游戏公平吗？为什么？ 游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢？”。请你设计方案，解决这一问题。（要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式）五、热点题型1、 紧扣教材，注重考查双基。例：（2006大连23）如图131、图132分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处求图131中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；求图132中，重叠部分面积与阴影部分面积之比(直接出答案)；根据前面探索和图133，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，(n为大于2的偶数)？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由2、 注重实践活动，落实动手能力例：（山西省，2006） 将一张纸沿任一方向翻折，得到折痕AB（如图1）；再翻折一次，得到折痕OC（如图2）；翻折使OA与OC重合，得到折痕OD（如图3）；最后翻折使OB与OC重合，得到折痕（如图4）。展开恢复成图1形状，则DOE的大小是_度。3、 注重应用能力，突出建模思想例：（大连市，2006）早晨小欣与妈妈同时从家里出发，步行与骑自行车到方向相反的两地上学与上班，右图是他们离家的路程y（米）与时间x（分）的函数图象。妈妈骑车走了不得10分钟接到小欣的电话，即以原速骑车前往小欣的学校，并与小欣同时到达学校。已知小欣步行速度为每分别50米，求小欣家与学校距离及小欣早晨上学需要的时间。10ABCOx(米)-2500y(米)4、注重学生差异，突出人文关怀。例：此题有、三类题目，其中A类题4分，B类题6分，C类题8分，请你任选一类证明，多证明的题目不计分。（A类）已知：如图1，=，=，求证：B=C。（类）已知：如图2 ，CEAB于点，BDAC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分BAC，求证：。（类）已知：如图，BDA、HDC都是等腰三角形，且在BC上，BH的延长线与交于点E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程。 图1 图2 图35、注重思维过程，突出“能力”考查。问题背景某课外学习小组在一次学习中，得到了如下两个命题：如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若BON=60，则BM=CN.如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若BON=90，则BM=CN.然后运用类比的思想提出了如下命题：如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若BON=108，则BM=CN.图1图2 图3 图 4任务要求：（1） 请你从，三个命题中选择一个进行证明；（说明：选做对的得分，选做对的得分，选做对的得分）（2） 请你继续完成下面的探索： 请在图中画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是108，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明） 如图4，在正五边形ABCDE中，M、N分别是、上的点，与相交于点，若BON=108，请问结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成