高中数学 第四章 函数应用 1.2 利用二分法求方程的近似解课件 北师大版必修1.ppt

1 2利用二分法求方程的近似解 第四章 1函数与方程 学习目标1 理解二分法的原理及其适用条件 2 掌握二分法的实施步骤 3 体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一二分法的原理 通过上节课的学习 我们知道f x lnx 2x 6的零点在区间 2 3 内 如何缩小零点所在区间 2 3 的范围 答案 答案 取区间 2 3 的中点2 5 计算f 2 5 的值 用计算器算得f 2 5 0 084 因为f 2 5 f 3 0 所以零点在区间 2 5 3 内 二分法的概念如果在区间 a b 上 函数f x 的图像是 且 则区间 a b 内有方程f x 0的解 依次取有解 如果取到某个区间的中点x0 恰使f x0 0 则x0就是所求的一个解 如果区间中点的函数值总不等于零 那么 不断地重复上述操作 就得到一系列闭区间 方程的一个解在这些区间中 区间长度 端点逐步逼近方程的解 可以得到一个近似解 像这样每次 再经比较 按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法 梳理 一条连续的曲线 f a f b 0 区间的中点 越来越小 取区间的中点 将区间一分为二 思考 知识点二精度与精确到 精确到0 1 与 精度为0 1 一样吗 答案 答案不一样 比如得数是1 25或1 34 精确到0 1都是通过四舍五入后保留一位小数得1 3 而 精度为0 1 指零点近似值所在区间 a b 满足 a b 0 1 比如零点近似值所在区间 1 25 1 34 若精度为0 1 则近似值可以是1 25 也可以是1 34 梳理 使得区间长度b a 知识点三二分法求方程近似解的步骤 利用二分法求方程实数解的过程可以用下图表示出来 在这里 初始区间 是一个两端函数值反号的区间 m 的含义是 取新区间 一个端点是原区间的中点 另一端是原区间两端点中的一个 新区间两端点的函数值反号 n 的含义是 方程解满足要求的精度 p 的含义是 选取区间内的任意一个数作为方程的近似解 题型探究 例1用二分法求函数f x x3 3的一个零点 精度为0 02 类型一二分法的操作 解答 解由于f 0 3 0 f 1 2 0 f 2 5 0 故可取区间 1 2 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算 列表如下 因为 1 453125 1 4375 0 015625 0 02 所以函数f x x3 3的零点的近似值可取为1 4375 引申探究 解答 由f 1 10 故可以取区间 1 2 为计算的初始区间 用二分法逐次计算 列表如下 由于1 265625 1 2578125 0 0078125 0 01 用二分法求函数零点的近似值关键有两点 一是初始区间的选取 符合条件 包括零点 又要使其长度尽量小 二是进行精度的判断 以决定是停止计算还是继续计算 反思与感悟 跟踪训练1借助计算器或计算机用二分法求方程2x 3x 7的近似解 精度为0 1 解答 解原方程即2x 3x 7 0 令f x 2x 3x 7 用计算器或计算机作出函数f x 2x 3x 7的对应值表与图像如下 观察图或表可知f 1 f 2 0 说明这个函数在区间 1 2 内有零点x0 取区间 1 2 的中点x1 1 5 用计算器算得f 1 5 0 33 因为f 1 f 1 5 0 所以x0 1 1 5 再取区间 1 1 5 的中点x2 1 25 用计算器算得f 1 25 0 87 因为f 1 25 f 1 5 0 所以x0 1 25 1 5 同理可得 x0 1 375 1 5 x0 1 375 1 4375 由于 1 375 1 4375 0 0625 0 1 所以原方程的近似解可取为1 4375 例2若函数f x 在 1 2 内有1个零点 要使零点的近似值满足精度为0 01 则对区间 1 2 至少二等分a 5次b 6次c 7次d 8次 类型二二分法取中点的次数问题 答案 解析 解析设对区间 1 2 至少二等分n次 初始区间长为1 6 log2100 7 n 7 故对区间 1 2 至少二等分7次 反思与感悟 跟踪训练2在用二分法求方程的近似解时 若初始区间的长度为1 精度为0 05 则取中点的次数不小于 5 答案 解析 当堂训练 答案 2 3 4 5 1 2 观察下列函数的图像 判断能用二分法求其零点的是 答案 2 3 4 5 1 3 方程2x 1 x 5的根所在的区间为a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 答案 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 4 定义在r上的函数f x 的图像是连续不断的曲线 已知函数f x 在区间 a b 上有一个零点x0 且f a f b 0 用二分法求x0时 当f 0时 则函数f x 的零点是 答案 5 用二分法求函数y f x 在区间 2 4 上的唯一零点的近似值时 验证f 2 f 4 0 取区间 2 4 的中点x1 3 计算得f 2 f x1 0 则此时零点x0所在的区间是a 2 4 b 2 3 c 3 4 d 无法确定 答案 2 3 4 5 1 规律与方法 1 二分就是平均分成两部分 二分法就是通过不断地将所选区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 直至找到零点附近足够小的区间