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高二数学选修4-1学案五 和圆有关的比例线段 班级 姓名 学号 教学目标：1理解相交弦定理及其推论；掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；2掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力3能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点教学重点：正确理解相交弦定理及其推论切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理教学难点：定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系教学活动：一复习导入：1证明：已知：弦AB和CD交于O内一点P求证：PAPBPCPD相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等2从一般到特殊，发现结论 对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直 思考：（1）若AB是直径，并且ABCD于P根据相交弦定理，能得到什么结论? 推论： 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项（2）若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：PC2PAPB ；AC2APAB；CB2BPAB二范例讲解一例1： 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长 根据题意列出方程并求出相应的解例2： 已知：线段a，b求作：线段c，使c2ab分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段作法：口述作法三课堂练习一 练习1： 如图，AP2厘米，PB25厘米，CP1厘米，求CD（变式练习：若AP2厘米，PB25厘米，CP，DP的长度皆为整数那么CD的长度是多少?）练习2： 如图，CD是O的直径，ABCD，垂足为P，AP4厘米，PD2厘米求PO的长练习3： 如图：在O中，P是弦AB上一点，OPPC，PC 交O于C 求证：PC2PAPB 分析：由APPB，联想到相交弦定理，想到延长 CP交O于D，于是有PCPDPAPB又根据条件OPPC易 证得PCPD问题得证探究：1、相交弦定理是两弦相交于圆内一点如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？2、当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点时，猜想：由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系？3、用语言表达上述结论切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（也叫做割线定理）四范例讲解二例1： 已知：O的割线PAB交O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求O的半径（分析：由于PO既不是O的切线也不是割线，故须将PO延长交O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解 ）例2：如图7-90，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D、EAB=12，AO=15，AD=8求：两圆的半径五课堂练习二1、P为O外一点，OP与O交于点A，割线PBC与O交于点B、C，且PB=BCOA=7，PA=2，求PC的长 2、已知：如图7-92，O和O都经过A和B，PQ切O于P，交O于Q、M，交AB的延长线于N求证：PN2=NMNQ六课堂反思：观察图形，要证的数量关系中，线段属于不同的两圆，NP是O的切线，NMQ是O的割线，能够把这两条线联系在一起的是两圆的公共割线NBA具备了在两圆中运用切割线定理及其推论的条件例：如图7-93，四边形ABCD内接于O，AB长7cm，CD=10cm，ADBC=12，延长BA、CD相交于E，从E引圆的切线EF求EF的长分析：此题中EF是O的切线，由切割线定理：EF2=EDEC=EAEB，故要求EF的长，须知ED或EA的长，而四边形ABCD内接于O，可EB长为2x，应用割线定理，可求得x，于是EF可求证明：四边形ABCD内接于OEADECBEB=2xx(x+10)=(2x-7)2xx=8EF2=8(8+10)EF=12答：EF长为12cm高二数学选修4-1学案六 和圆有关的比例线段习题课 班级 姓名 学号 教学目标：1理解相交弦定理及其推论；掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；2掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力3能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点教学重点：正确理解相交弦定理及其推论切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理教学难点：定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系教学活动：一切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 二。切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。三利用切线长定理解题 例1. 如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。解图1 例2 ：如图7，在直角三角形ABC中，A90，以AB边为直径作O，交斜边BC于点D，过D点作O的切线交AC于E。 求证：BC2OE。 点悟：由要证结论易想到应证OE是ABC的中位线。而OAOB，只须证AECE。 图7 证明：连结OD。 ACAB，AB为直径 AC为O的切线，又DE切O于D EAED，ODDE OBOD，BODB 在RtABC中，C90BODE90 CEDC EDEC AEEC OE是ABC的中位线 BC2OE 例3： 如图8，在正方形ABCD中，AB1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。 当DEF45时，求证点G为线段EF的中点； 解：由DEF45，得 ，DFEDEF DEDF 又ADDC AEFC 因为AB是圆B的半径，ADAB，所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C。又因为EF切圆B于点G，所以AEEG，FCFG。 因此EGFG，即点G为线段EF的中点。 图8四、反馈测试 一、选择题1. 已知：PA、PB切O于点A、B，连结AB，若AB8，弦AB的弦心距3，则PA（ ） A. B. C. 5 D. 82. 下列图形一定有内切圆的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形3. 已知：如图1直线MN与O相切于C，AB为直径，CAB40，则MCA的度数（ ）A. 50 B. 40 C. 60 D. 55图14. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm5. 在ABC中，D是BC边上的点，AD，BD3cm，DC4cm，如果E是AD的延长线与ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（ ） A. B. C. D. 6. PT切O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交O于B和A，B在线段PD上，若CD2，AD3，BD4，则PB等于（ ） A. 20 B. 10 C. 5 D. 二、填空题7. AB、CD是O切线，ABCD，EF是O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则EOF_度。8. 已知：O和不在O上的一点P，过P的直线交O于A、B两点，若PAPB24，OP5，则O的半径长为_。9. 若PA为O的切线，A为切点，PBC割线交O于B、C，若BC20，则PC的长为_。10. 正ABC内接于O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交O于点D，连结BD交AC于P，则_。三、解答题11. 如图2，ABC中，AC2cm，周长为8cm，F、K、N是ABC与内切圆的切点，DE切O于点M，且DEAC，求DE的长。图212. 如图3，已知P为O的直径AB延长线上一点，PC切O于C，CDAB于D，求证：CB平分DCP。图313. 如图4，已知AD为O的直径，AB是O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BMMNNC，若AB，求O的半径。图4五总结、扩展1要经常复习学过的知识，把新旧知