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欢迎光临中学数学信息网 历年高考题中的翻折问题 86理科 (8)在正方形SG1G2G3中E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体SEFG中必有(A)SGEFG所在平面 (B)SDEFG所在平面(C)GFSEF所在平面 (D)GDSEF所在平面93北京卷（23）如图,ABCD是正方形,E是AB的中点,如将DAE和CBE分别沿虚线DE和CE折起,使AE与BE重合,记A与B重合后的点为P,则面PCD与面ECD所成的二面角为 度.301996高考理科(9)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为d(20)（本小题满分12分） 在直角梯形ABCD中，D=BAD=90,AD=DC=AB=a,(如图一)将ADC 沿AC折起，使D到D.记面ACD为a,面ABC为b.面BCD为g. (i)若二面角a-AC-b为直二面角（如图二），求二面角b-BC-g的大小; (ii)若二面角a-AC-b为60（如图三），求三棱锥D-ABC的体积。（20）本小题主要考查空间线间关系，及运算、推理、空间想象能力。满分12 分。 解：（I）在直角梯形ABCD中， 由已知DAC为等腰直角三角形， 过C作CHAB，由AB=2， 可推得 AC=BC= ACBC 2分 取 AC的中点E，连结， 则 AC又 二面角为直二面角， 又 平面 BC BC，而， BC 4分 为二面角的平面角。 由于， 二面角为。 6分 （II）取AC的中点E，连结，再过作，垂足为O，连结 OE。 AC， AC 为二面角的平面角， 9分 在中， ， 2002 北京春季高考（15）正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图所示）M为矩形AEFD内的一点，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为1/2，那么点M到直线EF的距离为_2/22003北京春季高考11如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点， G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将ABC 沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度 数为 （ ）A90B60C45D02004安徽春季理科（5）等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将AMN折起，使得面AMN与面MNCB所处的二面角为300，则四棱锥AMNCB的体积为（A） （B） （C） （D）32005湖南高考理科17、（本题满分12分）如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。（）证明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小。ABCDOO1ABOCO1D解法二（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1， 所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 从而AO平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影.因为 ，所以OO1B=60，O1OC=30，从而OCBO1图4由三垂线定理得ACBO1.（II）解 由（I）ACBO1，OCBO1，知BO1平面AOC.设OCO1B=E，过点E作EFAC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O1FAC.所以O1FE是二面角OACO1的平面角. 由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，所以，从而，又O1E=OO1sin30=，所以 即二面角OACO1的大小是2005浙江理科12设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_902005年高考文科数学江西卷9矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）ABCD2006山东理科（12）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,DAB=60,E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则PDCE三棱锥的外接球的体积为(A) (B) (C) (D) 2006辽宁19（本小题满分12分）已知正方形，分别是边的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为（）（1）证明平面；（2）若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的余弦值ABCDEF（19）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力.满分12分（）证明：、分别是正方形的边、的中点.且四边形是平行四边形平面而平面平面（）解法一：点在平面内的射影在直线上，过点用平面垂足为连接为正三角形在的垂直平分线上。又是的垂直平分线点在平面内的射影在直线上过作，垂足为，连接则是二面角的平面角，即设原正方形的边长为，连接，在折后图的中，为直角三角形，在中，解法二：点在平面内的射影在直线上，连结，在平面内过点作，垂足为为正三角形，为的中点，又平面平面又，且，平面，平面，平面，为在平面内的射影。点在平面内的射影在直线上过作，垂足为，连结，则，是二面角的平面角，即设原正方形的边长为。在折后图的中，为直角三角形，在中，解法三：点在平面内的射影在直线上连结，在平面内过点作，垂足为为正三角形，为的中点又平面，平面，平面平面又平面平面，平面，即为在平面内的射影，点在平面内的射影在直线上。过作，垂足为，连结，则是二面角的平面角，即设原正方形的边长为在折后图的中，.为直角三角形，.在中，,.12分2006江苏（19）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如图1）。将AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（）求证：A1E平面BEP；（）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（）求二面角BA1PF的大小（用反三角函数表示）图1图219本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力。解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3（1） 在图1中，取BE中点D，连结DF. AE：EB=CF：FA=1：2AF=AD=2而A=600 , ADF是正三角形，又AE=DE=1, EFAD在图2中，A1EEF, BEEF, A1EB为二面角A1EFB的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE,又A1E平面BEF,即 A1E平面BEP（2） 在图2中，A1E不垂直A1B, A1E是平面A1BP的垂线，又A1E平面BEP，A1EBE.从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角,且BPA1Q.在EBP中, BE=EP=2而EBP=600 , EBP是等边三角形.又 A1E平面BEP , A1B=A1P, Q为BP的中点,且,又 A1E=1,在RtA1EQ中，,EA1Q=60o, 直线A1E与平面A1BP所成的角为600在图3中，过F作FM A1P与M，连结QM,QF,CP=CF=1, C=600,FCP是正三角形，PF=1.有PF=PQ,A1E平面BEP, A1E=A1Q, A1FPA1QP从而A1PF=A1PQ, 由及MP为公共边知FMPQMP, QMP=FMP=90o,且MF=MQ,从而FMQ为二面角BA1PF的平面角. 在RtA1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又. MQA1P在FCQ中,FC=1,QC=2, C=600,由余弦定理得在FMQ中，二面角BA1PF的大小为【解后反思】在立体几何学习中,我们要多培养空间想象能力, 对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后的不变量,二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一.是高考数学必考的知识点之一.作,证,解,是我们求二面角的三步骤.作:作出所要求的二面角,证:证明这是我们所求二面角,并将这个二面角进行平面化,置于一个三角形中,最好是直角三角形,利用我们解三角形的知识求二面角的平面角.向量的运用也为我们拓宽了解决立体几何问题的角度,不过在向量运用过程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托题目的图形,坐标才会容易求得.2007安徽文10把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，折成直二面角后，在四点所在的球面上，与两点之间的球面距离为（）2007广东理科19（本小题满分14分）图6PEDFBCA如图6所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积（1）求的表达式；（2）当为何值时，取得最大值？（3）当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值（1）由折起的过程可知，PE平面ABC，V(x)=（）（2），所以时， ，V(x)单调递增；时 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值；（3）过F作MF/AC交AD与M,则，PM=，在PFM中， ，异面直线AC与PF所成角的余弦值为；2007湖南18（2007高考湖南卷）如图2，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，并连结，使得平面平面，且连结，如图3AEBCFDG18解：解法一：（）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（II）过点作于点，连结由（I）的结论可知，平面，所以是和平面所成的角因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，故因为，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形由题设，则所以，因为平面，所以平面，从而故，又，由得故即直线与平面所成的角是解法二：（