高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性质（二）课件 新人教B版选修11.ppt

第二章 圆锥曲线与方程 2 1 2椭圆的几何性质 二 学习目标 1 进一步巩固椭圆的简单几何性质 2 掌握直线与椭圆位置关系的相关知识 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 已知直线和椭圆的方程 怎样判断直线与椭圆的位置关系 答案直线与椭圆的位置关系 可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定 通常用消元后的关于x 或y 的一元二次方程的根的判别式来判断 0 直线和椭圆相交 0 直线和椭圆相切 0 直线和椭圆相离 预习导引 两 一 无 要点一直线与椭圆的位置关系例1在椭圆上求一点p 使它到直线l 3x 2y 16 0的距离最短 并求出最短距离 并整理得4x2 3mx m2 7 0 9m2 16 m2 7 0 m2 16 m 4 规律方法本题通过对图形的观察分析 将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题 解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立 消去y或x得到关于x或y的一元二次方程 则 1 直线与椭圆相交 0 2 直线与椭圆相切 0 3 直线与椭圆相离 0 所以判定直线与椭圆的位置关系 方程及其判别式是最基本的工具 跟踪演练1已知椭圆 直线l 4x 5y 40 0 椭圆上是否存在一点 它到直线l的距离最小 最小距离是多少 解如图 由直线l的方程与椭圆的方程可以知道 直线l与椭圆不相交 设直线m平行于直线l 则直线m的方程可以写成4x 5y k 0 消去y 得25x2 8kx k2 225 0 4x 5y k 0 令方程 的根的判别式 0 得64k2 4 25 k2 225 0 解方程 得k1 25 或k2 25 由图可知 当k 25时 直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近 此时直线m的方程为4x 5y 25 0 要点二直线与椭圆的相交弦问题 1 求椭圆的方程 解由题设 以f1f2为直径的圆的方程为x2 y2 1 由根与系数的关系可得x1 x2 m x1x2 m2 3 规律方法处理直线与椭圆相交问题的通法是联立直线与椭圆的方程 消去y或x得到关于x或y的一元二次方程 利用根与系数的关系或中点坐标公式解决 涉及弦的中点 还可使用点差法 设出弦的两端点坐标 代入椭圆方程 两式相减即得弦的中点与斜率的关系 可得x2 18 0 消去y得 1 4k2 x2 32k2 16k x 64k2 64k 20 0 2 当p点恰好为线段ab的中点时 求l的方程 解方法一设l的斜率为k 则其方程为y 2 k x 4 由于ab的中点恰好为p 4 2 即x 2y 8 0 方法二设a x1 y1 b x2 y2 由于p 4 2 是ab的中点 x1 x2 8 y1 y2 4 即x 2y 8 0 要点三椭圆中的最值 或范围 问题例3已知椭圆4x2 y2 1及直线y x m 1 当直线和椭圆有公共点时 求实数m的取值范围 因为直线与椭圆有公共点 所以 4m2 20 m2 1 0 2 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 解设直线与椭圆交于a x1 y1 b x2 y2 两点 由 1 知 5x2 2mx m2 1 0 当m 0时 ab 最大 此时直线方程为y x 规律方法解析几何中的综合性问题很多 而且可与很多知识联系在一起出题 例如不等式 三角函数 平面向量以及函数的最值等 解决这类问题需要正确地应用转化思想 函数与方程思想和数形结合思想 其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式 这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件 1 若点p的坐标为 0 1 求椭圆c的标准方程 2 若点p的坐标为 0 t 求t的取值范围 解 直线ab的斜率为1 bap 45 2 由点p的坐标为 0 t 及点a位于x轴下方 得点a的坐标为 0 t 3 t 3 b 即b 3 t 显然点b的坐标是 3 t 将它代入椭圆方程得 1 2 3 4 d 1 2 3 4 1 2 3 4 答案b 0 即16m2 4m m 3 0 m 1或m0 m 1且m 3 1 2 3 4 c 1 2 3 4 1 2 3 4 解析由条件可得f1 3 0 pf1的中点在y轴上 答案a 课堂小结解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法 解题步骤为 1 设直线与椭圆的交点为a x1 y1 b x2 y2 2 联立直线与椭圆的方程