交通问题中的数学模型的分类与研究.doc

学校代码：学生学号：052094110 白城师范学院 毕业论文（设计）交通问题中的数学模型的分类与研究Classification and mathematical model of the traffic problems in the姓 名： 刘 荣 鹤 指导教师： 李 春 沅 教 授 学科专业： 信息与计算科学 所在单位： 数 学 学 院 2013年6月 目 录摘 要：1关键词：1引 言1一、交通问题中数学模型的分类11、数学微分模型11.1交通流的基本函数：21.2间断交通流3 1.3应用范围41.4模型优缺点42、动力学模型42.1交通流的流体力学模型42.2交通流的气体动力论模型52.3元胞自动机模型6二、基于元胞自动机理论模型及其模拟研究81、交通流元胞自动机模型概述81.1 一维交通流元胞自动机模型81.2 FI模型92、交通流元胞自动机模拟82.1元胞参数定义102.2 元胞自动机规则112.4 结果分析122.5 结论13三、小结14四、参考文献14交通问题中的数学模型的分类与研究摘 要：本课题对以往交通问题中的数学模型进行分类总结，然后着重分析每种方法比如动力学模型等模型的使用范围以及相应的缺陷，并且在各种方法总结比较中，挑选动力学模型中元胞自动机模型进行使用，把车辆在路段上运动的变化规律表述为元胞自动机的演变规则，建立基于元胞自动机理论的交通流模拟模型。标定了元胞长度和最大速度等参数，继而提出反映车辆在路段上自由行驶、跟驰行驶和减速行驶等交通行为的元胞自动机规则。关键词： 交通流 数学模型 分类 元胞自动机引 言：随着我国改革开放的不断深入，城乡经济的进一步繁荣，城市规模的日益扩大，城市交通中的各种机动车辆和非机动车辆数量迅速增加，从而使城市道路更为拥挤和难以管理，交通堵塞和拥挤严重、城市公共交通发展较慢，公交工具数量不足，结构单一，运营效率和效益低、交通管理设施、技术差，从而导致交通问题屡见不鲜。因此，研究城市交通问题能帮助我们深入分析城市交通系统中交通需求与交通供给之间的内在作用规律，探究新的解决途径，为城市交通的良好运作与人们安全出行提供必要的理论保证。一、交通问题中数学模型的分类1、数学微分模型微分模型也是研究交通问题的一类重要方法，它以微积分学为基础，把车辆看成连续的质点，建立连续的交通流模型。下面以红绿灯下的交通流模型为例介绍数学微分模型。各种类型的汽车一辆接着一辆沿着公路飞驰而过，其情景就像湍急的河流中奔腾的流水一样。在这种情况下，很难分析每辆汽车的运动规律，而是把车辆对看作连续的流体，称为交通流。研究每一时刻通过公路上每一点的交通流的流量、速度和密度等变量间的关系。1.1交通流的基本函数：研究对象是无穷长公路上沿单向流动的一条车流。假定不允许超车，公路上也没有岔道，即汽车不会从其他通道进入或驶出。在公路上选定一个坐标原点，记作。以车流运动方向作为轴的正向，于是公路上任一点用坐标表示。对于每一时刻和每一点，引入3个基本函数：流量时刻单位时间内通过点的车辆数；密度时刻点处单位长度内的车辆数；速度时刻通过点的车流速度。将交通流视为一维流体场，这些函数可以类比作流体的流量、密度和速度。这里的速度不表示固定的哪一辆汽车的速度。3个基本函数之间存在着密切关系。首先可以知道，单位时间内通过的车辆数等于单位长度内的车辆数与车流速度的乘积，即 （1）其次，车流速度 总是随着车流密度的增加而减小的。当一辆汽车前面没有车辆时，它将以最大速度行驶，可以描述为 时 （最大值）；当车队首尾相接造成堵塞时，车辆无法前进，可记为（最大值）时。如果简化假设是的线性函数，则有： （2）再由可得： （3）表明流量随车辆密度的增加先增后减，在处达到最大值。流量与密度的关系其中（2），（3）式是在平衡状态下，和之间的关系，即假定所有车辆的速度相同，公路上各处的车流密度相同。方程（6）的特征线1.2间断交通流方程当密度函数出现间断时，是具有实际意义的也是常见的一种情况。一连串的间断点在平面上构成一条孤立的、连续的间断线，记作并假定它是可微的。在任意时刻，在轴上是孤立的，取区间，使。在内交通流方程的积分形式（4）仍然成立。将分为两个区间和，在每个区间内是连续、可微的，于是有：其中和分别表大于示从小于和一侧趋向时的极限值。在这种趋向下和的极限值记作：和在间断点处的跳越值记作：如图所示：当时（11）式中的=0，=0。利用（12），（13）式的记号立即得到或者记作： 在处间断这就是间断线应满足的方程，其中和可以用连续交通流方程得到的和在间断点处取极限值算出。1.3应用范围：该模型适用于研究一维单车道交通流，即研究对象是无穷长公路上沿单向流动的一条车流，并且前提条件是不允许超车，公路上没有岔道，汽车不会从其他通道进入或驶出。1.4模型优缺点： 该模型按照守恒关系建立微分交通流模型，利用特征线求解，能够合理的解释很多交通流中出现的现象。同时，该模型利用间断线的研究方法，能够很好的研究解决红绿灯信号以及类似于红绿灯信号模型出现的情况。2、动力学模型动力学模型是研究现代交通问题的主要方法之一，它主要是以元胞自动机（CA）为动态模型，建立一种适合普遍的交通问题的数学建模方法。 交通问题中的研究对象如车辆和人都是不连续的，车流运动也有很大的随机性和不确定性，用非线性的离散模型来刻划交通现象，这在交通研究的方法上是一个创新。模拟的基本思想是将路面格子化，每个格子视为有独立思维的小元胞，若干个小元胞对应一辆或几辆小汽车，把车辆在路面上的运动看成是格子场的演变，元胞可以像小汽车一样通过观察周围环境的变化来决定下一步的运动状态，凡车辆应遵守的交通规则都表述为元胞的演变规则，车辆行驶的加速、减速、惯性、跟驰等均可以通过元胞的速度变化规则来详细刻划，从而把交通流的变化规律转化为元胞的演变规则加以研究。2.1交通流的流体力学模型交通流的流体力学模型将交通流视为由大量车辆组成的可压缩连续流体介质，力图以车辆的平均密度，平均速度，交通流量等宏观量来刻画车辆的平均合作行为。流体力学模型在推动交通流理论的发展过程汇总，起着非常重要的作用，其中重要的模型有LWR模型、Payne模型等。LWR模型描述了“交通激波”现象，也就是交通过程只能给形成的车辆密度的不连续性和由此行程的交通阻塞，以及交通阻塞的消散过程。但是，LWR模型假设了速度、密度之间始终满则平衡关系，因此该模型不适用于描述本质上处于非平衡态的交通现象，例如存在车辆上下、下砸到的交通，时停时走的“幽灵式”交通阻塞，交通迟滞等。延续LWR模型的思想，并考虑交通流速度动态变化，在引用连续性方程的同时，引进动力学方程，Payne建立了如下两个方程构成的高阶连续模型Payne模型： （1） （2）（2）式的右边第一项为期望项，为期望指数，反映驾驶员对前方交通状态改变的反应过程；第二项式驰豫项，描述车辆速度在弛豫时间内向平衡速度的调整；最优速度函数和其他参数一般通过对所考察的道路实测和参数辨识来确定。模型优缺点：Payne模型允许速度偏离平衡速度密度关系，较之LWR模型能更准确地描述实际车流，即可描述诸如交通激波形成以及阻塞消散，又能够分析任意小扰动引起的交通失稳、交通迟滞、时停时走的交通形成现象等等。2.2交通流的气体动力论模型著名的物理学家Prigogine和著名的交通流专家Herman在研究交通流时认为不能忽略车辆的个体行为对交通流的影响，个体行为不同会带来不同的集体运动行为。如果把每一辆车用一个粒子来表示，那么交通流就被视为由许多相互作用的粒子构成的气体。借鉴于气体运动的统计物理描述办法，引入粒子分布函数，建立类似的Boltzmann方程。通过对Boltzmann方程逐级求解，就可以得到宏观交通流的连续模型。最初的Prigogine-Herman模型得到的很多交通性质与实测结果不相吻合，因此，在此模型的基础上，先后提出了许多改进模型，其中Helbing模型最为成功。Helbing在考虑了车辆的加速和相互作用机制后，将描述车辆运动状态的粒子分布函数所遵守的Boltzmann方程改写为其中，是两辆车辆的速度，是车辆的期望速度，为扩散函数，为超车概率，是与密度有关的因子。是车辆之间的作用函数。通过对上式方程求矩得到：其中，是交通压力，定义为：是速度方差，是车辆在驰骋时间内趋近的动态平衡速度。与其他模型相比，Helbing模型动态平衡速度与安全距离之间相互点的密度和速度有关，表示为：模型优缺点：Helbing模型的数值模拟表明该模型能够描述由匝道引起的各种交通状态和交通相变，不仅能准确地解释“幽灵式的交通阻塞”，而且还能解释时停时走交通引起的堆集形成以及同步交通等非线性动态现象。模型应用：以Helbing模型为基础研制的交通软件包MAS-TER具有计算速度快、鲁棒性强的特点，可以实时仿真几千里长的高速公路交通。2.3元胞自动机模型传统的交通流模型如流体力学模型、气体动力学模型、跟驰模型等在理论研究和实际应用中发挥了重要作用。然而由于交通流在时间、空间上具有高度的随机性、动态性和复杂性，交通系统表现出丰富的非线性特征。实证研究表明，交通流存在三相：自由流(free flow)、大范围移动阻塞(wide movingjams)和同步流(synchronized flow)，还有一些“异常”现象，如亚稳态(meta-stable states)、滞回效应(hysteresiseffect)、排队消散(platoon dispersion)等，传统模型对此难以解释。另一方面，真实交通系统一般路网规模巨大，道路使用者众多，传统的微观仿真方法面临着计算资源约束，要求有结构简单、计算迅速的交通流模型。目前基于元胞自动机(Cellular Automata，CA)的交通流模型取得了很大进展。CA是研究系统复杂性的重要工具，在很多领域得到广泛应用，Cremer等最早用CA思想对交通流进行了研究。虽然CA模型微观上的规则简单、不太真实，但从统计物理的角度看，可以再现系统的宏观特性，一般其看作“最小化”的系统，用来揭示系统的本质规律。另外，CA时间、空间、状态变量均离散，元胞状态并行局部更新，适合计算机模拟，能够实现大规模路网的快速计算。交通流元胞自动机模型的出现和发展为交通流理论研究提供了一种新的方向。交通流元胞自动机(Cellular Automata，简称CA)是一时间和空间都离散的动力系统。散布在规则格网中的每一元胞取有限的离散状态，遵循同样的作用规则，依据确定的局部规则作同步更新。（1）元胞自动机定义 元胞自动机的严格定义为： A、规整的元胞网格覆盖d维空间的一部分； B、归属于网格的每个格位r的一组布尔变量。给出每个元胞在时间的局部状态； C：演化规则按下列方式指定状态的时间演化过程：，式中指定从属于元胞的给定邻居元胞。从定义中可知，演化规则R对所有格位都是同一的，且同时应用于他们中的每个元胞，由此得到同步动力学。同时，时间的状态只随时间t的状态而变化，这就要求对状态进行长期记忆，并引入对时间等的状态的相依性。（2）元胞的邻居在元胞自动机中，每个元胞下一时刻的状态都取决于其本身的状态和元胞邻居的状态。在网格上，每个元胞的邻居的大小是一样的。最简单的情况即一维网格，邻居由元胞本身加上它的临近元胞构成；在二维网格中，有几种可能性：除元胞本身外，东、南、西、北四个近邻元胞，或是上面的五个元胞和东北、东南、西南、西北四个对角线元胞(Mare邻居)。推算可知，当元胞空间维数增加时，一个元胞的直接邻居数目是成指数增长，描述了两种邻居的例子： 两种常见的二维元胞自动机邻居（3）边界条件 可以想见，一个无限网格的系统的演化是不可能进行模拟处理的。也就是说，元胞自动机系统必须是有限的，有边界的。目前常用的边界是由扩展邻居的方法获得的，有四种情况如下：ba周期边界b1a固定边界 aa绝热边界ba映射边界b （4）规则每个元宝在确定的时间有两种可能的状态，即或1（代表元胞），则时间的状态只决定于时间的三元组：。由此三元组合可以计算出元胞自动机规则由256种。二、基于元胞自动机理论模型及其模拟研究1、交通流元胞自动机模型概述 随着我国经济的飞速发展，私家车和城市汽车保有量迅猛增长，城市交通拥堵现象日益严重，从而引起了人们的极大关注。如何描述城市交通的规律，充分利用交通资源，以科学理论指导交通系统的发展和改善，己迫在眉睫。在交通工程领域，描述交通特性的方法主要有概率论方法、交通流体动力学、车辆跟驰理论和元胞自动机模型等。交通流元胞自动机模型是20世纪90年代发展起来的交通流新动力学方法。 交通流元胞自动机由元胞、元胞的状态空间、邻居及局部规则四部分组成。 （1）元胞和元胞空间 元胞又可称为基元，是元胞自动机的最基本的组成部分，分布在离散的一维或二维空间的格点上； （2）状态 取值于一个有限的离散集，交通流元胞自动机的元胞只能有一个状态变量； （3）邻居 在给出规则之前，必须定义一定的邻居规则，明确哪些元胞属于该元胞的邻居； （4）规则 根据元胞当前状态以及邻居状况确定下一时刻该元胞状态的函数，也称为状态转移函数。交通流元胞自动机是由分布在规则网格中的每一个元胞取有限的离散状态，遵循确定的规则做出同步更新，即大量元胞通过简单的局部相互作用而构成的动力系统。 不同于一般的动力学模型，交通流元胞自动机不是由严格的物理方程确定，而是通过构造一系列模型的规则来实现的，这恰恰增强了其表达复杂关系的能力，为其在复杂的交通流领域的应用奠定了基础。1.1 一维交通流元胞自动机模型 最早的一维交通流元胞自动机模型采用一维格点链上的粒子来模拟公路上的车辆。所有的车辆的行进方向都相同。在每一个时步，若某车前方是空的，则它可以向前行进一步。否则它就在原地不动，即使前方的车辆在此时步中离开。整个系统采用周期边界条件以保持车辆数守恒。图3-3为两次时步演化图。一维交通流元胞自动机模型忽略了十字路口，交通灯和交叉口方向上车辆的影响，强调了同一路段上同方向车辆的相互作用。这种模型适合与模拟高速公路或城市交通环线上的交通流。常用的一维元胞自动机模型为NS和FI模型及其以两种模型为基础的改进模型。1.12 FI模型FI模型是由日本学者Fukui和Ishibashi提出的。在FI模型中，演化规则：（1）如果车辆与前车的间距大于车辆的最大速度，车辆将以最大速度前进；即时，；（2）如果车辆与前车的间距小于车辆的最大速度，则车辆的前进速度等于。 即时，；（3）根据随机减速规则，表示第辆车的行驶速度，当车辆能够以最大速度前进时，它将以概率从减速为。即时， 。 其中 ；模型优缺点：FI模型与NS模型的区别在于加速方式和随机减速方式不同。在NS模型中，如果车速小于最大速度，车辆在下一时刻的速度最多只能达到；而在FI模型中，只要车速小于最大速度，则车辆就可能加速到 (考虑随机规则)；在NS模型中，所有车辆都可能随机减速，而在FI模型中，只有以最大速度行驶的车辆才能减速。2、交通流元胞自动机模拟2.1元胞参数定义2.11元胞长度在CA模型中，首先定义一个一维点阵来代表一条单车道，即将所研究的单车道分成n个长度为L的小路段(元胞)，该点阵中每个位置或空闲或容纳一辆车。其中，定义元胞长度L是阻塞时的平均车头间距。更新的时间步长一般可以认为是驾驶员的反应时间，一般取。这样在CA模型中，位移、速度、时间都取整数，具有离散性。每个位置的状态有7种，分别是：位置空闲和该位置处车辆速度分别为0，1，2，3，4，5元胞长度/秒。这样定义的元胞长度的不足是：由于元胞长度取值偏大，导致车辆运动的加速度过大，这样，车辆在加速时总是以最大加速度加速，而在减速时，又以最大减速度减速。通过缩小元胞长度能够获得较小的加速度值。考虑到城市道路上车辆阻塞密度一般为120125，将元胞长度取为平均车头间距的1/4(若=125，则平均车头间距为8)，对城市道路来说一个元胞长度即为2。于是路段上每4个连续的元胞容纳一辆车，在某一时刻，这4个连续的元胞具有相同的状态，即所容纳车辆的速度相同。2.12最大速度本模型中的最大速度并不是指车辆所能达到的最大设计车速。在城市道路上，出于安全考虑，都规定了车辆的最大行驶速度，我国城市道路的限速是 ()。为了减少过程中的问题，本文仅取最大速度为。由于每个元胞长度为，因此在元胞自动机模型中最大速度将为2.5元胞长度/秒，车速范围为。 2.13更新时间间隔更新时间间隔取为。2.14边界条件CA模型采用的边界条件是封闭的道路系统，换句话说道路系统是一个闭环，即一辆车从路段出口离开，马上从入口进入另一路段。这样可简单地将所研究路段上的车辆数控制在指定的数量上，来研究某一密度下的交通状况。该模型可以保证所研究路段的车流模拟稳定性，对单车型交通流的研究效果较好，但对于车辆组成复杂的道路系统，它会造成真实道路系统中车辆类型比例与期望值的较大差异。2.2 元胞自动机规则在规则中使用的变量符号定义如下。把一列正在行驶的车辆从小到大排序，第n辆车记为本车，第n-1辆为前车。再假设在1s内车辆的速度是匀速的，而且时间t的取值为整数秒。记：时刻本车的位置(元胞长度)；：时刻本车的速度(元胞长度/秒)；：时刻本车的加速度(元胞长度/秒2)；：时刻前车的位置(元胞长度)；：时刻前车的速度(元胞长度/秒)；：时刻，本车车头与前车车尾之间的间隔(元胞长度)，即。为方便起见，本车在时段内行驶的距离记为秒=，速度变化记为秒=。道路上所有车辆的状态同时按下述的元胞自动机规则变化。(1)加速规则在时刻，若，则车辆加速行驶。其中：如果，则；如果，则；如果，则。(2)减速规则在时刻，若，则车辆减速行驶。其中：如果，则；如果，则。(3)修正规则在时刻，已知本车的加速度是，设前车的加速度是最大减速度(-4)，那么在时刻：如果，则本车的加速度依然取；如果，则本车的加速度取 (但不小于-4)，再重新计算和，一直到为止。此时得到的即为修正后本车在时刻的实际加速度值。(4)随机规则在概率下，经过修正规则修正的车辆继续减速，其减速增量为，且使修正后的加速度加上不小于最大减速度。(5)前进规则；车辆按元胞自动机规则运动的程序框图按照元胞自动机规则确定的路段上所有车辆运动状态的程序框图如图所示。2.3 结果分析对比图1中没有添加红绿灯车辆位置时空演化图可以发现，时车辆位置分布比较均匀，车流速度较大，车辆位置与时间具有较好的线性关系，交通流处于稀薄状态；而随着密度的增大到时，交通流逐渐由稀薄流向稠密流转变，车头间距越来越小，车辆速度迅速减小，道路通行能力随之下降，这时车辆已经不太可能自由运动，有些区域出现了车辆停滞的堵塞相，呈现了高速公路实际交通流中观察到的启动-停车波动现象，车辆位置与时间关系为非线性关系，车流也进入了时停时走的状态，从而导致了交通流量的下降，与实际情况基本相符。对比图2中添加红绿灯车辆位置-时空演化图发现，当密度较小时（），红绿灯左右侧车辆分布均匀，有较好的线性关系，并且较之图1可以发现，当经过红绿灯后车流分布更加趋于线性关系，车流无任何交通阻塞，极大的改善了交通拥挤现象。同时，当车流密度逐渐增大后，尽管有红灯20s对车速的限制，从时空图观察发现，车辆位置并没有因此而明显改善，并且较之图1中时空斑图可以发现，当车流密度较大时，即使在中间位置设置红绿灯，对交通改善效果也不是十分明显。对比图3中车流密度与车速的演示图可以发现，在同等条件下，车流密度逐渐增大，车辆速度就逐渐减小，但并不是简单的线性变化，从图中可以发现明显的拐点，并且在添加红绿灯的情形下，这个拐点会提早出现（本模型中无红绿灯时在时出现，有红绿灯时在时出现），这也就解释了安装红绿灯后会迫使汽车提前减速，为减少交通安全事故提供的保障。对比图4车流量-密度关系图可以发现，在正常交通行为前提下，车流量会在某一密度下出现峰值(本模型为与时出现），也就是车流量可以达到一个最大值，当密度继续增大后，出现局部阻塞现象，车流量逐渐减小,直至趋近于0，并且从图中知道，当没有添加红绿灯时，当密度时便出现，当密度继续增大便发生交通局部堵塞，交通流急剧下降，严重干扰正常的城市交通行为，而添加红绿灯后，交通流峰值在左右出现，在一定程度上减缓了交通阻塞的出现，为城市正常的交通行为提供了有利条件。2.4 结论 本小节在基于元胞自动机NS模型下，采用周期边界条件，模拟在道路上适当位置添加红绿灯的城市道路交通流。模拟结果显示，在同等交通承载能力下，选择适当位置添加红绿灯将对交通流产生较大影响，能在一定程度上限制交通事故的发生，提高城市道路交通行为能力。三、小结交通问题在数学模型中的分类多种多样，在现实中的应用也十分广泛。不仅有传统的数学微分非线性模型，经典的概率统计模型、车辆跟驰模型、流体动力学模型、车辆排队模型，也有现阶段 不断在研究上实现突破的元胞自动机模型。尽管目前对细胞自动机模型的研究尚处于理论研究阶段，要使该理论走出实验室和研究部门进入实践领域，需要不断地改进它的规则，标定其中的参数，使之更加接近实际交通情况，虽然这尚需一段时间，但是由于该模型具有规则简单、计算速度快等优点，相信必将具有广阔的研究前景。四、参考文献1：王仲军、王超能. 元胞自动机的演化行为与研究.计算机应用与研究, 20072：贺明锋、邓成瑞. 数学的实践与认识，20083：吕凯. 元胞自动机的研究及模型的建立，20074：金小刚. 基于Matlab的元胞自动机的仿真设计,20025：数学模型 第三版，姜启源、谢金星、叶俊编6：郑安文.朱晓宏.城市道路交通供给能力研究-应用基础与工程科学学报，20027：李春艳.陈金川.郭继孚.城市交通模型锦集.城市交通，20088：李 杰,熊烈强.交通流理论中几个概念的重新定义.交通与计算机,20059：牟勇飚、李 芸. 元胞自动机交通流模型中减速概率的影响，交通与计算机 200610：靳文舟,张杰,郑英力.细胞自动机理论的交通流模拟模型.华南理工大学报,200111：刘慕仁、薛郁气、孔令江. 城市道路交通问题与交通流模型. 力学与实践,200512：李春艳、陈金川、郭继孚. 四层次综合交通模型体系.城市交通模型锦集，200813：郑英力、翟润平、马社强. 交通流元胞自动机模型综述.公路交通科技，200614：张 发、宣慧玉. 基于元胞自动机的交通模型综述.系统工程，200415：姜启源、谢金星、叶俊.数学模型.高等教育