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河北大学2008届本科生毕业英文文献翻译准循环LDPC码编码的OFDM系统的编码设计和它的混合迭代译码刘斌彬，白栋，葛启宏，梅顺良中国北京清华大学电子工程系，100084中国北京北京大学电子学系，100871摘 要在多径环境中，因副载波大幅度的衰减，OFDM的误码率性能严重地衰退了，因而OFDM中必须使用强力的纠错码。本文提出了一种用准循环低密度奇偶校验码（LDPC码）编码的正交频分复用（OFDM）系统，在该系统中，每个码字的冗余位都映射到一个高阶调制系。使用密度演化的方法计算其最优化度分布，而后通过循环置换矩阵建立相应的准循环LDPC码。码组混合信息传递调度在迭代译码中使用。仿真结果显示，在加性高斯白噪声环境和瑞利衰减信道环境下，该系统拥有更好的误码率性能和更快的译码收敛性。关键词：类循环低密度奇偶校验码（LDPC码）；编码设计；迭代译码；度分布；密度演化引言未来的无线系统设计目标之一是在恶劣环境中提供可靠而高速率的数据传输。，使用正交频分复用（OFDM）技术被认为是一种有发展前景的多径信道传输的解决方案。OFDM技术将频率选择性信道划分为一个窄带高斯正交子信道集。通过加入一个比信道传播延迟更长的循环前缀（CP）来消除码间干扰（ISI）。但是，在多路环境中，一些子信道会发生大幅度的衰减，导致整体的误码率取决于最弱子信道的信噪比。因此，必须在OFDM中使用强力的纠错编码。LDPC码最早由加拉格尔在1962年开发并由麦凯和尼尔在1996年重新发现。LDPC码拥有很多优点，包括接近香农极限性能，并行解码，低错误等级和比turbo码更简易的解码方法。近年来，准循环LDPC码因为可以通过使用简单的移位寄存器实现编码而受到了更高的关注。所有这些使得我们认为准循环LDPC码适合作为OFDM系统的纠错码。1.LDPC码编码的OFDM系统图1中给出了一个LDPC码编码的OFDN系统的发送和接受结构。在发送端，信息码流首先被LDPC码编码，而后映射到一个调制系并分割加入不同的子载波中以生成频域符号。因为LDPC码拥有纠正突发错误的能力，故不需要使用交织器。之后将这些符号使用快速傅立叶逆变换算法（IFFT）转换到时域中。将循环前缀（CP）添加到时域复基带信号之前以防止码间干扰。在接收端，首先移除循环前缀（CP）。在对信号进行串并转换之后，使用快速傅立叶变换算法（FFT）将信号由时域转换到频域。由均衡器估计信道增益，然后，根据估计出的信道增益和调制模式计算出在LDPC码解码时使用的每个码字的对数似然比（LLR）初始值。调制器S/PIFFTP/S加入循环前缀LDPC码编码器发送端同步器移除循环前缀S/PIFFTP/SLDPC码译码器均衡器接收端图1. LDPC码编码的OFDM系统一般的，k组信息位的LDPC编码速率为R=K/N。其中编码的N位映射到大小为M的调制系，此处的M为中的M。多层调制模式的使用（比如16QAM模式，64QAM模式和QPSK模式）可以提高频谱利用率。在每个OFDM符号中，所传输的由计算出的 是OFDM子信道的数量。在这个系统中，信息位被编码为系统性的准循环低LDPC码，然后，码字的冗余字节被映射到一个比M阶更高的M阶的高阶调制系。因此，更多的冗余位以更低速率的准循环LDPC码传送到每一个OFDM特征中，其速率为，从而提供了更优质的抗噪声性能。2.混合迭代译码2.1 置信传播译码算法LDPC码可以用变量节点和校验节点组成的二分图来表示。每一个代码位是一个变量节点，而每一个校验方程表示一个校验节点。如果在校验矩阵的第i列第j行上有一个“1”，则将边界设在变量节点i和校验节点j之间。一个LDPC码集合是由度分布对（，）或是其相应的生成函数所确定的。其生成函数为，其中的和是度为时边界到变量节点和到校验节点的分数，和是变量节点和校验节点的度的最大值。度分布对满足约束方程，其中R是编码速率。LDPC码可以使用信息传递算法来译码，其中最有力的算法是置信传播算法（BP）。在这种算法中，信息在变量节点个校验节点之间反复交换。令为信息从变量节点n到校验节点m的第i次迭代中的信息，令为信息从校验节点m到变量节点n的第i次迭代中的信息，令为变量节点n在第i次迭代后的后验信息，令为变量节点n从信道输出导出的初始信息。那么，信息在校验节点处的更新可以表达为，其中， 表示除变量节点n以外其他变量节点连接到校验节点m。由此，在变量节点的信息更新可以表示为，其中 表示除校验节点m以外其他校验节点连接到变量节点n的， 表示校验节点连接到变量节点n。迭代过程会一直进行直到满足所有的校验方程或达到了最大迭代数。然后，根据最后一次迭代的变量节点的后验信息制定硬决策。2.2 组洗牌信息传递调度一般来说，当更多的独立信息被用于更新时，由变量节点传往校验节点的信息和由校验节点传往变量节点的信息会变的更加可靠。标准置信传播算法使用泛洪式信息传递调度。在第i次迭代中，首先使用在第（i-1）次迭代中得到的由变量节点传往校验节点的信息更新所有的在第i次迭代中由校验节点传往变量节点的信息，然后再用新得到的更新所有的。一些值可以根据在方程（3）中计算得到的值使用方程（4）计算得到，所以它们也可以用来替代方程（3）中的来更新剩余的。这意味着置信传播算法的洗牌信息传递调度将发生变化。在洗牌置信传播算法中，信息更新在变量节点和校验节点中同时进行。因准循环LDPC码的译码经常需在部分并行译码器构架下实现，一个码字的N位可以分入到G个组中，表达为。每一组中包含N/G=q位，其中q等于校验矩阵中循环子矩阵的大小。在组洗牌置信传播算法中，信息一组一组的更新。当变量节点时，方程（3）可以变形为，同时，因为信息位映射到低阶调制系可以提供更可靠的信息，变量节点的顺序被重排，所以信息从冗余位开始更新而不是信息位。从而，冗余位总是先使用从信息位得来的更可靠的信息来更新以提高其可靠性，再应用到剩余的更新中。译码的收敛性得到了进一步的提高。3.编码设计3.1度分布的优化选择适当的度分布对在不规则二部图的基础上建立LDPC码可以使得速率极为接近香农性能。密度演化可以用来描绘在每一步译码过程中由变量节点和校验节点发送来的信息的概率密度函数的轨迹，也可以用于寻找确定信道的最优度分布对。因为码字的冗余位和信息位被映射到不同的调制系，所以节点的联系度必须被优化。变量节点的概率密度函数计算方法如下：将OFDM的第j个子信道的接受符号描述为，其中是传输符号，是复合信道增益，是复合加性高斯白噪声。这个符号在经过理想信道均衡之后变为，假设每一个符号运载一个名为M的码字字节。每一个字节的对数似然比定义为，其中和表示符号所携带的字节等于1或0。假设传输符号是平均分布的并使用贝叶斯规则，方程（9）可以简化为接近最优的形式，因为是方差为 的复合加性高斯白噪声，方程（10）中的条件概率可以表达为， 在QPSK调制中，在译码分析时，假设所有为零的码字被发送，代入 使方程（11）变形为，为了得到绝对概率密度函数，将方程（13）在 的概率密度函数上平均，得到，初始信息的概率密度函数在高阶调制中可以简单地计算出来，但是其对称条件不再满足。令 为由变量节点到校验节点的信息 的概率密度函数， 为校验节点到变量节点的信息 的概率密度函数。假设低密度奇偶校验码是一个消环结构。在校验节点更新时，因为方程（4）中的 和 都是独立随机变量， 的概率密度函数是方程（4）中所有元素的概率密度函数的卷积。这个卷积可以在傅里叶域中有效地计算出来。用F表进行傅里叶变换的操作，则程度分布函数 符合方程，因为所有为零的码字被发送，所以在第i次迭代中发送错误的概率可以通过下式计算出，另外，校验节点更新可以递归地实现。定义核心操作为，然后，应用方程（4）可以递归地计算出方程（3）为，如果接受到的信息是独立的，同一分布的随机变量，则发送消息的概率密度函数可以通过有效地下式计算出，对组洗牌置信传播算法来说，由方程（6），当变量节点时，若 中ngq且 中ngq，则 存在。为避免出现所有 和 的可能组合的复数运算，令来自变量节点ngq最新更新的消息的平均概率密度函数为，类似的，令来自变量节点ngq最新更新的消息的平均概率密度函数为，发送到校验节点m和与其相邻度为的变量节点n的信息共有种可能的组合方式。对每一个j（j=0,1，-1）来说，共有 种可能的组合方式，其中包含了当前迭代中j条由变量节点传往校验节点最新更新的信息和以往迭代中得到的（-1-j）条由变量节点传往校验节点的信息。 的平均概率密度函数变形为，代入分布度 的变换对，得到， 将方程（15）（16）（20）（21）（23）联立方程组可计算误码率 ，并检测低密度奇偶校验码编码系统的噪声阀值 。这里的阀值 是信道噪声中最大的，使得，从而可以发现产生最大噪声阀值的程度分布对。表1列出了当码字的冗余位和信息位映射到16QAM调制系和QPSK调制系时，变量节点10的最大速率以2/1速率LDPC码编码时，优化的度分布对（，）。变量节点和与其相关的码字的冗余位的联系度要高于和它的信息位的联系度。这显示了不规则LDPC码的内在特性：经过奇偶校验的字节对噪声有更好的稳定性，噪声阀值是0.8837。在不考虑调制方式时，噪声阀值计算为0.8439，等价的信噪比是0.4dB，低于优化的程度分布的等价信噪比。表1 优化程度分布对度分布冗余位信息位20.118130.1500630.120820.1419840.000750.0053250.000000.0000060.000000.0000070.000000.0000080.000000.0000090.000000.00000100.260300.2026460.0634670.3981180.538433.2 准循环LDPC码编码结构首先根据优化度分布建立一个好的母矩阵。在母矩阵中，“1”被置为qq的循环矩阵，而“0”被置为qq的零矩阵。在这里，是循环置换的k（k=0,1，q-1）阶单位阵,。因此，所建立的奇偶校验矩阵保持了母矩阵的度分布。考虑到在母矩阵中长度为循环块与奇偶检验矩阵中长度为的有序排列的循环排列矩阵，是相对应的。忽略一般性的损耗，假设和有相同的行组并且“1”在的第j行，那么，“1”在的同一行便可以确定这个“1”在的第（j+k2）列。因为和有相同的列组，“1”在的第（j+k2）列便可以确定这个“1”在的第（j+k2-k3）行。通过快循环继续这个程序r次，中第j行的“1”可以联系到中第行的“1”。如果，那么，检验矩阵的循环长度为。所以，循环置换矩阵的k值可以在定义范围内任意取值。但是，当是短循环块时，Ki的选择必须符合条件，由此可知，短循环会降低编码性能，应从构建的奇偶校验矩阵中淘汰。4. 仿真结果根据表1中的度分布建立速率为1/2，长度为9216的准循环LDPC码 。循环子矩阵的阶数q=256。淘汰奇偶校验矩阵中的循环长度8的情况。编码后将码字的冗余位映射到16QAM调制系，将码字的信息位映射到四相相移键控调制系。相比之下，如果将一个编码字节全部映射到QPSK调制系，则需要LDPC码的速率达到2/3，以确保相同系统的处理能力。那么，根据理查森等人的论文中使用的度分布建立速率为2/3，长度为6912的类循环低密度奇偶校验码 。表2中列出了重要的仿真参数。表2 仿真参数参数项目数值或描述OFDM特征长度409.6s循环前缀长度51.2sFFT/IFFT点数4096数据子信道数3076调制模式QPSK，16QAM信道衰弱模型Jakes模型多普勒频移120Hz多径数64多径的功率衰减指数函数多径的相位分布0,2）上均匀分布图2显示了以上两种编码在加性高斯白噪声信道中的字节误码率性能和帧误码率性能。使用QPSK调制系和16QAM调制系的 其性能要优于使用QPSK调制系的 。字节误码率为 时， 的信噪比优于 0.4dB。图2 加性高斯白噪声信道中的字节误码率性能和帧误码率性能图3显示了在加性高斯白噪声信道中，使用组洗牌置信传播算法和使用标准置信传播算法过程中，收敛到 所需的平均迭代数量。因为新近更新的信息直接参与到剩余的更新中去，所以组洗牌置信传播算法的收敛速度比标准置信传播算法快。信噪比为2.0dB时，组洗牌置信传播算法迭代数量比标准置信传播算法少43%，拥有更高的译码处理能力。图3 加性高斯白噪声信道中的平均迭代数量图4和图5显示了在瑞丽衰减信道中字节误码率和帧误码率性能及平均迭代数量。在瑞丽衰减信道中，的性能同样要优于。当字节误码率和帧误码率性能为时，信噪比优于2.0dB。因为信道衰减效果使得信息位受到大幅度的衰减以至于无法提供可靠的信息，使得应用组洗牌置信传播算法得到的收敛速度的提高不再像图3中那样显著。但是，在信噪比为10.0dB时，组洗牌置信传播算法的迭代数量依然比标准置信传播算法少34%。图4 在瑞丽衰减信道中字节误码率和帧误码率性能图5 在瑞丽衰减信道中的平均迭代数量5. 结论这篇论文提出了一种使用准循环LDPC码编码的OFDM用系统，在该系统中，每个码字的冗余位都映射到了一个高阶调制系中。在这里，LDPC码根据调制方式来设计，从而提高了系统的误码率性能。其译码的收敛性因应用将信息分组洗牌通过排序进行迭代译码的方法和在信息更新中安排变量节点次序的方法获得了提高。使用密度演化的方法计算优化度分布，并通过循环置换矩阵构建相应的准循环LDPC码。在加性高斯白噪声信道和瑞丽衰减信道中的仿真结果验证了系统性能的提高。参考文献1 加拉格尔RG.低密度奇偶校验码.剑桥，马萨诸塞州，美国麻省理工学院出版社，19632 麦凯DJC，尼尔RM.近香农限制性能的低密度校验码.IEEE电子快讯，1997年，33（6）：457-4583 陈L，徐J，久尔杰维奇，林S.近香浓极限的准循环低密度校验码.IEEE交流通讯，2004，52（