江西省宜中学高中数学《2.3.1数乘向量》导学案 新人教版必修4.doc

2.3.1 数乘向量 一、课前自主导学【学习目标】 1.掌握数与向量积的定义以及运算律，并理解其几何意义.2.了解向量的线性运算及其其几何意义，了解两个向量共线的判定定理与性质定理.【学习重点】实数与向量积的定义，运算律，向量共线的判定与性质.【学习难点】理解向量共线的判定定理与性质定理.【教材助读】（预习教材p80p82）探究：向量数乘运算与几何意义问题1：已知非零向量，作出：；. 通过作出图形，你能否说明它们的几何意义？ 1数乘向量(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a.(2)长度：|a|a|.(3)方向：a的方向(4)几何意义：将表示向量a的有向线段伸长或压缩当|1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的|倍；当|1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上缩短为原来的|倍2运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设，为实数，则(1)()a a a；(2)(a) a；(3)(ab) a b.3. 共线向量定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数，使得b a，则向量b与非零向量a共线(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得b a【预习自测】1设a是非零向量，是非零实数，则以下结论正确的有()(1)a与a的方向相反； (2)|a|a|；(3)a与2a方向相同； (4)|2a|2|a|.a1个 b2个 c3个 d4个【解析】由向量数乘的几何意义知(3)(4)正确【答案】b2下列各式计算正确的是()aab(ab)2 a b2(ab)c2abcc3(ab)3(ab)0 dab(b3c)a3c【解析】a，不正确，结果应为0；b不正确，c不正确；d正确，故选d.【答案】d3在平行四边形abcd中，ac与bd交于点o，e是线段od的中点，ae的延长线与cd交于点f.若a，b，则()a.ab b.ab c.ab d.ab【解析】如图所示：作 ogef交dc于g，由于deeo，得dffg.又由aooc得fggc，于是(ba)，那么(ab)(ba)ab.【答案】b4如果向量i2j，imj，其中向量i、j不共线，试确定实数m的值，使a、b、c三点共线【解】a、b、c三点共线，即、共线，存在实数使得，即i2j(imj)i2jimj.于是解得m2，即m2时，a、b、c三点共线.【二、课堂互动探究【例1】计算：(1)3(6ab)9(ab)；(2)(3a2b)(ab)2(ab)；(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.【思路探究】准确应用向量的数乘，加法、减法的运算律化简【自主解答】(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式(2ab)ababab0.(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.【巩固训练】(1)化简(4a3b)b(6a7b)；(2)设向量a3i2j，b2ij，求(ab)(ab)(2ba)【解】(1)原式4a3bbab(4)a(3)b(ab)ab.(2)原式abab2ba(11)a(12)bab(3i2j)(2ij)(5)i()ji5j.【规律方法】1向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数2对于线性运算，把握运算顺序为：运算律去括号数乘向量向量加减【例2】已知两个非零向量a、b不共线，ab，a2b，a3b.(1)证明：a、b、c三点共线(2)试确定实数k，使kab与akb共线【思路探究】(1)找出与的等量关系(2)令kab(akb)利用a与b不共线，求、k【自主解答】(1)证明由于ab，a2b，a3b，则a2babb，而a3bab2b，于是2，即与共线，又与有公共点a，a、b、c三点共线(2)解由于a、b为非零向量且不共线，akb0.若kab与akb共线，则必存在唯一实数使kab(akb)，整理得：(k)a(k1)b，因为非零向量a、b不共线，因此，或，即存在实数1，使kab与akb共线，此时k1.或存在实数1，使kab与akb共线，此时k1，因此，k1都满足题意【规律方法】1本题中证明点共线的关键是由点构成的向量要有公共点，并且共线2证明两个向量a与b共线时，只需证明ab(b0)若已知a与b(b0)共线，则可利用两向量共线的性质，得到1a2b.利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及两直线平行等问题，如要证a，b，c三点共线，只需证或k(，kr)等；要证abcd，只需证(r)也可解决相关求参问题【巩固训练】已知e10，r，ae1e2，b2e1.若a与b共线，则()a0 be20 ce1e2 d0或e1e2【解析】e1e2时，显然a与b共线；若e1，e2不共线，设akb，则有(12k)e1e20，于是，即【答案】d【例3】图所示，已知abcd的边bc，cd上的中点分别为k，l，且e1，e2，试用e1，e2表示，.【思路探究】解答本题可先将，视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出，.【自主解答】法一设x，则x，e1x，e1x，又x，由得xe1xe2，解方程得xe2e1， 即e2e1，由，e1x，得e1e2.法二设x，y，则x，y.由，得用2乘以与相减得x2xe12e2，解得x(2e2e1)，即(2e2e1)，同理得y(2e1e2)，即e1e2.三、课后知能检测一、选择题1已知|a|5，b与a的方向相反，且|b|7，若ab，则的值为()a.b c. d【解析】由于，且a，b反向，所以ab，故选b.【答案】b2如图，已知am是abc的边bc上的中线，若a，b，则等于()a.(ab) b(ab) c.(ab) d(ab)【解析】m是bc的中点，(ab)【答案】c3在四边形abcd中，a2b，4ab，5a3b，且a、b不共线，则四边形abcd的形状是()a梯形b平行四边形 c菱形d矩形【解析】a2b4ab5a3b8a2b2(4ab)2，又与不平行，所以四边形abcd为梯形，故选a.【答案】a4已知向量a、b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()aa、b、d ba、b、c cb、c、d da、c、d【解析】2a4b2(a2b)2，与共线，a、b、d三点共线【答案】a5在abc中，已知d是ab边上一点，若2，则等于()a. b. c d【解析】如图所示：().所以.【答案】a二、填空题6设a、b是两个非零向量，若8akb与kab共线，则实数k_.【解析】由题意知8akb(kab)，即k2.【答案】27在abcd中，a，b，3，m为bc的中点，则_.(用a、b表示)【解析】由3，得433(ab)又ab，所以(ab)(ab)ab.【答案】ab8如图，abc中，若a，b，ab，则_.【解析】()babba.0.【答案】0三、解答题9如图所示，在平行四边形abcd中，m是ab的中点，点n在对角线bd上，且bnbd.求证：m、n、c三点共线【证明】设a，b，则()ab(ab)ab.，向量与共线又由于与有公共点m，故m、n、c三点共线10设e1，e2是不共线的向量，已知向量2e1ke2，e13e2，2e1e2，若a、b、d三点共线，求k的值【解】证明存在实数，使得. 又e14e2，所以要使，则2e1ke2(e14e2)， 所以所以k8.11在abc中，点p是ab上一点，且，q是bc的中点，aq与cp的交点为m，若t，则t等于多少？【解】a、m、q三点共线，(1)，又，所以1，t.12.如图所示，d，e分别是abc中边ab，ac的中点，m，n分别是de，bc的中点，已知a，b，试用a、b分别表示、.【解】由三角形中位线定理，知debc，故，即a.abaab. abaab.13.设a、b是不共线的两个非零向量， (1)