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16函数的极值与最值1(2014课标全国改编)函数f(x)在xx0处导数存在若p:f(x0)0;q:xx0是f(x)的极值点,则p是q的_条件答案必要不充分解析当f(x0)0时,xx0不一定是f(x)的极值点,比如,yx3在x0时,f(0)0,但在x0的左右两侧f(x)的符号相同,因而x0不是yx3的极值点由极值的定义知,xx0是f(x)的极值点必有f(x0)0.综上知,p是q的必要条件,但不是充分条件2(2013辽宁改编)设函数f(x)满足x2f(x)2xf(x),f(2),则x0时,f(x)极值情况为_答案无极大值也无极小值解析由x2f(x)2xf(x),得f(x),令g(x)ex2x2f(x),x0,则g(x)ex2x2f(x)4xf(x)ex2.令g(x)0,得x2.当x2时,g(x)0;当0x2时,g(x)0,g(x)在x2时有最小值g(2)e28f(2)0,从而当x0时,f(x)0,则f(x)在(0,)上是增函数,函数f(x)无极大值,也无极小值3已知x3是函数f(x)aln xx210x的一个极值点,则实数a_.答案12解析f(x)2x10,由f(3)6100,得a12,经检验满足4设变量a,b满足约束条件z|a3b|的最大值为m,则函数f(x)x3x22x2的极小值为_答案解析据线性规划可得(a3b)min8,(a3b)max2,故2|a3b|8,即m8,此时f(x)x2x2(x2)(x1),可得当x1时f(x)0,当1x2时f(x)0,故当x2时函数取得极小值,即f(x)极小值f(2).5已知函数f(x)x32bx2cx1有两个极值点x1,x2,且x12,1,x21,2,则f(1)的取值范围是_答案3,12解析方法一由于f(x)3x24bxc,据题意方程3x24bxc0有两个根x1,x2,且x12,1,x21,2,令g(x)3x24bxc,结合二次函数图象可得只需此即为关于点(b,c)的线性约束条件,作出其对应平面区域,f(1)2bc,问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f(1)2bc的最值问题,由线性规划易知3f(1)12.方法二方程3x24bxc0有两个根x1,x2,且x12,1,x21,2的条件也可以通过二分法处理,即只需g(2)g(1)0,g(2)g(1)0即可,利用同样的方法也可解答6已知函数f(x)的导数为f(x)x2x,则当x_时,函数f(x)取得极大值答案0解析当x1时,f(x)0;当0x1时,f(x)0.所以当x0时,函数f(x)取得极大值7函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是_答案0a1解析y3x23a,令y0,可得ax2.又x(0,1),0a2或a0,解得a2或a1.9若函数f(x)x24x3ln x在t,t1上不单调,则t的取值范围是_答案0t1或2t3解析对f(x)求导,得f(x)x4.由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t1)内,函数f(x)在区间t,t1上就不单调,所以t1t1或t3t1,解得0t1或2t0时,(xk)f(x)x10,求k的最大值解(1)f(x)的定义域为(,),f(x)exa.若a0,则f(x)0,所以f(x)在(,)上单调递增若a0,则当x(,ln a)时,f(x)0.所以,f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增(2)由于a1时,(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时,(xk)f(x)x10等价于k0)令g(x)x,则g(x)1.由(1)知,函数h(x)exx2在(0,)上单调递增,又h(1)e30.所以h(x)在(0,)上存在唯一零点故g(x)在(0,)上存在唯一零点设此零点为,则(1,2)当x(0,)时,g(x)0,所以g(x)在(0,)上的最小值为g()又由g()0,得e2,所以g()1(2,3)由于式等价于k0),xR.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若对于任意的x1(2,),都存在x2(1,),使得f(x1)f(x2)1,求a的取值范围解(1)由已知,有f(x)2x2ax2(a0)令f(x)0,解得x0或x.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,0)0(0,)(,)f(x)00f(x)0所以f(x)的单调递增区间是(0,);单调递减区间是(,0),(,)当x0时,f(x)有极小值,且极小值f(0)0;当x时,f(x)有极大值,且极大值f().(2)由f(0)f()0及(1)知,当x(0,)时,f(x)0;当x(,)时,f(x)2,即0a时,由f()0可知,0A,而0B,所以A不是B的子集当12,即a时,有f(2)0,且此时f(x)在(2,)上单调递减,故A(,f(2),因而A(,0);由f(1)0,有f(x)在(1,)上的取值范围包含(,0),则(,0)B.所以AB.当时,有f(1)0,所以当x(0,2)时,f(x)0,函数yf(x)单调递增所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,)(2)由(1)知,k0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减,故f(x)在(0,2)内不存在极值点;当k0时,设函数g(x)exkx,x0,)因为g(x)exkexeln k,当00,yg(x)单调递增故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点当k1时,得x(0,ln k

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